Matematicas I, Apuntes de Matemática Financiera

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MATEM ´ATICAS I

Licenciatura de Administraci´on y

Direcci´on de Empresas

Fernando Casas, Mar´ıa Vicenta Ferrer, Pura Vindel

Departament de Matem`atiques

Universitat Jaume I

Estas notas constituyen el material b´asico empleado en el curso de Matem´aticas I de la Licenciatura de Administraci´on y Direcci´on de Empresas en la Universitat Jaume I. El contenido es una introducci´on al ´algebra lineal y matricial, e incluye tambi´en algunas aplicaciones a la econom´ıa. Estas notas tambi´en incorporan los enunciados de los problemas habitualmente planteados y resueltos durante el curso.

• 1. MATRICES Y DETERMINANTES
  • 1.1. Matrices
    • 1.1.1. Introducci´on
    • 1.1.2. Definici´on
    • 1.1.3. Ejemplos
    • 1.1.4. Tipos de matrices
    • 1.1.5. Operaciones con matrices
  • 1.2. Determinantes
    • 1.2.1. Introducci´on
    • 1.2.2. Definici´on
    • 1.2.3. C´alculo de determinantes
    • 1.2.4. Propiedades de los determinantes
    • 1.2.5. Rango de menores de una matriz
  • 1.3. Inversa de una matriz
    • 1.3.1. Definici´on
    • 1.3.2. Propiedades
    • 1.3.3. Procedimientos para el c´alculo de la matriz inversa
  • 1.4. Sistemas de ecuaciones lineales.
    • 1.4.1. Definici´on
    • 1.4.2. Existencia de soluciones para un sistema lineal
    • 1.4.3. Resoluci´on de un sistema de ecuaciones lineales
  • 1.5. Aplicaciones econ´omicas
    • 1.5.1. An´alisis de entrada–salida (input–output)
    • 1.5.2. Modelizaci´on lineal
  • 1.6. Problemas
    • 1.6.1. Operaciones con matrices
    • 1.6.2. Aplicaciones de las matrices a la Econom´ıa
    • 1.6.3. Sistemas de ecuaciones lineales
    • 1.6.4. Modelos de Leontief
    • 1.6.5. Matrices de transici´on
• 2. ESPACIOS VECTORIALES
  • 2.1. Introducci´on. Vectores en el plano.
  • 2.2. Operaciones con vectores.
  • 2.3. Interpretaci´on geom´etrica de los vectores.
  • 2.4. Producto escalar. Propiedades. Vectores ortogonales. 4 ´INDICE GENERAL
  • 2.5. Espacios vectoriales. Definici´on.
  • 2.6. Subespacios vectoriales.
    • 2.6.1. Variedad lineal.
    • 2.6.2. Intersecci´on de subespacios.
    • 2.6.3. Suma y suma directa de subespacios.
    • 2.6.4. Dependencia e independencia lineal.
  • 2.7. Base y dimensi´on de un espacio vectorial.
  • 2.8. Componentes de un vector en una base. Cambio de base.
  • 2.9. Aplicaciones econ´omicas
  • 2.10. Problemas
  • 2.11. Aplicaciones de los vectores a la Econom´ıa
• 3. APLICACIONES LINEALES
  • 3.1. Funciones.
  • 3.2. Aplicaciones lineales.
  • 3.3. Representaciones matriciales
  • 3.4. Propiedades de las aplicaciones lineales
  • 3.5. Cambio de base
  • 3.6. Problemas
  • 3.7. Aplicaciones lineales en econom´ıa
• 4. DIAGONALIZACI ´ON DE MATRICES
  • 4.1. Introducci´on
  • 4.2. Valores y vectores propios. Propiedades
    • 4.2.1. Propiedades de los valores y vectores propios
  • 4.3. Diagonalizaci´on
  • 4.4. Ortogonalidad.
    • 4.4.1. Diagonalizaci´on de matrices reales sim´etricas.
  • 4.5. Introducci´on a las cadenas de Markov
  • 4.6. Aplicaci´on econ´omica de las cadenas de Markov
  • 4.7. Problemas
  • 4.8. Aplicaciones a la econom´ıa. Cadenas de Markov
• 5. FORMAS CUADR ´ATICAS
  • 5.1. Definici´on.
  • 5.2. Clasificaci´on de las formas cuadr´aticas.
  • 5.3. Problemas
  • 5.4. Aplicaciones de las formas cuadr´aticas

Cap´ıtulo 1

MATRICES Y

DETERMINANTES

En la mayor´ıa de los modelos matem´aticos usados en Econom´ıa aparecen sistemas de ecuaciones algebraicas que es preciso resolver. Si las ecuaciones son lineales el estudio de estos sistemas pertenece a la rama de las matem´aticas denominada ´algebra lineal. La parte m´as importante de la econom´ıa que usa los sistemas de ecuaciones linea- les es el an´alisis input-output que trabaja con modelos de Leontief. Para comprender y manejar estos modelos es conveniente familiarizarse con una serie de conceptos co- mo son los de matrices, determinantes y vectores. No obstante, nos gustar´ıa recalcar que la utilidad del ´algebra lineal va m´as all´a de su capacidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales, ya que se usa extensamente en muchas otras materias relacio- nadas con la ciencia y la t´ecnica, adem´as de la econom´ıa. En particular, muchos de los m´etodos del ´algebra lineal son ´utiles en la teor´ıa de optimizaci´on, la estad´ıstica y la econometr´ıa.

1.1. Matrices

1.1.1. Introducci´on

Vivimos en un mundo complejo de recursos finitos, demandas mutuamente com- petitivas y flujos de informaci´on que han de ser analizados para asignar los recursos de la mejor manera posible para satisfacer nuestras necesidades. Cualquier herra- mienta que haga m´as f´acil entender y usar tal informaci´on es muy conveniente. Consid´erese, por ejemplo, un inventario de camisetas en una secci´on de un gran almac´en. Se tienen camisetas de tres diferentes tama Oos y cinco colores, y cada` noche el supervisor de la secci´on prepara un inventario de las existencias para la gesti´on. Un p´arrafo de dicho inventario podr´ıa tener la forma siguiente: “Camisetas.... Nueve amarillas de talla S y cinco amarillas de talla M; ocho S de color verde y seis M verdes; las de tama˜no L casi se han agotado pues s´olo quedan tres rojas, una rosa y dos negras; tambi´en tenemos tres M rosas, cinco M rojas, una M negra y siete S negras...”.

Matem´aticas I 1.1. MATRICES

1.1.3. Ejemplos

(a) A =

es una matriz de tama˜no u orden 2 × 3, siendo a 11 = 2, a 12 = 1, etc. (b) La matriz A ∈ M 4 × 3 (R) tal que aij = 2i − j se escribe expl´ıcitamente como

A =

(c) Organiza los siguientes datos en forma de matriz: una tienda tiene dos al- macenes como proveedores de electrodom´esticos; el primer almac´en tiene dos lavadoras, dos cocinas y tres neveras en stock; el segundo tiene cuatro cocinas, tres lavadoras y una nevera. Soluci´on. La matriz ser´ıa en este caso

A =

si disponemos los dos almacenes en las filas y los diferentes art´ıculos en las columnas. (d) Consideremos la matriz A ∈ M 2 × 3 (R 2 [x]) dada por

A =

1 + x^2 2 x − 1 0 2 1 x

Obs´ervese que los coeficientes de una matriz no tienen por qu´e ser necesaria- mente n´umeros reales. En este ejemplo los elementos son polinomios de grado a lo sumo 2. A partir de ahora trabajaremos, a menos que se especifique lo contrario, con K = R, es decir, con matrices cuyos elementos son n´umeros reales.

1.1.4. Tipos de matrices

Ciertos tipos de matrices aparecen tan frecuentemente que es preferible darles una denominaci´on especial y tratarlas separadamente. (a) Una matriz fila es una matriz con s´olo una fila. Una matriz columna s´olo posee una columna. Por ejemplo, A =

es una matriz fila, mientras que

B =

es una matriz columna. (b) Una submatriz de una matriz A es una matriz que se obtiene de A quitando cualquier n´umero de filas y/o columnas de A. En particular, si

A =

4 CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

entonces

B =

, C =

son submatrices de A. En el primer caso se han quitado la primera y segunda filas, y la primera y tercera columnas. En el segundo se han quitado la segunda y cuarta filas y la primera columna. (c) Una matriz se dice que est´a particionada si est´a dividida en submatrices por medio de l´ıneas horizontales y verticales entre filas y columnas. Variando la posici´on de estas l´ıneas horizontales y verticales es posible particionar una matriz de diferentes formas. As´ı,

   

 y

son ejemplos de dos diferentes particiones de la matriz A dada en (1.1). (d) Una matriz es cuadrada si tiene el mismo n´umero de filas que de columnas. En general, una matriz cuadrada d e orden n tiene la forma

   

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n

...... ...... an 1 an 2... ann

con los elementos a 11 , a 22 ,... , ann formando la diagonal principal. (e) Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero. Una matriz identidad, denotada como I, es una matriz diagonal que tiene todos sus elementos de la diagonal principal iguales a 1. As´ı, la matriz identidad 2 × 2 es

I =

(f) Se define la matriz cero O como la matriz cuyos elementos son todos cero. (g) Una matriz A = (aij ) es triangular superior si aij = 0 para i > j, esto es, todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Si aij = 0 para i < j, esto es, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero, entonces A es triangular inferior. Ejemplos de matrices triangular superior y triangular inferior son, respectivamente,

  

 y

6 CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

no est´a en forma escalonada debido a que la segunda fila es una fila de ceros y aparece antes que una fila no nula; si se intercambiaran las filas 2 y 3, s´ı estar´ıa en forma escalonada.

C =

no est´a en forma escalonada, porque el primer elemento no nulo en la fila 2 aparece en una columna posterior (columna 3) que el primer elemento no nulo en la fila 3. Si se intercambiaran las filas 2 y 3 la matriz resultante s´ı estar´ıa en forma escalonada.

D =

no est´a en forma escalonada, pues el primer elemento no nulo en la fila 2 aparece en la tercera columna, y todos los elementos situados debajo de ´el no son nulos. Si d 33 fuera cero en vez de 1, entonces s´ı estar´ıa en forma escalonada.

1.1.5. Operaciones con matrices

Para muchas de las aplicaciones de las matrices es interesante conocer qu´e ope- raciones se pueden realizar con ellas, es decir, conocer el ´algebra de las matrices.

Suma de matrices Dadas dos matrices del mismo tama˜no A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mp×n, se define la suma de A y B como la matriz

A + B = (aij + bij ) ∈ Mp×n.

Ejemplo. Si en el ejemplo (c) de la secci´on 1.1.3 llega por la noche un env´ıo a los almacenes dado por la matriz de transporte

B =

la nueva matriz de existencias vendr´ıa dada por

A + B =

La suma de matrices cumple las siguientes propiedades, todas ellas f´acilmente de- mostrables a partir de la definici´on:

1. La suma est´a bien definida (es consistente). Esto significa que para todas las matrices A, B ∈ Mp×n existe una ´unica matriz A + B ∈ Mp×n.
2. Asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C
3. Existencia de elemento neutro O: A + 0 = 0 + A = A, donde 0 representa una matriz del mismo tama˜no que A con todos sus elementos nulos.

Matem´aticas I 1.1. MATRICES

4. Existencia de elemento opuesto: A + (−A) = (−A) + A = 0.
5. Conmutativa: A + B = B + A

El conjunto Mp×n de todas las matrices p × n con la operaci´on + se dice que tiene entonces estructura de grupo abeliano o conmutativo. Adem´as, es f´acil comprobar que

6. (A + B)T^ = AT^ + BT

Nota. Se suele denotar por A − B = A + (−B).

Producto de una matriz por un escalar Dada una matriz A = (aij ) ∈ Mp×n(R) y un escalar α ∈ R, definimos el producto del n´umero α por la matriz A a la nueva matriz αA = (αaij ) ∈ Mp×n(R).

Ejemplo. A =

, α = − 2 ⇒ αA =

Se tienen las siguientes propiedades, siendo α y β escalares arbitrarios:

1. Este producto de matriz por escalar est´a bien definido, es decir, dada cualquier matriz A = (aij ) ∈ Mp×n(R) y cualquier escalar α ∈ R, existe una ´unica matriz αA =∈ Mp×n(R).
2. Distributiva respecto de los escalares: (α + β) A = αA + βA.
3. Distributiva respecto de las matrices: α (A + B) = αA + αB.
4. Asociativa mixta: (αβ)A = α(βA).
5. 1 .A = A.

Como veremos en el tema siguiente, el conjunto Mp×n(R) satisface los axiomas de un espacio vectorial. Adem´as se cumple que

6. (αA)T^ = αAT^.

Multiplicaci´on de matrices La multiplicaci´on de matrices es la primera opera- ci´on donde nuestra intuici´on falla: en primer lugar, dos matrices no se multiplican elemento a elemento; en segundo lugar, no siempre es posible multiplicar dos ma- trices. Nuestro prop´osito al introducir un nuevo concepto, como el de matriz, es usarlo para intentar ampliar nuestro conocimiento de los fen´omenos del mundo real y resolver problemas que previamente eran dif´ıciles de abordar. Una matriz vista solamente como un tablero de n´umeros no constituye en verdad ning´un concepto novedoso. Las operaciones sobre esos tableros, tales como la suma de matrices o el producto de una matriz por un n´umero son nuevas, pero de hecho no son m´as que extensiones naturales de operaciones an´alogas sobre los n´umeros reales. Si esperamos usar matrices para analizar problemas de una manera diferente, hemos de introdu- cir algo realmente nuevo, y ese aspecto nuevo es la forma en que se multiplican las matrices.

Matem´aticas I 1.1. MATRICES

AB = C = (cij ) multiplicando los elementos de la fila i de A por los correspondientes elementos en la columna j de B y sumando los resultados. Esto es,

AB =

a 11 a 12... a 1 r a 21 a 22... a 2 r .. .

an 1 an 2... anr

b 11 b 12... b 1 p b 21 b 22... b 2 p .. .

br 1 br 2... brp

c 11 c 12... c 1 p c 21 c 22... c 2 p .. .

cn 1 cn 2... cnp

= C

donde

cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + · · · + airbrj =

∑^ r

k=

aikbkj.

En particular, c 11 se obtiene multiplicando los elementos en la primera fila de A por los correspondientes elementos en la primera columna de B y sum´andolos; por consiguiente, c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + · · · + a 1 rbr 1 ;

el elemento c 12 se obtiene multiplicando los elementos en la primera fila de A por los correspondientes elementos en la segunda columna de B y sum´andolos,

c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + · · · + a 1 rbr 2 ,

y as´ı sucesivamente. Ejemplo. Si en el ejemplo (c) de la secci´on 1.1.3 el precio de venta al p´ublico de una lavadora es de 300 euros, el de una cocina es de 120 euros y el de una nevera de 450 euros, entonces la matriz

AX =

donde X es la matriz columna con el precio de venta de cada tipo de electrodom´esti- co, nos propociona los ingresos de cada almac´en si vendieran todos los electro- dom´esticos que tienen en stock. La multiplicaci´on de matrices tiene las siguientes propiedades:

1. El producto de matrices es consistente, es decir, dadas cualesquiera matrices A = (aij ) ∈ Mn×r(R) y B = (bij ) ∈ Mr×p(R), existe una ´unica matriz AB ∈ Mn×p(R).
2. Asociativa: A (BC) = (AB) C.
3. Distributiva a derecha: (A + B) C = AC + BC.
4. Distributiva a izquierda: C (A + B) = CA + CB.
5. IpA = A y AIn = A, siendo A una matriz p × n e Ij la matriz identidad de orden j × j.
6. (AB)T^ = BT^ AT^.

10 CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

Es importante recalcar, a tenor de los comentarios precedentes, que no se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en general AB 6 = BA. Ejemplo. Calcular AB y BA para

A =

, B =

Soluci´on.

AB =

, BA =

La multiplicaci´on de matrices tambi´en carece de otras propiedades familiares, adem´as de la conmutatividad. Sabemos que con n´umeros reales, si el producto ab = 0, en- tonces o bien a = 0 o bien b = 0 o bien los dos son cero. Esto no es cierto, en general, para las matrices: existen matrices para las cuales AB = O sin que A ni B sean cero. Por ejemplo,

A =

, B =

Tambi´en, en general, la ecuaci´on AB = AC no implica que B = C. Por ejemplo,

A =

, B =

, B =

1.2. Determinantes

1.2.1. Introducci´on

Toda matriz cuadrada tiene asociado un escalar, llamado su determinante. Hasta hace poco los determinantes jugaban un papel destacado en el estudio del ´algebra li- neal. Los determinantes eran usados para calcular inversas de matrices, para resolver sistemas de ecuaciones lineales, etc. Hoy d´ıa, en su lugar se utilizan otras t´ecnicas, a menudo basadas en operaciones elementales sobre las filas de la matriz, las cuales son m´as eficientes y mejor adaptadas al c´alculo computacional. Los determinantes se definen en t´erminos de permutaciones sobre enteros posi- tivos. La teor´ıa es complicada, pero una vez completada, da lugar a m´etodos m´as simples para calcular determinantes. Nosotros no desarrollaremos la teor´ıa, sino que nos limitaremos a estudiar algunos m´etodos de c´alculo. Los determinantes se definen s´olo para matrices cuadradas. Dada una matriz cuadrada A, usaremos det(A) o bien |A| para denotar del determinante de A. Si la matriz puede ser escrita expl´ıcitamente, designaremos su determinante remplazando los par´entesis por l´ıneas verticales. Por ejemplo, si

A =

12 CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

entonces

∣∣ y

∣∣ son ambos menores, ya que las matrices

y ( 0 8 3 7

son ambas submatrices de A. Por contra,

∣∣ no es un menor, puesto

que

no es una submatriz de A. Llamaremos cofactor αij del elemento aij de una matriz A al escalar obtenido al multiplicar (−1)i+j^ por el menor obtenido de A quitando la fila i y la columna j. En otras palabras, para calcular el cofactor (tambi´en llamado adjunto) de un elemento aij de una matriz A, formamos primero una submatriz de A quitando de A la fila y la columna en la que el elemento est´a situado, calculamos despu´es el determinante de dicha submatriz y finalmente multiplicamos el determinante por el n´umero (−1)i+j^. Ejemplo. Para calcular el cofactor del elemento 4 en la matriz

A =

nos fijamos en que el 4 aparece en la segunda fila y primera columna, de modo que i = 2, j = 1 y (−1)i+j^ = (−1)2+1^ = (−1)^3 = −1. La submatriz de A obtenida al

quitar la segunda fila y primera columna es

, que tiene por determinante

−6. As´ı pues, el cofactor de 4 es α 21 = (−1)(−6) = 6.

1.2.3. C´alculo de determinantes

Con este concepto podemos calcular el determinante de cualquier matriz cuadra- da A n×n. M´as concretamente, el determinante de A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o una columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes. Es decir,

det(A) = ai 1 αi 1 + ai 2 αi 2 + · · · + ainαin =

∑^ n

l=

ailαil

det(A) = a 1 j α 1 j + a 2 j α 2 j + · · · + anj αnj =

∑^ n

l=

alj αlj

El algoritmo resultante se podr´ıa resumir en los siguientes pasos: Desarrollo de un determinante por los cofactores de una l´ınea

1. Elegir cualquier fila o cualquier columna de la matriz (a gusto del consumi- dor...)
2. Calcular el cofactor de cada elemento en la fila o columna elegida.
3. Multiplicar cada elemento en la fila o columna elegida por su cofactor y sumar los resultados.

Matem´aticas I 1.2. DETERMINANTES

Ejemplo. Calcular det(A), siendo

A =

Desarrollamos arbitrariamente por la segunda columna. As´ı,

det(A) = 5(−1)1+

2+

3+

Si desarrollamos por la primera fila,

det(A) = 3(−1)1+

∣∣ −^1

∣∣ + 0(cofactor de 0) =

= 3(1)(8 + 6)) + 5(−1)(− 4 − 3) + 0 = 3(14) + (−5)(−7) = 77,

y si se aplica directamente la definici´on,

det(A) = 24 + 15 + 0 − (0 − 18 − 20) = 39 + 38 = 77.

Este ejemplo ilustra dos propiedades importantes del desarrollo de un deter- minante por cofactores. En primer lugar, el valor de un determinante es el mismo independientemente de qu´e fila o columna se elige, y en segundo lugar, eligiendo para desarrollar una fila o columna que tenga ceros reduce significativamente el volumen de c´alculo requerido. Ejemplo. Calcular det(A), siendo

A =

En este caso la l´ınea que contiene la mayor cantidad de ceros es la segunda columna, de modo que desarrollamos por ella.

det(A) = 0 + 4(−1)2+

4+

Ahora podemos usar el desarrollo por cofactores de cada uno de estos dos deter- minantes de orden 3 o directamente aplicar la definici´on. En el primer caso caso se

Matem´aticas I 1.2. DETERMINANTES

6. Si la matriz B se obtiene a partir de una matriz cuadrada A multiplicando todos los elementos de una fila de A por un escalar λ entonces det(B) = λ det(A). Como una extensi´on inmediata se tiene
7. Si A es una matriz n × n, entonces det(λA) = λn^ det(A).
8. Si la matriz B se obtiene a partir de una matriz cuadrada A sumando a una fila de A otra fila de A multiplicada por un escalar λ, entonces det(B) = det(A).
9. En general det(A + B) 6 = det(A) + det(B). No obstante, si las matrices A y B tienen todas las filas iguales salvo la n´umero i, entonces det(A) + det(B) ser´a el determinante de una nueva matriz C que tiene todas sus filas, salvo la n´umero i iguales a las de A y B, y cuya fila i es la suma de la fila i de A y la fila i de B.
10. Para cualquier matriz cuadrada A, se tiene que det(A) = det(AT^ ). Por consiguiente, todo lo indicado anteriormente para filas se verifica tambi´en para columnas.
11. Si A y B son matrices del mismo orden, entonces det(AB) = det(A) det(B).

Las propiedades 4, 6 y 8 muestran el efecto que sobre el determinante de una matriz cuadrada tiene el someter a ´esta a las llamadas operaciones elementales sobre filas. M´as espec´ıficamente, a lo largo del curso consideraremos en m´ultiples contextos las tres operaciones elementales sobre las filas de una matriz siguientes:

(F1) Intercambiar la posici´on de dos filas cualesquiera de la matriz.

(F2) Multiplicar cualquier fila de la matriz por un escalar no nulo.

(F3) Sumar a una fila de la matriz otra fila de la misma matriz multiplicada por un escalar no nulo.

Como veremos posteriormente, mediante estas sencillas operaciones es posible resol- ver, en particular, cualquier sistema de ecuaciones lineales. Un m´etodo elegante para reducir sustancialmente el n´umero de operaciones aritm´eticas necesarias para evaluar determinantes de matrices est´a basado preci- samente en estas operaciones elementales. Se trata, b´asicamente, de transformar la matriz de partida en otra en una de cuyas columnas haya el mayor n´umero posible de ceros; a continuaci´on, si se desea, el procedimiento se puede repetir para obtener finalmente una matriz escalonada. En otras palabras, es posible dise˜nar un algoritmo eficiente para calcular el deter- minante de una matriz cuyos elementos son todos constantes de la siguiente forma. Se usan operaciones elementales sobre filas para transformar una matriz a la for- ma escalonada, ya que la matriz resultante es triangular y su determinante es f´acil de evaluar por medio de la propiedad 1. Es preciso llevar un registro de los cam- bios hechos al determinante en el proceso de convertir la matriz en escalonada. El producto de estos cambios por el determinante de la matriz escalonada es entonces

16 CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

el determinante de la matriz original. Ilustremos el procedimiento con un par de ejemplos.

Ejemplo 1. Dada A =

, calcular su determinante reduci´endolo al

de una matriz escalonada.

Soluci´on. det(A) =

F 2 ←→F 1

F 3 →F 3 + 12 F 1

F 3 →F 3 + 72 F 2

Ejemplo 2. Evaluar det

Soluci´on.

∣∣ F 2 →F= 2 +2F 1

F 3 →F 3 − 3 F 1

F 2 → 17 F 2

F 3 →F 3 +7F 2

1.2.5. Rango de menores de una matriz

Ya introdujimos anteriormente el concepto de menor de orden p de una matriz A m × n. Este no era m´´ as que el determinante de cualquier submatriz p × p de A (con p ≤ m, p ≤ n). Introducimos ahora la noci´on de rango de menores de una matriz arbitraria A de tama˜no m × n. Dada una matriz A ∈ Mm×n, consideremos todos sus menores: los de orden 1, los de orden 2,... (hasta llegar al m´as peque˜no de los m y n). De todos ellos, nos van a interesar los que son no nulos, que ser´an en general de distintos ´ordenes. Pues bien, al mayor de estos ´ordenes (de menores no nulos) se le llamar´a rango de menores de la matriz A. En otras palabras, este rango es p si hay alguna submatriz de tama˜no p×p con determinante diferente de cero y todas las submatrices cuadradas de mayor tama˜no que p tienen determinante cero. Definici´on. Se dice que p es el rango de menores (o simplemente rango) de una matriz A, de tama˜no m × n cualquiera, si A tiene alg´un menor de orden p que no es nulo y todos los menores de A de orden mayor que p son nulos; o sea, p es el mayor de los ´ordenes de los menores no nulos de A.

Procedimiento de c´alculo. Para hallar el rango de menores de A, se toma un menor M 2 de orden 2 no nulo y se le orla con una fila fija, la i, y con sucesivas columnas; si todos los menores de orden 3 que as´ı se obtienen son nulos, entonces