Matematicas empresariales, Apuntes de Matemática Empresarial

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Diplomatura en Ciencias Empresariales

MATEM ´ATICAS

EMPRESARIALES

• Tema I: Elementos b´asicos de ´algebra lineal Las matem´aticas en la econom´ıa y en la empresa v
  • 1.1 Vectores y matrices
  • 1.2 Determinantes
  • 1.3 Sistemas de ecuaciones lineales
  • 1.4 Matrices inversas
  • 1.5 Independencia lineal, rango de una matriz.
  • 1.6 Problemas
• Tema II: Espacios vectoriales
  • 2.1 Funciones de varias variables
  • 2.2 Variedades lineales y afines
  • 2.3 Aplicaciones lineales
  • 2.4 Aplicaci´on: El m´etodo s´ımplex
  • 2.5 Caracterizaciones abstractas
  • 2.6 Problemas
  • 2.7 Cuestiones
• Tema III: L´ımites y continuidad
  • 3.1 Dominios
  • 3.2 Nociones de topolog´ıa en Rn
  • 3.3 L´ımites y continuidad
  • 3.4 Problemas
  • 3.5 Cuestiones
• Tema IV: Derivaci´on
  • 4.1 Incrementos parciales
  • 4.2 Derivadas parciales
  • 4.3 Conceptos relacionados con las derivadas
  • 4.4 Algunas demostraciones
  • 4.5 Problemas
  • 4.6 Cuestiones
• Tema V: Diferenciabilidad
  • 5.1 Incrementos totales
  • 5.2 Funciones diferenciables
  • 5.3 El polinomio de Taylor
  • 5.4 Problemas
  • 5.5 Cuestiones
• Tema VI: Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas iv ´INDICE GENERAL
  • 6.1 Derivaci´on de funciones compuestas
  • 6.2 El teorema de la funci´on impl´ıcita
  • 6.3 Funciones homog´eneas
  • 6.4 Problemas
• Tema VII: Convexidad
  • 7.1 Formas cuadr´aticas
  • 7.2 Conjuntos convexos
  • 7.3 Funciones c´oncavas y convexas
  • 7.4 Problemas
  • 7.5 Cuestiones
• Tema VIII: Optimizaci´on Cl´asica
  • 8.1 Introducci´on a la programaci´on matem´atica
  • 8.2 Las condiciones de Lagrange
  • 8.3 Condiciones suficientes de optimalidad
  • 8.4 Interpretaci´on econ´omica de los multiplicadores
  • 8.5 Problemas
• Tema IX: La integral definida
  • 9.1 La integral de Riemann
  • 9.2 La integral impropia
  • 9.3 La integral m´ultiple
  • 9.4 Problemas
• Tema X: Ecuaciones diferenciales

Las matem´aticas en la econom´ıa y en

la empresa

El objetivo principal de este curso es proporcionarte las herramientas matem´aticas b´asicas que requiere la econom´ıa y, m´as concretamente, que necesitar´as en otras asignaturas de la Diplomatura en Ciencias Empresariales. Son muchos los alumnos con problemas para asimilar los contenidos de esta asignatura, lo cual se debe en gran parte a la dificultad que requiere trabajar con conceptos abstractos. Para atenuar este inconveniente trataremos de exponer los conceptos que requiere la asignatura en un entorno lo m´as “confortable” posible para un alumno familiarizado o que empieza a familiarizarse con la teor´ıa econ´omica b´asica. Ahora no puedes formarte una idea general del papel y la funci´on que desempe˜nan las matem´aticas dentro de la econom´ıa, pero conviene que comprendas desde el primer momento que las matem´aticas son imprescindibles en muchos contextos y convenientes en otros. La aplicaci´on m´as directa de la matem´atica a la econom´ıa la tenemos en la matem´atica financiera. Es la que nos permite resolver problemas tales como cu´anto dinero me ha de dar un banco despu´es de haber tenido depositado un capital durante tantos a˜nos con tal tipo de inter´es, o qu´e pensi´on mensual me corresponder´a cuando me jubile si durante los ´ultimos 20 a˜nos he estado aportando tales cantidades a un plan de pensiones con tales condiciones de rentabilidad, etc. Un ejemplo m´as sofisticado es el problema de valorar inversiones. Por poner un caso especialmente delicado ¿cu´anto vale un seguro de vida?, es decir, ¿cu´anto ha de cobrar una empresa aseguradora a sus clientes de modo que sus tarifas sean lo suficientemente bajas para ser competitivas y lo suficientemente altas para obtener un cierto margen de beneficio? Este problema involucra un estudio estad´ıstico sobre el riesgo de mortalidad de la poblaci´on, que ya de por s´ı requiere un cierto aparato matem´atico, pero aun hecho esto, todav´ıa hay que estudiar c´omo usar esta informaci´on para llegar a una valoraci´on fiable. Por otro lado la matem´atica puede aplicarse al estudio del comportamiento de realidades matem´aticas complejas, de modo que nos permite hacer conjeturas razonables sobre el comportamiento de los precios en un mercado en funci´on de la oferta y la demanda, etc. En el campo de la empresa, la matem´atica es ´util a la hora de tomar decisiones. Por ejemplo, un estudio detallado de una empresa puede sugerir variaciones que permitan reducir costes o aumentar beneficios, pero a menudo las posibilidades son demasiadas para analizarlas todas hasta el punto de poder comparar unas con otras, y la matem´atica proporciona m´etodos para buscar la mejor soluci´on viable que satisfaga los objetivos buscados. Se podr´ıan poner muchos ejemplos m´as.

La modelizaci´on matem´atica Para entender el uso de las matem´aticas en econom´ıa es fundamental el concepto de modelizaci´on. Las matem´aticas no reflejan la realidad tal cual es, sino que la modelizan, lo cual supone hacer abstracci´on de aquellos aspectos de la realidad que no son relevantes para el problema que se estudia. Sucede lo mismo en todas las aplicaciones de la matem´atica: para estudiar un eclipse de luna podemos considerar al Sol, la Tierra y la Luna como tres esferas de ciertos radios y a ciertas distancias. En realidad la Tierra no es una esfera, pues tiene valles y monta˜nas, pero eso no importa para el estudio de los eclipses. Por ello una esfera es un modelo matem´atico aceptable de la Tierra. Similarmente, a la hora de estudiar las relaciones b´asicas entre la demanda de un art´ıculo en un mercado y su precio, podemos suponer que la demanda s´olo depende del precio, lo cual no es cierto, pero las

v

vii

Todas las t´ecnicas que vamos a estudiar corresponden a la matem´atica continua, lo cual significa, seg´un hemos explicado, que consideraremos que cualquier magnitud econ´omica viene expresada por un n´umero real, al que podremos imponer restricciones cualitativas (por ejemplo, el precio de un producto no puede ser un n´umero negativo), pero nunca lo restringiremos a valores discretos. As´ı, admitiremos que un problema nos lleve a la conclusi´on de que el precio ´optimo al que una empresa debe vender un producto sea p =

2 C. Puesto que es pr´acticamente imposible que un precio tenga infinitos decimales, esto deber´a interpretarse en ´ultimo extremo como que el precio ´optimo ser´a de p = 1. 41 C. A lo largo del curso comprenderemos las repercusiones de este hecho.

2 Tema 1. Elementos b´asicos de ´algebra lineal

Ejemplos Si en un mercado se venden los productos A 1 ,... , An, entonces los precios de dicho mercado est´an representados por un vector de precios ¯p = (p 1 ,... , pn), donde cada pi es el precio unitario del producto Ai. (La unidad ser´a en cada caso la adecuada, i.e. si A 1 es az´ucar p 1 estar´a en C /Kg, si A 2 es pan p 2 estar´a en C /barra, etc.) M´as concretamente, supongamos que tenemos tres productos A, B y C y que el vector de precios es p¯ 0 = (5, 1 , 2). En enero se establece una rebaja dada por el vector de incrementos ∆¯p = (− 1 , − 18 , − 12 ). Entonces los precios rebajados resultan ser

p¯ 1 = ¯p 0 + ∆¯p =

Supongamos ahora otro mercado cuyo vector de precios es ¯p 0 = (5, 6 , 3). Al a˜no siguiente, la inflaci´on determina un aumento en los precios del 2%. El vector de precios resultante es

p¯ 1 = ¯p +

p¯ 0 = (5, 6 , 3) + (0. 1 , 0. 12 , 0 .06) = (5. 1 , 6. 12 , 3 .06).

Lo que debes aprender de este ejemplo es que el c´alculo con vectores permite resumir en una ´unica operaci´on matem´atica lo que, componente a componente, son n operaciones simult´aneas con n bloques de datos.

En el ejemplo anterior nos ha aparecido una noci´on que nos encontraremos a menudo y que, por lo tanto, conviene comprender bien: la noci´on de incremento:

Cuando una magnitud M experimenta una variaci´on y pasa de tomar un valor inicial M 0 a tomar un valor final M 1 , el incremento que experimenta se define como ∆M = M 1 − M 0 , o sea, (valor final menos valor inicial).

Notemos que, aunque en el lenguaje usual “incremento” es sin´onimo de “aumento”, en matem´aticas “incremento” es sin´onimo de “variaci´on”, la cual puede ser indistintamente un aumento o una disminuci´on. Por ejemplo, si una barra de pan en un comercio pasa de valer 25 c´entimos a valer 23 c´entimos, diremos que el precio p del pan ha experimentado un incremento de

∆p = 23 − 25 = −2 c´entimos.

La noci´on de incremento se aplica tanto a magnitudes escalares como vectoriales. Si la magnitud es vectorial (por ejemplo, un vector de precios) sus incrementos ser´an tambi´en vectores (vectores de incrementos), mientras que si es escalar el incremento ser´a un escalar.

A menudo es necesario estructurar unos datos de forma m´as elaborada que simplemente ponerlos en fila. Para ello est´a el concepto de matriz.

Matrices Si m, n ≥ 1 son n´umeros naturales, una matriz m × n de n´umeros reales es un conjunto A de m · n n´umeros reales ordenados en m filas y n columnas. Al n´umero que ocupa la fila i y la columna j se le representa por aij. Por lo que una matriz A se representa tambi´en por A = (aij ). As´ı pues, una matriz m × n es de la forma

A =

a 11 · · · a 1 n .. .

am 1 · · · amn

Ejemplos La matriz A es 3 × 3, mientras que B es 2 × 4:

A =

 , B =

1.2. Determinantes 3

Las matrices con el mismo n´umero de filas que de columnas se llaman cuadradas, mientras que las que no son cuadradas se llaman rectangulares. Los vectores de Rn^ son un caso particular de matrices. Por ejemplo, podemos ver a (2, 3 , 5 , 5) como un vector de R^4 o como una matriz1 × 4. Estas matrices que tienen una sola fila se llaman vectores fila. Igualmente, las matrices con una sola columna se llaman vectores columna. Debes ser capazde realizar las operaciones siguientes con matrices:

Suma Si A = (aij ) y B = (bij ) son matrices m × n, entonces A + B = (aij + bij ). Ejemplo:

( 1 3 − 2 2 1 9

Producto por un escalar Si α ∈ R y A = (aij ) es una matriz m × n, entonces αA = (αaij ). Ejemplo:

Producto de matrices Si A = (aij ) es m × n y B = (bij ) es n × r, entonces AB es la matrizque en la posici´on (i, j) tiene el n´umero ai 1 b 1 j + · · · + ainbnj. Ejemplo:

( 1 3 − 2 2 1 9

Trasposici´on Si A es una matriz m×n, se llama matriz traspuesta de A a la matriz n×m representada por At^ dada por atij = aji, es decir, At^ es la matrizque resulta de cambiar filas por columnas. Ejemplo:

A =

, At^ =

Una matrizcuadrada A es sim´etrica si coincide con su traspuesta, es decir, si A = At. Por ejemplo, la matriz S es sim´etrica, pero T no lo es:

S =

 , T =

Para terminar, se define la matriz nula m × n como la matrizcuyos coeficientes son todos 0. La matriz identidad m × m es la matriz Im que tiene unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal. Por ejemplo:

I 1 = (1), I 2 =

, I 3 =

1.2 Determinantes

Cada matrizcuadrada A tiene asociado un n´umero real llamado determinante de A, y que represen- taremos por |A| o det A. Los determinantes nos aparecer´an m´as adelante a la hora de dar criterios que determinen si una funci´on es c´oncava o convexa, o si tiene un m´aximo o un m´ınimo en un punto dado. Como la definici´on te´orica de determinante es complicada, ser´a suficiente con que sepas c´omo calcularlos en la pr´actica:

Matrices 1 × 1 Simplemente, |a| = a. Ejemplo, | − 5 | = −5.

1.3. Sistemas de ecuaciones lineales 5

es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres inc´ognitas. Observemos que admite la expresi´on matricial  

x y z

En general, un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas admite siempre la expresi´on matricial A¯xt^ = ¯bt, donde A es una matriz m × n llamada matriz de coeficientes del sistema, ¯b ∈ Rm^ es el vector de t´erminos independientes y ¯x ∈ Rn^ es el vector de inc´ognitas.

Para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones podemos emplear el m´etodo de reducci´on de Gauss, consistente transformar el sistema teniendo en cuenta que si a una ecuaci´on le sumamos otra multiplicada por un escalar, el sistema que resulta sigue teniendo las mismas soluciones, al igual que si multiplicamos o dividimos una ecuaci´on por un escalar no nulo. Por ejemplo,

x + 2y − z = 3 2 x − y + 3z = 6 −x + y + 4z = 3

x + 2y − z = 3 − 5 y + 5z = 0 3 y + 3z = 6

x + 2y − z = 3 −y + z = 0 y + z = 2

x + 2y − z = 3 −y + z = 0 2 z = 2

Con esto hemos triangulado el sistema, es decir, hemos dejado la x s´olo en la primera ecuaci´on, la y s´olo en las dos primeras ecuaciones y la z (s´olo) en las tres primeras ecuaciones. Resolver un sistema triangulado es inmediato:

z =

= 1, y = z = 1, x = 3 − 2 y + z = 3 − 2 + 1 = 2.

La soluci´on es, pues, (x, y, z) = (2, 1 , 1).

Sistemas indeterminados En general un sistema de ecuaciones lineales no tiene por qu´e tener una ´unica soluci´on. El m´etodo de Gauss es aplicable tambi´en aunque haya m´as de una. Ve´amoslo en un ejemplo:

x + 2y + z = 4 2 x + y − z = 2 7 x + 8y + z = 16

x + 2y + z = 4 − 3 y − 3 z = − 6 − 6 y − 6 z = − 12

x + 2y + z = 4 y + z = 2 y + z = 2

x + 2y + z = 4 y + z = 2

Ahora el sistema ha quedado triangulado, pero hay menos ecuaciones que inc´ognitas. En tal caso asignamos valores arbitrarios a todas las variables de la ´ultima ecuaci´on excepto a una. Por ejemplo, hacemos z = λ, donde λ ∈ R es un n´umero real arbitrario. Al despejar queda:

z = λ, y = 2 − λ, x = 4 − 2 y − z = 4 − 2(2 − λ) − λ = λ.

Las s´oluciones del sistema son, pues, (x, y, z) = (λ, 2 −λ, λ), para todo λ ∈ R. El hecho de que λ pueda tomar cualquier valor se expresa diciendo que λ es un par´ametro. Como λ puede tomar infinitos valores, el sistema tiene infinitas soluciones. A veces podemos necesitar una soluci´on particular del sistema. Para encontrarla basta elegir valores concretos para los par´ametros de los que dependa la soluci´on general. Por ejemplo, si hacemos λ = 3 obtenemos la soluci´on particular (x, y, z) = (3, − 1 , 3).

Sistemas incompatibles Tambi´en puede suceder que un sistema de ecuaciones lineales no tenga so- luci´on. El m´etodo de Gauss nos permite reconocer si se da el caso:

2 x − y + 3z = 2 x + y − z = 1 4 x + y + z = 6

2 x − y + 3z = 2 3 y − 5 z = − 3 3 y − 5 z = 2

2 x − y + 3z = 2 3 y − 5 z = − 3 0 = 5

Como la ´ultima ecuaci´on es imposible, concluimos que el sistema no tiene soluci´on. (En realidad esto se ve ya al comparar las dos ´ultimas ecuaciones del sistema del centro.)

6 Tema 1. Elementos b´asicos de ´algebra lineal

Clasificaci´on de los sistemas de ecuaciones lineales Los casos anteriores agotan todas las po- sibilidades para un sistema de ecuaciones lineales: o bien tiene una ´unica soluci´on, y entonces se dice que es compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones, que quedar´an en funci´on de uno o m´as par´ametros, en cuyo caso se dice que es compatible indeterminado, o bien no tiene soluci´on, en cuyo caso se dice que es incompatible.

Ejemplo Sea ¯p = (p 1 , p 2 , p 3 ) el vector de precios de un mercado en el que se venden tres productos A, B y C. Se estima que la oferta y la demanda de cada uno de ellos viene dada por

SA = 2p 1 + p 2 + 3p 3 − 10 DA = 19 − 3 p 1 − p 2 − p 3 SB = 6p 1 + 2p 2 + p 3 − 20 DB = 25 − 4 p 1 − p 2 − 2 p 3 SC = 3p 1 + 2p 2 + p 3 − 20 DC = 16 − 2 p 1 − 3 p 2 − 2 p 3

Vamos a calcular los precios de equilibrio, es decir, los precios para los cuales la oferta coincide con la demanda. Esto nos lleva a resolver el sistema:

2 p 1 + p 2 + 3p 3 − 10 = 19 − 3 p 1 − p 2 − p 3 6 p 1 + 2p 2 + p 3 − 20 = 25 − 4 p 1 − p 2 − 2 p 3 3 p 1 + 2p 2 + p 3 − 20 = 16 − 2 p 1 − 3 p 2 − 2 p 3

En primer lugar lo ordenamos y luego aplicamos el m´etodo de Gauss:

5 p 1 + 2p 2 + 4p 3 = 29 10 p 1 + 3p 2 + 3p 3 = 45 5 p 1 + 5p 2 + 3p 3 = 36

5 p 1 + 2p 2 + 4p 3 = 29 −p 2 − p 3 = − 13 3 p 2 − p 3 = 7

5 p 1 + 2p 2 + 4p 3 = 29 −p 2 − 5 p 3 = − 13 − 16 p 3 = − 32

De aqu´ı se sigue f´acilmente que el vector de precios de equilibrio es ¯p = (3, 3 , 2).

Ejemplo Una empresa de productos alimenticios tiene un stock de 114 kilos de chocolate y 111 kilos de leche, con los que puede elaborar tres productos distintos A, B y C. El producto A requiere un 40 % de chocolate y un 10 % de leche, el producto B requiere un 25 % de chocolate y un 25 % de leche, mientras que C requiere un 20 % de chocolate y un 30 % de leche. Del resto de ingredientes (az´ucar, etc.) la empresa dispone de reservas abundantes. Determina las posibilidades que tiene la empresa para consumir su stock con los productos A, B y C. ¿Cu´al de todas le proporcionar´a m´as beneficios si la empresa obtiene 10 C por cada kilo de A, 8 C por cada kilo de B y 6 C por cada kilo de C?

Soluci´on: Llamemos x, y, z a las cantidades respectivas de los productos A, B y C que puede producir la empresa. En total se requieren 0. 4 x + 0. 25 y + 0. 2 z kilos de chocolate y 0. 1 x + 0. 25 y + 0. 3 z kilos de leche. Por consiguiente hemos de resolver el sistema

1. 4 x + 0. 25 y + 0. 2 z = 114
2. 1 x + 0. 25 y + 0. 3 z = 111

40 x + 25y + 20z = 11400 10 x + 25y + 30z = 11100

40 x + 25y + 20z = 11400 75 y + 100z = 33000

Hacemos z = λ, con lo que la soluci´on es

(x, y, z) = (10 +

λ, 440 −

λ, λ), para todo λ ∈ R.

Esta es la soluci´^ ´ on general del sistema, pero no es cierto que cualquier valor de λ nos d´e una producci´on aceptable para la empresa. Hemos de exigir que x, y, z sean mayores o iguales que 0, es decir,

λ 3

4 λ 3

≥ 0 , λ ≥ 0 ⇔ λ ≥ − 30 , λ ≤ 330 , λ ≥ 0.

En definitiva, los valores aceptables para el par´ametro son los que cumplen 0 ≤ λ ≤ 330. De este modo tenemos un ´unico n´umero λ que determina cada una de las posibilidades de la empresa. Si expresamos el

8 Tema 1. Elementos b´asicos de ´algebra lineal

Las variables de la derecha las convertimos en par´ametros: x = λ, w = μ, y las de la izquierda las calculamos por la regla de Cramer:

y =

4 − λ − μ − 2 3 − 2 λ − 2 μ 1

(4 − λ − μ + 6 − 4 λ − 4 μ) = 2 − λ − μ,

z =

1 4 − λ − μ 2 3 − 2 λ − 2 μ

(3 − 2 λ − 2 μ − 8 + 2λ + 2μ) = − 1.

La soluci´on es (x, y, z, w) = (λ, 2 − λ − μ, − 1 , μ), para todo λ, μ ∈ R.

1.4 Matrices inversas

El c´alculo de matrices inversas es una herramienta muy ´util para trabajar con sistemas de ecuaciones lineales:

Definici´on Si A es una matrizcuadrada n × n, se llama matriz inversa de A a la matriz A−^1 de orden n × n que cumple AA−^1 = A−^1 A = In, donde In es la matrizidentidad n × n.

Es importante tener presente que no todas las matrices cuadradas tienen inversa, pero cuando existe, la matrizinversa es ´unica, es decir, una misma matrizno puede tener dos matrices inversas distintas. Es f´acil saber cu´ando existe la matrizinversa:

Teorema Una matriz cuadrada tiene inversa si y s´olo si su determinante es diferente de 0.

Para calcular la inversas de una matrizcalculamos primero la llamada matriz adjunta:

Definici´on La matriz adjunta de una matrizcuadrada A es la matrizque tiene en la posici´on (i, j) el valor (−1)i+j^ multiplicado por el determinante de la matrizque resulta de tachar la fila i y la columna j de A. La representaremos por A˜.

Teorema Si una matriz cuadrada A tiene determinante no nulo, entonces

A−^1 =

|A|

A˜t.

Ejemplo Vamos a calcular la matrizinversa de

A =

En primer lugar calculamos |A| = 2 (si hubiera dado 0, no habr´ıa inversa). La matrizadjunta es

A˜ =

1.4. Matrices inversas 9

Ahora calculamos la traspuesta:

A˜t^ =

y por ´ultimo dividimos entre el determinante:

A−^1 =

Podemos comprobar que el resultado es correcto multiplicando:

AA−^1 =

 = I 3.

La relaci´on entre las matrices inversas y los sistemas de ecuaciones lineales se basa en el hecho de que todo sistema admite una expresi´on matricial de la forma

Ax¯t^ = ¯bt.

Si el sistema tiene el mismo n´umero de ecuaciones que de inc´ognitas (con lo que la matriz A es cuadrada) y |A| = 0, entonces el sistema es compatible determinado, ya que podemos calcular su soluci´on de la forma siguiente: Ax¯t^ = ¯bt^ ⇒ A−^1 A¯xt^ = A−^1 ¯bt^ ⇒ ¯xt^ = A−^1 ¯bt. En definitiva: Si la matrizde coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales Ax¯t^ = ¯bt^ es cuadrada y tiene determinante no nulo, entonces su soluci´on viene dada por ¯xt^ = A−^1 ¯bt.

Ejemplo Vamos a resolver matricialmente el sistema de ecuaciones

x + 3y + z = 5 2 x − y + z = 3 2 y = 8

Matricialmente es (^) 



x y z

La matriz A tiene determinante no nulo. De hecho, hemos calculado su inversa en el ejemplo anterior. Por lo tanto, la soluci´on es  

x y z

 (^) = A−^1 ¯bt^ =

La soluci´on es, pues, (x, y, z) = (14, 4 , −21). Si un sistema tiene m´as inc´ognitas que ecuaciones, todav´ıa podemos resolverlo matricialmente si la matrizde coeficientes A contiene una submatrizcuadrada B (del mismo n´umero de filas) con determinante

1.5. Independencia lineal, rango de una matriz 11

que ya est´a listo para despejar las variables b´asicas (y, w) en t´erminos de los par´ametros (x, z) = (λ, μ):

y = − 7 − 3 λ + 11μ, w = 12 − 5 λ − μ.

La soluci´on es

(x, y, z, w) = (λ, − 7 − 3 λ + 11μ, μ, 12 − 5 λ − μ), λ, μ ∈ R.

1.5 Independencia lineal, rango de una matriz

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

3 x + 2y = 7 2 x − y = 0 5 x + y = 7 4 x + 5y = 14

Parece m´as complicado de lo que realmente es, pues si nos fijamos bien podemos advertir que la tercera ecuaci´on es la suma de las dos primeras, mientras que la cuarta es dos veces la primera menos la segunda. Esto hace que cualquier soluci´on (x, y) de las dos primeras ecuaciones lo sea autom´aticamente de las otras dos, luego para resolver este sistema podemos eliminar las dos ´ultimas ecuaciones y quedarnos con 3 x + 2y = 7 2 x − y = 0

Este sistema se resuelve m´as r´apidamente. Es f´acil ver que su soluci´on es (x, y) = (1, 2). No costaba mucho darse cuenta de la relaci´on entre la tercera ecuaci´on y las dos primeras, pero la relaci´on de la cuarta con las dos primeras era menos evidente. En general, es ´util disponer de t´ecnicas para detectar este tipo de relaciones, pues permiten simplificar los sistemas de ecuaciones no s´olo a efectos pr´acticos, sino tambi´en te´oricos. De esto nos vamos a ocupar ahora.

Una ecuaci´on puede representarse vectorialmente, y para las consideraciones que vamos a hacer aqu´ı resulta m´as pr´actico. Las cuatro ecuaciones de arriba se corresponden con los vectores

(3, 2 , 7), (2, − 1 , 0), (5, 1 , 7), (4, 5 , 14).

Las relaciones que hemos observado son las siguientes:

(5, 1 , 7) = (3, 2 , 7) + (2, − 1 , 0), (4, 5 , 14) = 2 · (3, 2 , 7) − (2, − 1 , 0).

En general:

Definici´on Diremos que un vector ¯v ∈ Rn^ es combinaci´on lineal de los vectores ¯v 1 ,... , v¯m ∈ Rn^ si se puede expresar de la forma

¯v = λ 1 v¯ 1 + · · · + λm ¯vm, para ciertos λ 1 ,... , λm ∈ R.

Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente o ligado si uno de ellos es combinaci´on lineal de los dem´as.^2 En caso contrario diremos que el conjunto es linealmente dependiente o libre.

(^2) Existe una definici´on equivalente que no vamos a necesitar:un conjunto de vectores ¯v 1 ,... , v¯m es ligado si la ´unica forma de expresar ¯0 = λ 1 ¯v 1 + · · · + λm ¯vm es tomar todos los coeficientes λ 1 = · · · = λm = 0.

12 Tema 1. Elementos b´asicos de ´algebra lineal

En el ejemplo anterior, el conjunto de vectores

{(3, 2 , 7), (2, − 1 , 0), (5, 1 , 7), (4, 5 , 14)}

es ligado, porque el tercero y el cuarto son combinaciones lineales de los dos primeros. En cambio, los vectores. El cambio, el conjunto {(3, 2 , 7), (2, − 1 , 0)} es libre, porque no es posible expresar

(3, 2 , 7) = λ(2, − 1 , 0) (no puede ser 2λ = 3, −λ = 2, 0λ = 7),

ni tampoco (2, − 1 , 0) = λ(3, 2 , 7).

Nota Observemos que el vector ¯0 es combinaci´on lineal de cualquier conjunto de vectores ¯v 1 ,... , v¯m, pues siempre podemos expresarlo como

¯0 = 0 · ¯v 1 + · · · + 0 · ¯vm.

Por lo tanto, cualquier conjunto de vectores que contenga al vector ¯0 ser´a siempre linealmente depen- diente. En realidad habr´ıa una excepci´on, a saber, el conjunto {¯ 0 } formado s´olo por el vector ¯0 (porque no hay m´as vectores de los cuales pueda depender), pero vamos a aceptar como convenio que el conjunto {¯ 0 } tambi´en es linealmente dependiente. De este modo podemos afirmar en general que:

Todo conjunto de vectores que contenga al vector ¯ 0 es ligado. Por lo dem´as, un conjunto {v¯} formado por un solo vector no nulo siempre ser´a linealmente indepen- diente, pues no hay m´as vectores que los que ¯v pueda depender.

En estos t´erminos, cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales linealmente dependiente, las ecuaciones que son combinaci´on lineal de otras pueden ser eliminadas. Esto tiene importancia te´orica. Por ejemplo, no podemos decir en general que las soluciones de un sistema de 5 ecuaciones con 8 inc´ognitas vayan a depender de 8 − 5 = 3 par´ametros, porque si, por ejemplo, dos de las ecuaciones son linealmente dependientes del resto, en realidad tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 8 inc´ognitas, y el n´umero de par´ametros necesarios ser´a 5. En general:

Si un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas es linealmente independiente y tiene soluci´on, entonces las soluciones depender´an de n − m par´ametros. (Si el n´umero de par´ametros es 0 el sistema es compatible determinado.)

As´ı pues, para algo tan elemental como saber de cu´antos par´ametros depender´an las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, no basta con restar el n´umero de inc´ognitas menos el n´umero de ecuaciones, sino que hay que estudiar si existen dependencias lineales para eliminar primero las ecuaciones linealmente dependientes.

Para estudiar la dependencia lineal es muy ´util el teorema siguiente:

Teorema En una matriz A, el n´umero m´aximo de filas linealmente independientes que contiene coincide con el n´umero m´aximo de columnas linealmente independientes. A este mismo n´umero se le llama rango de la matriz A.

Por ejemplo, hemos visto que el rango de la matriz

A =

es igual a 2, porque las dos ´ultimas filas dependen de las dos primeras (luego el rango es a lo sumo 2) y las dos primeras son linealmente independientes (luego el rango es exactamente 2). Ahora bien, esto lo hemos visto “a ojo”. Seguimos sin tener un m´etodo para calcular el rango de una matrizo para estudiar la dependencia lineal de vectores sin tener que buscar a ojo relaciones entre ellos. Vamos a ver dos m´etodos: