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Unidad 11. Estadística
ESO
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Tablas de frecuencias
Página 173
- Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto anterior en 10 intervalos con el mismo recorrido total. Tomando r' = 30 y siendo 10 el número de intervalos, la longitud de cada intervalo será de 1030 = 3.
intervalos marca de clase frecuencias 148,5 - 151, 151,5 - 154, 154,5 - 157, 157,5 - 160, 160,5 - 163, 163,5 - 166, 166,5 - 169, 169,5 - 172, 172,5 - 175, 175,5 - 178,
150 153 156 159 162 165 168 171 174 177
2 1 1 6 7 9 6 3 4 1
- Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto anterior en 8 intervalos. Para ello, toma r' = 32. Tomando r' = 32 y siendo 8 el número de intervalos, la longitud de cada uno de ellos será 328 = 4.
intervalos marca de clase frecuencias 147,5 - 151, 151,5 - 155, 155,5 - 159, 159,5 - 163, 163,5 - 167, 167,5 - 171, 171,5 - 175, 175,5 - 179,
149, 153, 157, 161, 165, 169, 173, 177,
2 1 4 10 12 6 4 1
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Parámetros estadísticos: —x^ y σ
Página 175
- Halla, manualmente y con calculadora, x – , σ y C.V. en la tabla obtenida en el ejercicio resuelto de la página 173: xi 151 156 161 166 171 176 fi 2 4 11 14 5 4
x –^ = 6 580 40 =164 5,
σ = 1083 970 40 – 164 5, 2 =6 24,
C.V. = 164 56 24,^ ,^ = 0 038, → 3,8 %
xi fi fi xi fi xi^2 151 156 161 166 171 176
2 4 11 14 5 4
302 624 1 771 2 324 855 704
45 602 97 344 285 131 385 784 146 205 123 904 40 6 580 1 083 970
- Halla, manualmente y con calculadora, x – , σ y C.V. en la distribución de los ejercicios 1 y 2 de la página 173: Compara los resultados entre sí y con los del ejercicio 1 de esta página. 1.a^ distribución
media: x –^ = SS f x f i
i i 40 = 6 576 = 164,4 cm
var.: SS f x f^ – x i
i i^2 2 = 40
desviación típica: σ = 39 24, = 6,26 cm C.V. = q x = (^) 164 46 26, ,^ = 0,038 8 3,8%
intervalos xi fi fi xi fi xi^2 148,5-151, 151,5-154, 154,5-157, 157,5-160, 160,5-163, 163,5-166, 166,5-169, 169,5-172, 172,5-175, 175,5-178,
150 153 156 159 162 165 168 171 174 177
2 1 1 6 7 9 6 3 4 1 300 153 156 954 1 134 1 485 1 008 513 696 177
45 000 23 409 24 336 151 686 183 708 245 025 169 344 87 723 121 104 31 329 40 6 576 1 082 664 2.a^ distribución
media: x –^ = SS f x f i
i i (^) = 40
6 572 (^) = 164,3 cm
var.: SS^ f x f^ – x i
i i^2 2 = 40
desviación típica: σ = 37 76, = 6,14 cm
C.V. = q x = (^) 164 36 14, ,^ = 0,037 → 3,7%
intervalos xi fi fi xi fi xi^2 147,5-151, 151,5-155, 155,5-159, 159,5-163, 163,5-167, 167,5-171, 171,5-175, 175,5-179,
149, 153, 157, 161, 165, 169, 173, 177,
2 1 4 10 12 6 4 1
299 153, 630 1 615 1 986 1 017 694 177,
44 700, 23 562, 99 225 260 822, 328 683 172 381, 120 409 31 506, 40 6 572 1 081 290
Como se puede ver, las diferencias entre unas y otras son inapreciables.
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Página 177
- En la siguiente distribución de notas, halla Me , Q 1 , Q 3 , p 80 , p 90 y p 99 :
notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n .° de alumnos 6 19 37 45 109 81 39 22 30 12
Me = p 50 = 5
Q 1 = p 25 = 4 Q 3 = p 75 = 7 p 80 = 7
p 90 = 9 p 99 = 10
notas fi Fi % acum. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
6 19 37 45 109 81 39 22 30 12
6 25 62 107 216 297 336 358 388 400
1, 6, 15, 26, 54, 74, 84, 89, 97, 100,
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5 Diagramas de caja
Página 179
- Haz el diagrama de caja correspondiente a esta distribución de notas:
Comenzamos hallando Me , Q 1 y Q 3 : n = 200 n 2 = 100^ →^ Me^ = 5, n 4 = 50^ →^ Q^1 = 4
4
(^3) · n = 150 → Q 3 = 6
xi fi 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
6 15 22 24 33 53 22 16 8 1
xi fi Fi 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
6 15 22 24 33 53 22 16 8 1
6 21 43 67 100 153 175 191 199 200
La longitud de la caja será Q 3 – Q 1 = 6 – 4 = 2. 1,5 · 2 = 3 → Los bigotes llegarán hasta 4 – 3 = 1 y hasta 6 + 3 = 9. Por tanto, el diagrama de caja y bigotes será:
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
- Interpreta el siguiente diagrama de caja y bigotes relativo a las marcas de algunos salta- dores de longitud:
7 m
7,5 m 8 m
Me = 7,825 m; Q 1 = 7,6 m; Q 3 = 7,975 m Todos saltaron entre 7,05 m y 8,3 m, excepto uno que saltó 6,8 m. Un 25 % de los saltadores saltó menos de 7,6 m. Un 25 % saltó entre 7,6 m y 7,825 m. Un 25 % saltó entre 7,825 m y 7,975 m. Un 25 % saltó más de 7,975 m.
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Ejercicios y problemas
Página 181
Practica
Tablas de frecuencias
- El número de faltas de ortografía que cometieron un grupo de estudiantes en un dictado fue: 0 3 1 2 0 0 1 1 4 3 5 0 2 1 0 2 1 0 0 3
Di cuál es la variable y de qué tipo es. Haz una tabla de frecuencias y representa los datos en un diagrama adecuado.
- Variable: “Número de faltas de ortografía” Es una variable cuantitativa discreta. Llamamos xi a dicha variable y sus valores son 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
- Tabla de frecuencias: Diagrama de barras: xi fi 0 1 2 3 4 5 12 9 7 6 3 3 40
fi
xi
3
6
9
12
0 1 2 3 4 5
- En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 50 recién nacidos: 2,8 3,2 3,8 2,5 2, 3,3 2,6 1,8 3,3 2, 2,9 3,5 3,0 3,1 2, 2,4 3,4 2,0 2,6 3, 2,9 2,8 2,7 3,1 3,
a) ¿Cuál es la variable y de qué tipo es? b) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos desde 1,65 hasta 4,05 y haz una representación adecuada. Localizamos los valores extremos: 1,9 y 3,9. Recorrido = 3,9 – 1,8 = 2, a) Variable: peso de los recién nacidos. Tipo: cuantitativa continua.
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b) La mejor representación es un histograma:
intervalos marca (^ x de i )^ clase f (^) i 1,65-2, 2,05-2, 2,45-2, 2,85-3, 3,25-3, 3,65-4,
1, 2, 2, 3, 3, 3,
4 5 13 16 9 3 50
1,65 2,05 2,45 2,85 3,25 3,65 4,
Media, desviación típica y C.V.
- Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación en estas distribucio- nes: xi fi 0 1 2 3 4 5 12 9 7 6 3 3
intervalo fi 1,65-2, 2,05-2, 2,45-2, 2,85-3, 3,25-3, 3,65-4,
4 5 13 17 8 3
x –^ = SS f x f i
i i (^) = 40
var.: SS f x f^ – x i
i i^2 2 = 40
σ = 2 46, = 1,
xi fi fi xi fi xi^2 0 1 2 3 4 5 12 9 7 6 3 3
0 9 14 18 12 15
0 9 28 54 48 75 40 68 214 C.V. = q x = 0,9235 8 92,35 %
x –^ = 144 1 50 ,^ = 2,
var.: 428 12 50 ,^ – 2 8, 2 =0 1524,
σ = 0 1524, =0 39, C.V. = 0 392 9,,^ = 0 1345, 8 13,45 %
intervalos xi fi fi xi fi xi^2 1,65-2, 2,05-2, 2,45-2, 2,85-3, 3,25-3, 3,65-4,
1, 2, 2, 3, 3, 3,
4 5 13 17 8 3
7, 11, 34, 51, 27, 11,
13, 25, 91, 158, 95, 44, 50 144,15 428,
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- 154 = 3,75 → Q 1 = 22 (4.a^ posición)
- 15 · 43 = 11,25 → Q 3 = 30 (12.a^ posición)
- 15 · 10060 = 9 → p 60 será el valor intermedio de los datos situados en 9.a^ y 10.a^ posición, es decir: p 60 = 27 2 +^28 → p 60 = 27,
B 18 - 19 - 20 - 21 - 21 - 22 - 23 - 25 - 27 - 27 - 29 - 30 - 31 - 32 Hay 14 datos:
- Los dos valores centrales son 23 y 25 → Me = 23 + 2 25 = 24
- 144 = 3,5 → Q 1 = 21 (4.a^ posición)
- 14 · 43 = 10,5 → Q 3 = 29 (11.a^ posición)
- 14 · 10060 = 8,4 → p 60 = 27 (9.a^ posición)
- Rellena la columna de los porcentajes acumulados en la siguiente tabla. Calcula, a partir de la tabla, la mediana, los cuartiles y los percentiles p 70 y p 90.
Q 1 = 0 Me = 1 Q 3 = 2 p 70 = 2 p 90 = 3
xi fi Fi % acum. 0 12 12 32, 1 9 21 56, 2 7 28 75, 3 6 34 91, 4 3 37 100
- En la fabricación de cierto tipo de bombillas se han detectado algunas defectuosas. Se analiza el contenido de 200 cajas de 100 bombillas cada una y se obtienen los si- guientes resultados:
defectuosas 1 2 3 4 5 6 7 8 n.° de cajas 5 15 38 42 49 31 18 2
Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles p 10 , p 90 y p 95. Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas. Para xi = 4, Fi iguala el 50 %, luego la mediana será el va- lor intermedio entre 4 y el siguiente, 5, esto es, Me = 4,5. Q 1 = p 25 = 3 Q 3 = p 75 = 6 p 10 = 2, p 90 = 6, p 95 = 7
xi fi Fi % acum. 1 2 3 4 5 6 7 8 5 15 38 42 49 31 18 2
5 20 58 100 149 180 198 200
2, 10, 29, 50, 74, 90, 99, 100,
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Página 182
Diagramas de caja
- Las puntuaciones obtenidas por 87 personas tienen los siguientes parámetros de posición: Q 1 = 4,1; Me = 5,1 y Q 3 = 6,8. Todas las puntuaciones están en el intervalo 1 a 9. Haz el diagrama de caja.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q 1 Me Q 3
- En una clase de 38 estudiantes de Primaria, las estaturas de 35 de ellos están com- prendidas entre 153 cm y 179 cm. Los tres restantes miden 150 cm, 151 cm y 183 cm. Sabemos que Q 1 = 163; Me = 166 y Q 3 = 170. Representa los datos en un diagrama de caja.
Q 1 Me Q 3
145 150 155 160 165 170 175 180 185
- Haz el diagrama de caja correspondiente a las siguientes distribuciones.
a) La del ejercicio 5. b) La A y la B del ejercicio 6. c) La del ejercicio 7. d) La del ejercicio 8. a) Q 1 = 171; Me = 175,5; Q 3 = 181
( Q 3 – Q 1 ) · 1,5 = (181 – 171) · 1,5 = 10 · 1,5 = 15
150 160 170 180 190
Q 1 Me Q 3
b) A : Q 1 = 22; Me = 25; Q 3 = 30 B : Q 1 = 21; Me = 24; Q 3 = 29
18 20 25 30 35
A 8
B 8
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Muestreo
- Se quieren realizar estos estudios estadísticos:
I. Tipo de transporte que utilizan los vecinos de un barrio para acudir a sus trabajos. II. Estudios que piensan seguir los estudiantes de un centro escolar al terminar la ESO. III. Edad de las personas que han visto una obra de teatro en una ciudad. IV. Número de horas diarias que ven la televisión los niños y las niñas de tu comunidad autónoma con edades comprendidas entre 5 y 10 años. V. Tiempo de conversación que aguantan las baterías de los móviles que fabrican en una empresa. VI. Preferencia de emisora de radio musical de los asistentes a un concierto. a) Di en cada uno de estos casos cuál es la población. b) ¿En cuáles de ellos es necesario recurrir a una muestra? ¿Por qué? a) I 8 Los vecinos del barrio. II 8 Alumnos y alumnas de la ESO de un centro. III 8 Personas que han visto la obra. IV 8 Niños y niñas de mi comunidad autónoma de entre 5 y 10 años. V 8 Los móviles que fabrica la empresa. VI 8 Los asistentes a un concierto. b) I 8 Dependiendo del número de vecinos del barrio: si son pocos, población; si son muchos, una muestra. Aunque teniendo en cuenta que es difícil cogerlos a todos y que todos contesten a la encuesta, quizás sería mejor una muestra. II 8 Población. Con encuestas en clase en las que participan todos (obviamente, siem- pre falta alguno). III 8 Muestra. Son muchas personas y sería inoportuno molestar a tanta gente, se for- marían colas… IV 8 Muestra. Son demasiadas personas. V 8 Es necesario recurrir a una muestra para el estudio porque llevarlo a cabo requiere el desgaste de las baterías. VI 8 Será necesario recurrir a una muestra.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- ¿Cómo se puede contar el número aproximado de palabras que tiene un cierto li- bro? — Se seleccionan, abriendo al azar, unas cuantas páginas y se cuentan las palabras en cada una. — Se calcula el número medio de palabras por página. — Se da un intervalo en el que pueda estar comprendido el número total de palabras. Hazlo con alguna novela que encuentres en casa. Cuanto más homogéneas sean sus pá- ginas, más precisión tendrás en el resultado.
- En un libro de 200 páginas, seleccionamos al azar 5 páginas. Contamos el número de pala- bras de estas páginas: 537, 562, 548, 324, 600.
- Calculamos el número medio de palabras:
5
En 200 páginas, habrá 102 840 palabras.
- El número de palabras del libro estará entre 100 000 y 105 000.
- Para hacer un sondeo electoral en un pueblo de 2 000 electores, aproximadamente, se va a elegir una muestra de 200 individuos. Di si te parece válido cada uno de los si- guientes modos de seleccionarlos y explica por qué: a) Se le pregunta al alcalde, que conoce a todo el pueblo, qué individuos le parecen más representativos. b) Se eligen 200 personas al azar entre las que acuden a la verbena el día del patrón. c) Se seleccionan al azar en la guía telefónica y se les encuesta por teléfono. d) Se acude a las listas electorales y se seleccionan al azar 200 de ellos. a) No es válido. Se trata de una elección subjetiva. b) No es válido. Probablemente haya grupos de edades mucho más representados que otros. c) Sí es válido. d) Sí es válido.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- En una urbanización de 25 familias se ha observado la variable “número de coches que tiene la familia” y se han obtenido los siguientes datos: 0 1 2 3 1 0 1 1 1 4 3 2 2 1 1
a) Construye la tabla de frecuencias. b) Haz el diagrama de barras. c) Calcula la media y la desviación típica. d) Halla la mediana, los cuartiles y los percentiles p 40 y p 90. e) Dibuja el diagrama de caja. a) (^) xi fi b)
0 1 2 3 4
3 12 4 4 2
0 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
c) x –^ = 2540 =1 6,
σ = 2596 – 1 6, 2 =1 13,
xi fi fi xi fi xi^2 0 1 2 3 4
3 12 4 4 2
0 12 8 12 8
0 12 16 36 32 25 40 96
d) Q 1 = 1 Me = 1 Q 3 = 2 p 40 = 1
xi fi Fi % acum. 0 1 2 3 4
3 12 4 4 2
3 15 19 23 25
12 60 76 92 100 p 90 = 3
e)
Q 1 = Me Q 3
0 1 2 3 4
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Resuelve problemas
- Se ha medido el nivel de colesterol en cuatro grupos de personas sometidas a dife- rentes dietas. Las medias y las desviaciones típicas son las de la tabla: dieta a B c d - x (^) 211,4 188,6 209,2 188, σ (^) 37,5 52,6 56,3 43,
Asocia a cada dieta la gráfica que le corresponde.
100
1
150 200 250 300 100
2
150 200 250 300 100
3
150 200 250 300 100
4
150 200 250 300
Observamos que las gráficas 1 y 3 muestran distribuciones con una media inferior a 200, mientras que las gráficas 2 y 4 muestran distribuciones con una media superior a 200. Por tanto: A y C → 2 y 4; B y D → 1 y 3 Por otro lado, los datos en la gráfica 2 están más dispersos que en la gráfica 4, por tanto, la desviación típica es mayor. Así: C → 2; A → 4 De igual forma, los datos están más dispersos en la gráfica 3 que en la gráfica 1 y, por tanto: B → 3; D → 1.
- En la clase de educación física se ha pedido a cada estudiante que lance 10 veces la pelota de baloncesto desde la línea de personal. Estos resultados son las canastas conse- guidas por cada estudiante: 4 5 7 3 5 2 6 5 4 4 5 8 6 5 7 4 3 5 7 1 2 4 3 6 3 3 5 4 4 2 a) Construye y representa una tabla de frecuencias. Amplía la tabla con las columnas necesarias para hallar la media y la desviación típica. Calcula también el coeficiente de variación. b) Construye la tabla de frecuencias acumuladas y de porcentajes acumulados y, a partir de ella, halla Q 1 , Me , Q 3 , p 30 , p 90 y p 99. c) Representa los datos en un diagrama de caja. a) En la clase hay 30 estudiantes:
x –^ = SS f x f i
i i (^) = 30
σ = , , S
S
f
f x (^) x 30
i
i i^2 2 = 2 = = 1,
C.V. = q x = 1 664 4,,^ = 0,
xi fi fi xi fi xi^2 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 7 3 3 1 1 6 15 28 35 18 21 8
1 12 45 112 175 108 147 64 132 664
