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# Avance 17 (cont-8 .Diciembre) ECUACIONES POLINOMICAS Polinomios definidos sobre un Cuerpo.
Definición.- Sobre el Anillo (A, +,•) se define el polinomio formal del anillo a la función P:N 0 A que verifica P(n) = 0 Con Dominio: Dp =N 0 = {0,1,2,3,…..} e Imagen P(i) = ai i N 0
La definición dada caracteriza atodo polinomio formal como una sucesión de elementos de A cuyos términos son nulos a partir de cierto índice, siendo usual identificar a un polinomio formal de la siguiente manera:
P = (a 0 ,a 1 , a 2 ,a 3 , …..an , 0, 0, 0, ……..)
El hecho que P(n) = an 0 , no significa que P(i) = ai sea diferente de cero, con i < n De acuerdo a la definición, tenemos:
Polinomio nulo: 0 = (0, 0, 0, 0, …….0, 0, 0,…….) Polinomio unidad 1 = (1, 0, 0, 0, …….0, 0, 0, …...) Definición: Grado de un Polinomio.-
El grado de un polinomio no nulo es el mayor entero n que satisface P(n) 0 , definido por g[P(n)], así por ejemplo
P(n)=(0, 0, 2, 4, 0, 0, 8, 5, 0, 0,…….) tiene grado 7 g[P(n)] = P(n)=(6, 0, 1, 4, 0, 2, 0, 0, 0,.……….) tiene grado 5 g[P(n)] =
Definición: Indeterminada.-
Se conoce como indeterminada al polinomio formal x = ( 0, 1, 0, 0, …….0, 0, 0, …...) Operaciones:
Sea P el conjunto de polinomios P = {P / P:N 0 A }
Se define:
- Suma o Adición: (P + Q)(n) = P(n) + Q(n)
- Producto o Multiplicación: (P • Q)(n) = ∑^ ( )^ ( ) Sean los grados: g[P(n)] = k 1 grado del Polinomio P(n) g[Q(n)] = k 2 grado del Polinomio Q(n) Los grados en cada caso serán:
- Suma: Si g[P(n)]> g[Q(n)] => g[(P + Q)(n)] = g[P(n)] Si g[P(n)]< g[Q(n)] => g[(P + Q)(n)] = g[Q(n)]
- Producto: Si g[P(n)]=k 1 ^ g[Q(n)]=k 2 => g[(P • Q)(n)] k 1 +k 2
Propiedades de operaciones con Polinomios:
En el conjunto de polinomios se verifica
- ( P , + ) Preserva estructura de Grupo Abeliano, al satisfacer: Cierre (clausura), Asociatividad, Existencia de neutro (polinomio 0 ), Existencia de inversos (polinomios opuestos) y Conmutatividad.
- ( P , • ) Es un Semigrupo, unitario, conmutativo, al satisfacer: Cierre (clausura), Asociatividad, Existencia de neutro (polinomio 1), Y conmutatividad.
Puesto que el producto distribuye a la suma, la terna ( P , + , • ) es un anillo con Identidad, llamado Anillo de los polinomios formales del anillo A.
Ecuación Polinomica:
En base a la indeterminada x , definimos:
x^0 = (1,0, 0, 0, ……0, 0,………) x^1 = (0,1,0 , 0, ……0, 0,………) x^2 = (0, 0,1, 0, ……0, 0,………) x^3 = (0, 0, 0,1, ……0, 0,………)
……………………………… xm(n) = 1 <=> n = m = 0 <=> n m Así el polinomio formal P = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ……..an, 0, 0, ……..)
Se puede escribir:
P = (a 0 ,0,0 …0,0,…)+(0,a 1 ,0,0,…0,0,..)+(0,0,a 2 ,0,….0,0,..)+(0,0,0,a 3 ,0,..0,0,..)+
+…….+(0,0,0,0,…..,an,0,0,….)
P = a 0 (1,0,0 …0,0,)+ a 1 (0,1,0,0,…0,0,..)+ a 2 (0,0,1,0,….0,0,..)+ a 3 (0,0,0,1,0,..0,0,..)+…….+ an (0,0,0,0,…..,1,0,0,….)
Reemplazando las diferentes potencias de la indeterminada:
P = a 0 x^0 + a 1 x^1 + a 2 x^2 + a 3 x^3 +……….+ an xn
Expresado como:
P(x) = ∑ an: termino principal a 0 : termino independiente
Raíces distintas:
Sean α 1 , α 2 , α 3 ,…. αn, raíces distintas de P P (x) => ∏^ ( (^) ) / P
Raíces múltiples:
Sea α raíz de P P (x), α tiene multiplicidad p N
<=> p es múltiplo de (x- α) p^ pero no lo es de (x- α) p+
Relación entre raíces y coeficientes de polinomio:
Sea P= ∑^ = an xn^ + an- 1 xn-^1 + an- 2 xn-^2 +… + a 1 x^1 + a 0 x^0
Y su descomposición factorial‘
P= an (x- α 1 )(x- α 2 )(x- α 3 )…. (x-αn) con: α 1 , α 2 , α 3 ,…. αn, raíces de P
Operando:
P= an [xn^ – (α 1 +α 2 +α 3 +…+αn ) xn-1^ + (α 1 .α 2 + α 1 .α 3 +…+ αn-1.αn) xn-2^ –
. - (α 1 .α 2 .α 3 + α 1 .α 2 .α 4 +…..+ αn-2.αn-1 .αn) an-3 xn-3^ +…….+ +(-1)n^ ( α 1 , α 2 , α 3 ,…. αn ). Igualando expresiones:
an (α 1 +α 2 +α 3 +…+αn ) = an- 1 => α 1 +α 2 +α 3 +…..+αn = - an- 1 / an = ∑ an (α 1 .α 2 + α 1 .α 3 +…+ αn- 1 .αn)= an- 2 => α 1 .α 2 + α 1 .α 3 +…+ αn- 1 .αn= an- 2 / an an (α 1 .α 2 .α 3 + α 1 .α 2 .α 4 +…..+ αn- 2 .αn- 1 .αn)= an- 3 => α 1 .α 2 .α 3 + α 1 .α 2 .α 4 +…..+ αn- 2 .αn- 1 .αn=- an- 3 / an ……………………………………………… (-1)n^ an ( α 1. α 2. α 3. …. αn )= a 0 => α 1 , α 2 , α 3 ,…. αn = (-1)n^ a 0 / an = ∏^ )
Ejemplo:
Determinar el polinomio de grado 3 cuyas raíces son: -2,2, Asi: P(x) = x^3 + a 2 x^2 + a 1 x^1 + a 0 donde a 3 = 1
α 1 +α 2 +α 3 = - a 2 => (-2)+(2)+(3) =- a 2 => a 2 = - α 1 .α 2 + α 1 .α 3 + α 2 .α 3 = a 1 =>(-2)(2)+(-2)(3)+(2)(3)= a 1 => a 1 = - α 1. α 2. α 3 ..…. αn = -a 0 => (-2)(2)(3) = -a 0 => a 0 = 12 Entonces: P(x) = x^3 - 3x^2 - 4 x + 12
Ejemplo:
Usando relación entre raíces y coeficientes de polinomio. Determinar las raíces del polinomio: P(x) = = x^3 - 2x^2 - x + 2
Se tiene: α 1 +α 2 +α 3 = - a 2 = -(-2) => α 1 +α 2 +α 3 = 2 ( α 1 .α 2 + α 1 .α 3 + α 2 .α 3 = a 1 = -1 => α 1 .α 2 + α 1 .α 3 + α 2 .α 3 =-1 ( α 1. α 2. α 3 = -a 0 = 2 => α 1. α 2. α 3 = 2 (
Genera un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuya resolución determina las raíces buscadas:
α 1 = 2 α 2 = 1 α 3 = -
Ecuación de 4to grado : De manera análoga a la solución de ecuación de tercer grado, aunque con un mayor empleo de cambio de variable, se pueden calcular las raices de este polinomio:
Ecuación completa de cuarto grado:
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d =
Ecuación reducida de cuarto grado:
Con el c.v. x = y – a/4 , se obtiene
y^4 + py^2 + qy + r = 0 “Ecuación reducida de cuarto grado” Donde:
p = [-3 a^2 /8 + b] q=a^3 /8+ab/4+c r=3 a^4 /4^4 +ba^2 /4-ac/4+d
- Efectuando un nuevo cambio en base a los mismos coeficientes: z^3 – p z^2 – 4r z + (4pr – q2) = 0
- Se determina una raíz z 1 de esta ecuación completa de 3er grado, por procedimientos señalados.
- Con el valor z 1 y los coeficientes de la ecuación reducida de 4to grado, se calculan los números: K 1 = (^) √ t 1 = ½ (z 1 + q/k) m 1 = ½ (z 1 - q/k)
- Con los valores k 1 , t 1 , m 1 , se escriben las ecuaciones: y^2 – k 1 y + t 1 = 0 y^2 + k 1 y + m 1 = 0
- Se resuelven las ecuaciones y los cuatro valores obtenidos de ‘y” son las raices de la ecuación reducida de cuarto grado.
- Las cuatro raices “x” de la ecuación completa de cuarto grado serán: xi = yi – a/4 i: 1,2,3,
División sintética:
La división sintética o Regla de Ruffini , es un método que permite resolver ecuaciones de tercer grado a mayor, lo que significa obtener raices de polinomios de tercer grado o mayor. Por su simplicidad es también empleado en solución de ecuaciones de segundo grado.
Si un dividendo es A, un polinomio de grado n ,y el divisor es B un polinomio de grado 1 , esto es: B = b 1 x + b 0 , de acuerdo al algoritmo de la división, el cociente Q será un polinomio de grado n-1 y el resto es el polinomio nulo o de grado cero identificado con una constante en K. Asi: A = B. Q + r Por ello cuando el divisor es de primer grado o mónico, es posible obtener el cociente y el resto aplicando la Regla de Ruffini. Sea A= an xn^ + an- 1 xn-^1 + an- 2 xn-^2 +… + a 1 x^1 + a 0 x^0 B= x + b 0 = x – a siendo a = -b 0
El cociente, polinomio de grado n-1: Q = cn-1 xn-1^ + cn-2 xn-2+… + c 1 x^1 + c 0 x^0 Se obtiene a partir del siguiente procedimiento:
an an- 1 an- 2 ..…. a 1 a 0 a acn-1 a cn-2 ….a c 1 a c 0 cn-1 cn-1 cn-2 …. cn-1 r
Ejemplo: Aplicando la regla d Ruffini, obtener el cociente y el resto del polinomio, de la división de: A(x) = 3x^3 – x^2 - 4x + 2 entre B(x)= x - 2 3 -1 - 4 2 2 6 10 12 3 5 6 14 Q(x) = 3x^2 + 5x + 6 r = 14
En el ejemplo, puesto que r=14 0 entonces x = 2 no es raíz. Especializando: A(2) = 3(2)^3 – (2)^2 -4(2) + 2 = 24- 4- 8+ 2 = 14 Que verifica que A(x) = r (si r=0 => x es raíz)
Raices Enteras y Racionales El polinomio real P de grado n con coeficientes enteros, admite una raíz racional p/q , donde p y q son coprimos, entonces p es divisor del termino independiente y q es divisor del termino principal La obtención de estas raices se obtienen mediante la regla de Ruffini u otro método directo.
