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TEMA 2. LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
1.- Límites y cálculo de indeterminaciones.
Una definición informal de límite sería la idea de que f(x) se aproxima mucho a un valor “l” cuando el valor
de x se aproxima a un valor “k”. Lo podemos expresar del siguiente modo:
lim
!→#
El cálculo del límite anterior se limita a susDtuir el valor “k” en f(x) para que dé el valor “l”, a efectos
algebraicos y de cálculo se asemeja al cálculo de la imagen pero en un grado más infinitesimal.
Hay casos en los que a la hora de susDtuir ese valor “k” nos dan expresiones que en matemáDcas son
inexistentes como pueda ser un denominador nulo o un cociente de ceros o infinitos.
A todas estas expresiones las denominamos indeterminaciones pudiéndose calcular el verdadero valor del
límite a parDr de disDntos métodos matemáDcos:
(a) Indeterminación del :po *
𝟎
𝟎
+ // [
%
%
]
Pese a que se trata de contenido del tema siguiente, avanzaremos que el método más sencillo y que
más emplearemos será aplicando la regla de L’Hôpital el cual consiste en derivar el numerador y el
denominador de manera independiente (no se aplica la regla de derivación de un cociente).
Este método se aplica de forma reiterada (de manera conDnua) hasta dejar de tener indeterminaciones
de este Dpo y, en definiDva, un valor finito del límite de la función.
(b) Indeterminaciones del :po [𝟏
%
]
Para resolver las indeterminaciones de este Dpo aplicamos la llamada REGLA DE EULER, la cual es una
fórmula que ya vimos en el curso anterior.
(c) Indeterminaciones del :po [∞ − ∞]
Las indeterminaciones de este Dpo se pueden abordar de dos maneras:
- Trabajando con la conjugada de la expresión, es decir, mulDplicando y dividiendo por la misma
expresión con el signo cambiado para transformar la indeterminación en una de Dpo *
𝟎
𝟎
- Realizar el mínimo común múlDplo de las fracciones algebraicas, simplificar en la medida de lo
posible t trabajar con la indeterminación del Dpo *
𝟎
𝟎
2.- Estudio de la con:nuidad de funciones.
Definición. Diremos que una función es conDnua en un punto si existe la imagen de la función en ese
punto, existen los límites laterales de la función cuando la variable x se aproxima a dicho punto y los tres
valores coinciden, es decir:
Estudiamos la con.nuidad de f(x) en x=a:
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
!
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
"
Esta definición se puede extender en intervalos, es decir, sea el intervalo [a,b], si se cumple la definición
anterior en todos los puntos del intervalo, entonces la función es conDnua en dicho intervalo.
DisDnguimos dos Dpos de estudio de la conDnuidad de funciones.
2.1.- Con:nuidad de funciones lineales.
Se trata del caso en el que solo hay una función definida por lo que el estudio de la conDnuidad se limita al
estudio del dominio ya que en una función lineal el conjunto del dominio (conjunto de valores de x para los
que existe la imagen de la función) coincide con el conjunto de puntos donde f(x) es conDnua.
2.2.- Con:nuidad de funciones definidas a trozos.
Se trata del caso en el que la función viene definida por “subfunciones” denominados tramos o trozos.
En este caso nos limitaremos a estudiar el dominio de cada uno de los tramos y a aplicar la definición de
conDnuidad de una función en un punto, concretamente en el punto o los puntos de cambio de función.
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
!
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
"
3.- Discon:nuidades.
Definición. En el caso de que no se verifique alguna de las condiciones impuestas por la conDnuidad,
diremos que la función presenta una disconDnuidad. DisDnguimos casos:
(a) Discon:nuidad evitable.
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
!
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
"
(b) Discon:nuidad inevitable.
(b1) Discon:nuidad inevitable de salto finito. Los límites laterales no coinciden y dan valores
finitos ambos.
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
!
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
"
(b2) Discon:nuidad inevitable de salto infinito. Es el caso en el que uno de los límites laterales o
ambos dan infinito.
lim
!→&
!
lim
!→&
"
4.- Teoremas.
A conDnuación, en este apartado trataremos los dos teoremas fundamentales de este tema: Teorema de
Bolzano (es el que más aplicaciones prácDcas Dene) y el Teorema de Weierstrass.
(a) Teorema de Bolzano.
¿Cómo nos pueden preguntar de manera prácDca el teorema de Bolzano?
- Estudio de las raíces o soluciones de una ecuación estudiando los cambios de signo que Dene una
función en un intervalo.
- Estudio de puntos de corte de dos funciones en un intervalo.
6.- Reglas de derivación.
NOTA. A diferencia del pasado curso, no va a ser necesario aprenderse la derivada Potencial-exponencial y
de las trigonométricas, al igual que el curso pasado, solo serán necesarias la del seno, coseno, tangente y
arcotangente.
Es importante recordar que para derivar correctamente aplicando la regla de la cadena, tenemos que tener
en cuenta que hay algunas funciones que Denen “problemas de notación” como son las funciones
logarítmicas y trigonométricas cuando Denen un exponente. Veamos un ejemplo:
'
La regla de la cadena nos dice que tenemos que derivar de fuera hacia dentro y en estas funciones
podríamos confundirnos y entender que la función más externa es la del seno pero no, ya que:
'
(𝑥) = [𝑠𝑒𝑛(𝑥)]
'
De esta forma ya se ve claramente que la función más externa es la exponencial y después la
trigonométrica.
7.- Derivavbilidad de una función.
Recordemos que en el estudio de la derivabilidad de una función hay una proposición que siempre
debemos poner para justificar el procedimiento que vamos a seguir:
Debido a esta implicación, para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, primero debemos
estudiar la continuidad de la función en dicho punto.
Podemos generalizar lo anterior con el estudio de la derivabilidad en intervalos.
Una vez estudiada la continuidad de la función, para estudiar la derivabilidad de la función en un punto,
bastará con calcular los límites laterales de la función derivada para ese punto, es decir, no es necesario
estudiar la imagen de la función derivada en dicho punto.
Para que se cumpla que la función es derivable en ese punto se debe verificar que:
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
!
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
!→&
"
Dicho con otras palabras, los límites laterales de la función derivada en los puntos de estudio son finitos y
dan el mismo valor, en caso contrario diremos que la función no es derivable.
