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Actividades de refuerzo de ecuaciones
1. Resuelve estas ecuaciones:
a) 𝟑𝒙
𝟐
Al ser una ecuación de segundo grado incompleta la resolvemos, en este caso, como si fuera
de primer grado:
2
2
2
Y, finalmente, aplicamos la raíz cuadrada:
Así, las soluciones de esta ecuación son 𝑥 = 4 y 𝑥 = − 4.
b) 𝟑𝒙
𝟐
Al ser una ecuación de segundo grado incompleta la resolvemos, en este caso, como si fuera
de primer grado:
2
2
2
Y, finalmente, aplicamos la raíz cuadrada:
Pero, al ser la raíz de un número negativo, no tiene solución.
Así, esta ecuación no tiene solución.
c) 𝟓𝒙
𝟐
Como es una ecuación de segundo grado incompleta, la resolvemos, en este caso, extrayendo
factor común:
Y, de nuevo, sabemos que esta multiplicación dará 0 solo si uno de los factores es 0 :
𝑥 = 0 , que ya nos proporciona la primera solución
Que pasamos a resolver como una ecuación sencilla de primer grado:
Así, las dos soluciones de esta ecuación son 𝑥 = 0 y 𝑥 =
7
5
d) 𝟔𝒙
𝟐
Es una ecuación de segundo grado completa, por tanto, usaremos la fórmula para 𝑎 = 6 , 𝑏 = − 1 y 𝑐 = − 1 :
2
Así, las dos soluciones de esta ecuación son 𝑥 =
1
2
y 𝑥 = −
1
3
e) 𝟏𝟎𝒙
𝟐
Primero arreglamos la ecuación, viendo que como no se anula ningún término, será una
ecuación de segundo grado completa:
2
Es una ecuación de segundo grado completa, por tanto, usaremos la fórmula para 𝑎 = 10 , 𝑏 = 9 i 𝑐 = − 5 , 2 :
2
Así, las dos soluciones de esta ecuación son 𝑥 =
2
5
y 𝑥 = −
13
10
f) 𝟕𝒙
𝟐
Es una ecuación de segundo grado completa, por tanto, usaremos la fórmula para 𝑎 = 7 , 𝑏 = − 3 i 𝑐 = 4 :
2
→ 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Así, esta ecuación no tiene solución.
d) 𝒙
𝟒
𝟐
Hacemos el cambio de variable: 𝑦 = 𝑥
2
, transformando la ecuación en:
2
Que se resuelve como una ecuación de segundo grado, obteniendo las soluciones 𝑦 = − 1 e 𝑦 = − 4.
Deshacemos el cambio:
2
= − 1 → 𝑥 = ±√− 1 → 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
2
− 4 → 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Por tanto, esta ecuación no tiene ninguna solución.
3. Resuelve:
a) √𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝒙 + 𝟐
Elevamos al cuadrado en los dos términos:
2
2
2
Y nos queda una ecuación de segundo grado:
2
Que, como resulta ser incompleta, resolvemos así:
2
Y, como es una ecuación con radicales, comprobamos estas posibles soluciones:
𝑆𝑖 𝑥 = 1 → √ 4 · 1 + 5 = 1 + 2 → √ 4 + 5 = 3 → √ 9 = 3 → 3 = 3 → 𝑥 = 1 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑆𝑖 𝑥 = − 1 → √ 4 · (− 1 ) + 5 = − 1 + 2 → √− 4 + 5 = 1 → √ 1 = 1 → 1 = 1 → 𝑥 = − 1 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Así que, las soluciones de esta ecuación son 𝑥 = 1 y 𝑥 = − 1.
b) √𝒙 + 𝟐 = 𝒙
Primero aislamos la raíz en un lado:
Elevamos al cuadrado en los dos términos:
2
2
2
Y nos queda una ecuación de segundo grado:
2
Que resolvemos con la fórmula, dando por soluciones 𝑥 = 1 y 𝑥 = 4.
Y, como es una ecuación con radicales, comprobamos estas posibles soluciones:
𝑆𝑖 𝑥 = 1 → √ 1 + 2 = 1 → 1 + 2 = 1 → 3 = 1 → 𝑥 = 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑆𝑖 𝑥 = 4 → √ 4 + 2 = 4 → 2 + 2 = 4 → 4 = 4 → 𝑥 = 4 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Así que, las soluciones de esta ecuación es 𝑥 = 4.
c) (√
Una multiplicación tiene como resultado 0 si uno de los factores es 0, así que tenemos 3
ecuaciones que explorar:
Es la misma que la del apartado b. Primero aislamos la raíz en un lado:
Elevamos al cuadrado en los dos términos:
2
2
2
Y nos queda una ecuación de segundo grado:
2
Que resolvemos con la fórmula, dando por soluciones 𝑥 = 1 y 𝑥 = 4.
Y, como es una ecuación con radicales, comprobamos estas posibles soluciones:
𝑆𝑖 𝑥 = 1 → √ 1 + 2 = 1 → 1 + 2 = 1 → 3 = 1 → 𝑥 = 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑆𝑖 𝑥 = 4 → √ 4 + 2 = 4 → 2 + 2 = 4 → 4 = 4 → 𝑥 = 4 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Así que, las soluciones de esta ecuación es 𝑥 = 4.
Primero aislamos la raíz en un lado:
Elevamos al cuadrado en los dos términos:
2
2
b) √𝟏𝟑 − 𝒙
𝟐
Primero aislamos la raíz en un lado:
2
Elevamos al cuadrado en los dos términos:
2
2
2
2
2
Y nos queda una ecuación de segundo grado:
2
Que simplificamos por 2 :
2
Que resolvemos con la fórmula, dando por soluciones 𝑥 = 2 y 𝑥 = 3.
Y, como es una ecuación con radicales, comprobamos estas posibles soluciones:
𝑆𝑖 𝑥 = 2 →
√ 13 − 2
2
- 2 = 5 → √ 13 − 4 + 2 = 5 → √ 9 + 2 = 5 → 3 + 2 = 5 → 5 = 5 → 𝑥 = 2 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑆𝑖 𝑥 = 3 →
√ 13 − 3
2
- 3 = 5 → √ 13 − 9 + 3 = 5 → √ 4 + 3 = 5 → 2 + 3 = 5 → 5 = 5 → 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Así que, las soluciones de esta ecuación son 𝑥 = 2 y 𝑥 = 3.
c) √𝒙 − 𝟐 − √𝟏𝟐 − 𝒙 = 𝟐
Primero aislamos una de las raíces en un lado, por ejemplo:
Elevamos al cuadrado en los dos términos:
2
2
Que nuevamente es una ecuación con radicales que resolvemos como siempre, aislando una raíz:
Elevamos al cuadrado:
2
2
2
Que es una ecuación de segundo grado que pasamos a resolver:
2
2
Que primero simplificamos por 4 :
2
Y, al resolver con la fórmula, obtenemos como soluciones 𝑥 = 3 y 𝑥 = 11.
Como es una ecuación con radicales, comprobamos estas posibles soluciones:
𝑆𝑖 𝑥 = 3 → √ 3 − 2 − √ 12 − 3 = 2 → √ 1 − √ 9 = 2 → 1 − 3 = 2 → − 2 = 2 → 𝑥 = 3 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
1 = 2 → 3 − 1 = 2 → 2 = 2 → 𝑥 = 11 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Así que, la única solución de esta ecuación es 𝑥 = 11.
d) √
Primero aislamos una de las raíces en un lado, por ejemplo:
Y elevamos al cuadrado:
2
2
Que nuevamente es una ecuación con radicales que resolvemos como siempre, aislando una raíz:
Elevamos al cuadrado:
2
2
Que es una ecuación de primer grado que pasamos a resolver:
Como es una ecuación con radicales, comprobamos esta posible solución:
𝑆𝑖 𝑥 = 9 → √ 9 − 5 + √ 9 = 5 → √ 4 + 3 = 5 → 2 + 3 = 5 → 5 = 5 → 𝑥 = 9 𝑒𝑠 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Así que, la única solución de esta ecuación es 𝑥 = 9.
c) 𝟐
𝒙+𝟏
𝒙+𝟑
Ayudándonos de las propiedades de las potencias:
𝑥+ 1
𝑥
𝑥+ 3
3
𝑥
𝑥
Transformamos la ecuación en:
𝑥
𝑥
Ahora, hacemos el cambio de variable 𝑦 = 2
𝑥
Que es una ecuación de primer grado, que resolvemos:
Ahora, deshacemos el cambio:
𝑥
Y resolvemos esta nueva ecuación exponencial:
Transformamos el término de la derecha en una potencia de 2 para facilitar los cálculos:
𝑥
5
Componemos por el logaritmo en base 2 a cada lado:
log
2
𝑥
= log
2
5
Aplicando la sexta propiedad de los logaritmos:
𝑥 · log
2
2 = 5 · log
2
Así que, la solución de esta ecuación es 𝑥 = 5.
Nota: En esta última ecuación estaba claro que su solución era x=5 y se podía hacer directamente.
d) 𝟐, 𝟓
𝒙
Componemos por el logaritmo en base 2 , 5 a cada lado:
log
2 , 5
𝑥
= log
2 , 5
Aplicando la sexta propiedad de los logaritmos:
𝑥 · log
2 , 5
2 , 5 = log
2 , 5
𝑥 = log
2 , 5
Que, con calculadora es 𝑥 = 4 , 247364033.
Así que, la solución de esta ecuación es 𝑥 = 4 , 247364033.
6. Resol:
a) 𝐥𝐨𝐠
𝟕
Aplicando la definición de logaritmo o componiendo por la exponencial de base 7 a cada lado,
eliminaremos el logaritmo:
2
Y queda una ecuación de primer grado que pasamos a resolver:
Así, la solución de esta ecuación es 𝑥 =
43
5
b) 𝐥𝐨𝐠
𝟑
Aplicando la definición de logaritmo o componiendo por la exponencial de base 3 a cada lado,
eliminaremos el logaritmo:
0
Y queda una ecuación de primer grado que pasamos a resolver:
Así, la solución de esta ecuación es 𝑥 =
1
3
7. Resuelve:
a)
𝒙+𝟕
𝒙+𝟑
𝒙
𝟐
−𝟑𝒙+𝟔
𝒙
𝟐
+𝟐𝒙−𝟑
Factorizaremos los denominadores para poder después conseguir el mismo denominador en
cada fracción:
2
El denominador que buscaremos, el m.c.m., será
2
Ahora, al multiplicar por
, desaparecerán los denominadores:
2
Que es una ecuación de segundo grado que pasamos a resolver:
2
2
2
2
2
2
Que, aplicando la fórmula, no nos proporciona ninguna solución, por tanto, no hay soluciones a
esta ecuación.
b)
𝒙+𝟏
𝒙
𝟐
−𝟐𝒙
𝒙−𝟏
𝒙
Factorizaremos los denominadores para poder después conseguir el mismo denominador en
cada fracción:
El denominador que buscaremos, el m.c.m., será 𝑥 · (𝑥 − 2 ):
Ahora, al multiplicar por (𝑥 − 1 ) · (𝑥 + 3 ), desaparecerán los denominadores:
Que es una ecuación de segundo grado que pasamos a resolver:
2
2
2
2
2
Que, aplicando la fórmula, nos proporciona como soluciones de esta ecuación 𝑥 = 3 y 𝑥 = − 1.
8. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 𝒙
𝟒
𝟑
𝟐
Al ser un polinomio de grado mayor a 2 y no tratarse de una ecuación bicuadrada, la única
posibilidad es factorizar el polinomio y trabajar con sus factores. Factorizamos por Ruffini:
4
3
2
3
2
2
Así, el polinomio queda factorizado de la siguiente forma:
4
3
2
Y, por tanto, la ecuación inicial pasa a ser:
Y, como el producto de cuatro factores es 0 solo cuando uno de ellos lo es, tenemos cuatro
ecuaciones que resolver:
Así, las soluciones de esta ecuación son 𝑥 = 1 , 𝑥 = 2 , 𝑥 = − 2 y 𝑥 = 9.
1 -10 5 40 -
1 1 -9 -4 36
1 -9 -4 36 0
2 2 -14 -
1 -7 -18 0
-2 -2 18
1 -9 0
