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Capítulo 2
Lógica
La «lógica» es una ciencia formal que estudia el «razonamiento» correcto. Suele ser confundida con el «sentido común».
Por ello, antes de comenzar, iniciemos con un pequeño auto-examen de lógica. Res- ponda a lo siguiente:
- ¿Es verdadera la afirmación «algunos de los alumnos de este salón tienen menos de 80 años»?
- Si estudio, apruebo. No estudio. ¿Cuál es la conclusión?
- La afirmación «Madrid está en España o Londres está en Inglaterra» ¿es verda- dera o falsa?
- «Si dos rectas son paralelas no se intersectan e inversamente», en este caso, ¿qué es «inversamente»?, es decir, ¿cuál es la afirmación «inversa»?
- El siguiente, ¿es un razonamiento correcto? «Si estudio aprendo más», «Estudio» y «No aprendo más», por lo tanto «Soy un genio».
- El padre dijo a su hijo, «Si sacas buenas notas te compro una bicicleta», el niño sacó malas notas, cuando el padre las vio el hijo le preguntó, «Papá, ¿me vas a comprar una bicicleta?». ¿Hizo el niño una pregunta lógica?
Las respuestas correctas son: 1. Sí. 2. Se puede concluir cualquier cosa. 3. Verdadera.
- Si dos rectas no son paralelas, se intersectan. 5. Sí. 6. Sí.
Si contestó incorrectamente a más de una de las preguntas anteriores, no puede obviar este capítulo.
2.1. Proposiciones
Una proposición es un enunciado que puede ser calificado como verdadero o falso.
Ejemplo 2.1. Las siguientes son proposiciones simples :
Matemáticas discretas (M. MATA) 4
- París está en Inglaterra.
- 2 ` 2 “ 4.
- x^2 ` 1 ą 0 p x P Rq.
En cambio, expresiones como «Hola, ¿qué hace?», «Cierra la puerta» o «¡Viva México!» no son proposiciones.
Ejercicio 2.2. Decir si las siguientes son proposiciones:
- Existen números enteros que son negativos.
- El 5 es un número impar.
- Ojalá todos aprueben este curso.
- El 7 de octubre de 1998 fue miércoles.
- ¿Ya mero acaba la clase?
- 1 ` 1 “ 3.
- Esta frase es falsa.
- Hoy es miércoles.
- x^2 ´ 4 ď 0.
- Todas las aves vuelan.
Denotaremos las proposiciones simples con letras minúsculas: p, q, r,...
2.2. Operadores lógicos
Las proposiciones simples pueden combinarse para formar proposiciones más comple- jas mediante operadores lógicos. Las proposiciones compuestas las denotaremos, en ocasiones, con letras mayúsculas.
2.2.1. Negación
Dada una proposición p la negación de p es también una proposición. La denotaremos p y se lee «no p ». Su valor de verdad será el contrario al de p.
Ejemplo 2.3. Algunos ejemplos de negación :
- p : París está en Inglaterra, p : París no está en Inglaterra.
- q : 1
1 “ 3 , _q_ : 1 1 ‰ 3.
Matemáticas discretas (M. MATA) 6
- p : París está en Francia, q : Madrid está en Inglaterra, p Ñ q : Si París está en Francia, Madrid está en Inglaterra.
- Si x ă ´ 2 entonces x^2 ą 4.
- Si apruebas matemáticas, te compro una bicicleta.
2.2.5. Bicondicional
Dadas dos proposiciones p y q el bicondicional de p y q es también una proposición. La denotaremos p Ø q y se lee « p si y sólo si q » o « p siempre y cuando q ». Su valor de verdad será verdadero sólo cuando p y q tengan el mismo valor de verdad.
2.2.6. Precedencia
Cuando se escriben sin paréntesis, los operadores se ejecutan con la siguiente prece- dencia: , ^ , _ , Ñ , Ø. De esta manera, la expresión p _ q ^ r _ s Ñ p _ s es equivalente a r p _ p q ^ p r qq _ s s Ñ r p _ p s qs.
2.3. Representaciones
2.3.1. Redes de decisión
Existe una representación de redes de los operadores binarios _ y ^. Suele ser útil en la comprensión de circuitos o redes eléctricas, y en diagramas de comunicación y conmutadores. Imaginemos que hay un emisor T 0 y un receptor T 1. El flujo debe pasar por algunos puertos que pueden estar abiertos (valor de 1) o cerrados (valor de 0).
T 0 p T 1
En este caso, el flujo será recibido en el receptor si p toma el valor de 1, y no será recibido si toma el valor de 0. La red toma la siguiente forma para el disyuntivo p _ q :
T 0 T 1
p
q
La red toma la siguiente forma para el conjuntivo p ^ q :
T 0 p^ q T 1
Ejemplo 2.7. Dibujar la red de decisión para r p ^ p r _ s qs _ r q ^ t s:
Matemáticas discretas (M. MATA) 7
T 0 T 1
p
q
r
s
t
Ejercicio 2.8. Dibujar la red de decisión para rr p ^ p q _ r qs _ rp s _ p q ^ t ss ^ s :
T 0 T 1
p
q
r s
p
t
s
2.3.2. Valores de verdad
Los valores de verdad de las proposiciones se representan simbólicamente de diversas maneras:
Verdadero: V, T, J, 1. Falso: F, F , K, 0.
En este curso, usaremos los valores binarios 1 y 0.
2.3.3. Tablas de verdad
Las tablas de verdad de los operadores son como sigue:
p p 1 0 0 1
p q p ^ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
p q p _ q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
p q p Ñ q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
p q p Ø q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Con estas tablas podemos calcular los valores de verdad de expresiones más complejas.
Ejemplo 2.9. Hacer la tabla de verdad de p p _ q q ^ r.
p q r
hkkik^ A kj p _ q
hkkik^ B kj r A ^ B 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Matemáticas discretas (M. MATA) 9
Ejemplo 2.13. p p ^ q ^ r q _ p p ^ q q _ p q ^ r q
p q r
hkkkkkkkikkkkkkkj^ A p ^ q ^ r
hkkik^ B kj p ^ q
hkkik^ C kj q ^ r A _ B _ C 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
p
q q
r r r r
1 0
1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0
p
q q
r r
Ejercicio 2.14. p _ r p ^ p q _ r qs.
p q r
hkkikkj^ A q _ r
hkkik^ B kj p ^ A p _ B 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
p
q q
r r r r
1 0
1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0
p
2.4. Tautologías
Definición 2.15. Una tautología es una proposición cuyo valor es siempre verda- dero para todos los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Si el valor es siempre falso , se llama contradicción.
Matemáticas discretas (M. MATA) 10
Ejercicio 2.16. Verificar si la siguiente proposición es una tautología: p p _ q q Ñ p p ^ q q.
Ejercicio 2.17. Verificar si la siguiente proposición es una contradicción: p p Ñ q q ^ p p ^ q q.
Ejercicio 2.18. Verificar si la siguiente proposición es una tautología, una contradic- ción o ninguna: r p _ p q ^ r qs _ r p ^ p q _ r qs.
p q r
hkkikkj^ A q ^ r
hkkikkj^ B p _ A
hkkikkj^ C q _ r
hkkik^ D kj p ^ C B _ D 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
Observamos que el valor de verdad de la expresión anterior es verdadero , sin importar los valores de verdad de p , q y r , por lo que es una tautología.
2.4.1. Implicación
Cuando un condicional A Ñ B es una tautología se llama implicación y se escribe A ñ B.
Esta estructura es importante porque, si A ñ B , entonces B es cierta si A lo es, sin importar los valores de verdad de las variables simples. Es decir, tenemos una estructura que es siempre válida para todas las variables.
Ejercicio 2.19. Verifique que: p A Ñ B q ^ B ñ A
A B
hkkikkj^ C A Ñ B B
hkkkikkkj^ D C ^ B A D Ñ A 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
El resultado es verdadero en todos los casos, por lo tanto sí es una implicación.
Matemáticas discretas (M. MATA) 12
- p Y q ô p p _ q q ^ p p _ q q
- p Y q ô p p ^ q q _ p p ^ q q
- p Y q ô p p Ø q q
Ejercicio 2.25. Al autor de este material se le ocurre definir el operador « p no es más falso que q », y denotarlo por p ă{ q , de tal forma que sólo es falsa si p es falsa y q es verdadera.
- Demuestre que p ă{ q ô p Ñ q.
- Escriba una equivalencia a p ă{ q que sólo involucre , ^ y _.
Ejercicio 2.26. Hay 16 posibles salidas de valores de verdad de dos proposiciones p y q , las cuales son:
p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Encuentre una expresión para cada posible salida que involucre ambas proposiciones p y q y sólo los operadores , ^ y _.
2.4.3. Leyes del álgebra de proposiciones
Todas las siguientes son equivalencias tautológicas, por lo cual pueden enunciarse como leyes.
p _ p ô p Leyes idempotentes p ^ p ô p
2
p _ q ô q _ p Leyes conmutativas p ^ q ô q ^ p
3
p _ p q _ r q ô p p _ q q _ r Leyes asociativas p ^ p q ^ r q ô p p ^ q q ^ r
4
p _ p q ^ r q ô p p _ q q ^ p p _ r q Leyes distributivas p ^ p q _ r q ô p p ^ q q _ p p ^ r q
5
p p _ q q ô p ^ q Leyes de De Morgan p p ^ q q ô p _ q 6 p p q ô p Doble negación
7
p _ p ô 1 Leyes de p ^ p ô 0 complementación
