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Conjuntos, números y propiedades básicas Conjuntos Entenderemos que un CONJUNTO es una colección de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetos * omo abstracciones matemáticas. Esos objetos que al reunirse Forman el conjunto. se denominarán elementos del conjunto. El conjunto que no tiene elementos se llama CONJUNTO vacío y se representa por Se designa a los conjuntos y a los elementos que los constituyen por medio de letras pertenecientes a diversos alfabetos. Lo más frecuente es usar letras mayúsculas para designar a los conjuntos y reso var las minúsculas para designar elementos. La expresión del tipo “1 es un elemento del conjunto A”. o equivalentemente “x pertenece al conjunto A”, es de uso muy frecuente cuando se habla de conjuntos y elementos. Por ello, es útil recurrir a un símbolo que nos permita expresar esa idea más brevemente. Concretament “y pertenece al conjunto A” se representa por yc A. «no pertenece al conjunto A” se representa por a A. Del mismo modo, usamos símbolos para sintetizar o acortar las expresiones más frecuentes Asíel símbolo “9” se lee “para todo”. el símbolo leen como “tal que se lee “existe”. los dos puntos *:" y %/" se Los conjuntos suelen des: Y". Entre esas llaves pueden aparecer o bien todos los elementos del conjunto separados por comas, o bien ribirse encerrando sus elementos entro llave expresar la condición que deben cumplir los elementos para pertenecer a dicho conjunto. Por ejemplo, se puede definir A — [Alumnos del grupo 1% A de Ópti B— [Alumnos del grupo 1% B de Óptica). ATA 5). es decir, Y = (2.3.4). es decir, Z— (4,9,25) Un SUBCONJUNTO X de A es un conjunto tal que todo elemento de X es también elemento de A, es decir, sia EX entonces a 24. Se escribe X CA y se lee X incluido en A. Observarás que con esta definición A C A, esto es, cualquier conjunto se contiene a si mismo. Cuando queremos decir que un conjunto X está contenido en A pero no es igual a 1 diremos que X está contenido estrictamente en A y lo escribiremos X ZA o bien X 6.4 E plo, En los ejemplos anteriores Y EX. Además dicha inclusión es estricta, esto es, Y ZN Sean A y B dos conjuntos. La UNIÓN de A y B es un nuevo conjunto formado por los ele- mentos que pertenecen u A o 4 8 (sin repetir los elementos comunes de A y de B). y se escribe AUB. La INTERSECCIÓN de A y Res el conjunto formado por los elementos que pertenecen a la vez a A y a B, y so oseribe AE. Con ostas definiciones conviene observar que A.J8 =BLJA AB BRA. queA CALB,BC ALIB y que ACBCALANBC Ejemplo. En los ejemplos anteriores el conjunto AL B es el conjunto de todos los alumnos de 19 de Óptica (tanto los del grupo A como los del grupo 8). XUY —X ya que Y está contenido en XX MY Y ¡porel mismo motivo) y XD Z—14,9]) Dados dos conjuntos A y B, la DITERENCIA entre ellos, que notaremos por A? B (aunque también es usual usar la notación AB), es el conjunto formado por L están en B. Porejemplo XY Y — (7,9. 11). Nólese que el símbolo utilizado para la diferencia de conjuntos. +. no es el mismo que el usado para expresar “tal que”. / Sean A y 8 dos conjuntos. Ll PRODUCTO CARTESIANO de A y 8 es el conjumo formado por los pares (a.b) donde a E A y bE B.Se escribe Ax B= [Ía.b):0.€ A.b E B). Dado un elemento (x.y) € Ax 8, llamamos a x primera componente del par. y a y segunda componente del par. Para que dos elementos (x, y) y (2.1) del conjunto A x £ sean iguales, es necesario que ambas componentes coincidan, esto es. que 4 =< y también y =4. Observemos que en si AZ B, AxB y BxA son conjuntos diferentes. S B, se suele escribir A x / os elementos de A que no Ejercicio. Si has entendido bien el concepto de producto cartesiano observarás que Ax A 2 Ma.a): ac A]. ¿Porqué? Ijemplo. Sean A y £ los conjuntos de los anteriores ejemplos. Supongamos que hay que hacer un trabajo para alguna asienatura en grupos de dos alumnos. rales que uno sea del grupo A y el otro del grupo B. Entonces el conjunto de las parejas posibles es descrito por el conjunto A < 8. Ejercicio. Se consideran los conjuntos A= (1,3.5,7,9), B— [1,2,4,6,9) y C— (2,6). De- seribir los conjuntos: AL B, AÑIC.COR, (AJB)OC. ¿Está A contenido en A? ¿y € contenido en 13? Ln caso afirmativo, ¿alguna de estas inclusiones es estricta? Números. Desigualdades. Identidades rele- vantes Recuerda los tipos de números que conoces. Conjunto Definición Símbolo Naturales E N Enteros 0, 1,2,3 Z E 7) (fracciones de números enteros) Racionales Trracionales (los que no son racionales) Reales todos los racionales y los irracionales Observemos que se cumple NC ZO R (nótese que todas las inclusiones son estrictas). A lo largo del curso también trabajaremos con los conjuntos R?=R x R y R=R x= RxR= Ri Lronz) cy Los números reales tienen un orden “<”, Dados dos números reales q y b, se dice que a es menor o igual que b si podemos encontrar olro número, h, posilivo o cero, tal que b a+. En tal caso escribimos a < bo bien b 2 a. Si jr es positivo, escribimos a < bo b:> a. Ejemplos: 3d lo E 4<2,2>2 Propiedad L. PROPIEDADES DE LAS DESIGUAL DADES Sean a, boy e múmeros reales, Sia E bentencesades 5% <ñ, entonces 342 ¿20 entonces ae E a ), entonces 3 2 Sas bye
be. En particular b< a, (3<6y 2<0 entonces 26= 12< 2 1/5, 4. Sia y b son mámeros reales no nulos con el mismo signo y a < b entonces 1/a (35 2poriamo 1/32 1/2) Recuerda algunas igualdades que conoces y que se cumplen para cualesquiera a,b € Ki 210 4 Zabo. Polinomios Un POLINOMIO es una expresión del tipo ñ an aa donde a9.1.....dy-1.dy Son números reales. A á se le llama corficiente líder y a áa término ute. EL GRADO del polinomio es el mayor exponente de x. Todo polinomio puede ser independi evaluado en un número, h E IR. simplemente sustituyendo la variable x por dicho número. Por ejemplo, el polinomio 4x1 evaluado en 1 produce el número real í 14 1411 Diremos que 7 E Ti es una RAÍZ REAL. del polinomio si al evaluarlo en dicho número abrenemos cero, esto es. las raíces reales de un polinomio p(x) son las soluciones reales de la ecuación pix) =0. El número de raíces reales de un polinomio siempre es menor o igual que su grado anltiplicarios. Así Dados dos polinomios, podemos venarlos, restar a +2) da DA 2 xl) Y da y NI dd ax di CON RÍCES reales 71. 0s 0.0.1 «1 un polinomio pí. con k< m. FACTORIZAR dicho poline o consiste en expresarlo como Pla Aa a GA siendo 11.117....11y números naturales y gíx) un polinomio de grado 1 £ que no tiene ruíces | nombre de multiplicidad de la raíz fi. ). el número my recib reales. Para cada ¿E ll Zoo o Por ejemplo: 204 :s reales. Nótese que en el segundo caso el polinomio 2 0 entonces sus raíces reales vienen Daco un polinomio de grado 2, ax” +bx4e, si b7 dadas por da b 12 2a Por tanto clicho polinomio se factoriza como / 2h ; b+ b Aer artesa GE y 2a En el caso b? da <0, el anterior polinomio no tiene raíces reales (compras mplo x= 1), Existen fórmulas para el cálculo de las raíces de los polinomios de grado tres y cuatro pero no resultan útiles debido a su complejidad. Capítulo 1 Conceptos básicos. Funciones elementales 4 DEFINICIONES BÁ ICAS Dados dos conjuntos. A y £8. una APLICACIÓN es una regla de asociación que asigna a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B. Se suele denotar por 7: A + B. Es muy importante observar que una aplicación no sólo está formada por la regla de asociación sino también por el conjunto dónde está definida, A. y el conjunto donde toma valores, B. Una FUNCIÓN REAL DE (UNA) VARIABLE REAL es una aplicación f'3 A +3 definida sobre un subconjunto A de K que toma valores en otro subconjunto 8 de Li, es decir, es una regla que hace corresponder a cada número real + < A un único elemento /(x) € B, que se lama ina de x mediante f. Dada una función f: A > 8; a Se llama EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN a la fórmula matemática que nos indica las aperaciones que debemos realizar con el elemento y € A para calcular f(x), El conjunto A sobre el que la función está definida recibe el nombre de DOMINIO de f. y lo denotaremos por Dom(f). Cuando no se especifique el dominio de una función se entenderá que éste es el subconjunto más grande de R en el que la define a la función tiene sentido sión analítica que El conjunto B recibe el nombre de CODOMINIO. conjunto donde la función toma valores o conjunto de llegada. Cuando no se especifique el codominio tomaremos B=|K Se llama IMAGEN O RECORRIDO de f al conjunto representado por F(A) o por Im(f) cuyos elementos son las imágenes de los elementos de A mediante /. es decir M(p=MAA=1f0:x0 4] [y ER: existe Atal que f(x) = y) Tn manera prácrica de decidir si y € R está o no en Tm(f) consiste en intentar resolver la ecuación f(x) — y. siendo x la incógnita de la ecuación. Si somos capaces de encontar soluciones y a dicha ecuación y dichas soluciones pertenecen al dominio de la función. Im) entonces y € Im( /. de lo contrario » Observemos que la imagen de una función depende de cuál es su dominio. De esta manera. dada f: 4 > K, si restringimos el dominio de f a un subconjunto más pequeño, A' CA tenemos que la imagen de la nueva función (que voy a denotar por la misma letra) 7: 4" K ha cambiado, en concreto 04M) 0 ALCA) sap = fía) Se llama GRÁFICA de f a la curva y — /(x) del plano Li”. es decir: GO EL Ap [ir A) Normalmente representarentos los puntos de A sobre el eje x (o eje de abcisas) y sus imágenes, fx, en el eje y (o eje de ordenadas). El punto (xo. f(x0)) se ubtiene entonces como la intersección de lu recta vertical [=p] y la recta horizontal [y= f(x0)]. La gráfi- cado Fes lu curva em el plano que se Forma cuundo unimos lodos estos puntos, Nótese que esta curva corta a cada línea vertical a lo sumo una vez, debido a la definición de función Además. un número yg pertenecerá a la imagen de f si la recta horizontal (y = yy) corta a la gráfica de f al menos una vez dada por PU) jemplo. Para la función F: R Emos que: = Su dominio es Ki Su expresión analílica es la Fórmula y — 7, que nos indica que para calcular la imag un número real x hasta con elovarlo al cuadrado. = Su imagen estará formada por aquellos y € IR tales que la ecuación 12 y tiene solución en la incógnita a € Dom(/)=1R. Ahora, si queremos despejar la x en la ecuación necesitamos hacer la ruíz cuadrada de y, para lo que se precisu que y 20. En tal caso al despejar tendríamos y =-E- $. Coneluimos que Im(/) 70, +08 ón a: = Es bien sabido que la gráfica de / es una parábola cuyo vértice es el punto (0,0) Conviene observar que g + IR" —+ IR dada por g(x) — 4 es otra función distinta de f ya que. aunque las expresiones analíticas de ambas funciones coinciden. no así sus dominios, Ejemplo. Pura la función / :J0,1 > K dada por fx) — L/x, tenemos que. = Su dominio está especiticado y es el intervalo abierto y acotado 0, 1] a Su expresión analítica es la fórmula y — 1/x. que nos indica cómo calcular la imagen de cualquier elemento x = Su imagen es el intervalo 1, 400], ya que la ecuación y = L/x con x E 0,1] sólo Gene solución para y B diremos que: a Está ACOTADA SUPERIORMENTE si existe K ER tal que fa) < K para todo x € A. Dicho de otra manera, si Im(7) Z| 0o,K]. Geomátricamente esto significa que su queda siempre por debajo de una recta horizontal. úlica se a Está ACOTADA INFERIORMENTE si existe ME tal que f(x) 2M paratodox € 4. Dicho de otra manera, si Im(7) = [M, +02”, Geométricamente esto signifi queda siempre por encima de una recta horizontal. ca que su gráfica se a Está ACOTADA si lo está superior e inferiormente, Esto es. si existen M, K < KR tales que M< Kelm(f)C [M,K] para M, K € IR. Geométricamente esto significa que la gráfica de f está comenida dentro de una banda horizontal del plano 3 no estít acotada ni superior ni inferiormente, Y 41 está acorada inferiarmente por | pero no está acotada superiormente ya que toma valores arbitrariamente grandes. La función g(x) — 1/07 41) está acotada superiormente por | ya que el denominador está acotado inferiormente por 1. Además, está también acotada inferiormente ya que toma siempre valores positivos. jemplo. La función / + K + KR dada por que su imagen es todo R. La función gér) n= Propiedades de crecimiento. Dada una función f : 4 > B diremos que: 2 Es CRECIENTE si para cualesquiera x.y € A tales que x < y, se cumple que flo) Cicométricamente esto significa que la gráfica de f siempre sube o se mant Diremos además que es ESTRICTAMENTE CRECIENTE si para enalesquiera x.y que x < y se cumple f(x) < /(y) (siempre sube). FO. e constante A talos Es DECRECIENTE si para cualesquiera 4. y E A tales que 4 < y se cumple que /(1) 2/9). Geométricamente, esto significa que la gráfica de f siempre baja o se mantiene constante. Diremos además que f es ESTRICTAMENTE DECRECIENTE si para cualesquiera 1. y E A sales que e y se cumple f(x) > f(3) (siempre baja) Ejemplo. La función f : E —+ KR dada por fíx recta que pasa por (0,0) y (1. 1). La función f(x) — xes decreciente: su gráfica es la recta que pasa por (0.0) y (1. 1). ¿Es estricto el erecimiento en cada caso? — ves una función creciente: su gráfica es la Propiedades de paridad. Dada una funci 40. diremos que nf:A>B.dodeA=Ró| a.aló] a.al con a Ls PAR sí para cada x £ A se cumple que fÍ x) — fx). Geométricamente, esto significa que la gráfica de / es simévica respecto del eje de ordenadas. a ES IMPAR si para cada v € A se cumple que f(x) = f(x). Geométricamente, esto siga 2 f es simétrica respecto del origen de coordenadas. niñica que la eráñ 10 Se dice que una función f': A > B es SOBREYECTIVA si cada elemento de Z es la imagen mediante / de algún elemento de A, es decir. f(4) — Im(f) — B. Geométricamente esto significa que cada recta horizontal del plano aaltura y E 8 corta a la gráfica de f por lo menos en un punto. Al igual que para la inyectividad, existen varias formas de decidir si una función es sobreyectiva o no lo es: por medio de la anterior definición o por medio de las siguientes afirma jones. (a) f 2 A+ Bees sobreyectiva si la ecuación /Íx) = y tiene al menos una solución x Bnees sobreyectiva si podemos encontrar un valor y € Btal que y f(A) . Geométrica- Se dice que f 34 > B es DIYECTIVA si es a la vez inyectiva y sobreyecti: mente esto significa que cada recta horizontal del plano a altura y E 8 corta a la gráfica de f en actamente un punto; equivalentemente A. Dicho de otra mane: jón fx) =yconx EA aca número real y para cada real Bes la imagen de exactamente = E existe uma sola solución de la un elemento y Sea 724 > B una función biyectiva. A la función /— (y) = único > A definida por / valora A tal que f(x) = y (tenemos garantizado que dicho valor x existe y es único puesto que Fes biyectiva), la llunaremos FUNCIÓN INVERSA PARA LA COMPOSICIÓN de f. Propiedades de la función inversa. Si f:A > Bes biyectiva y / 1: B>4 es su inversa para la composición entonces se cumplen: ñ (3) =x para todo x (Fei) =p para todo y € B = Las gráficas de f y de f7l son simétricas respecto de la secta y — Observación. La función inversa para la composición f | que acabamos de definir NO COIN CIDE con 1/f. es decir, no es lo mismo /—'(y) que 1/£(y) Ejemplo. Consideremos la función / +: R > K dada por f(a)=21 +7. La gráfica de / es la recta que pasa por los puntos (0,7) y (3.1) (dibujarla). Por tanto es una función biyectiva, yu que cada recta horizontal del plano corta a la gráfica de / en exactamente un punto. Para calcular la inversu ponemos y — 21 --7 y despejamos x en función de y. Al hacerlo se obtiene x= [y 7)/2. con lo que [7 (y) = (y 79/2, cuya gráfica es otra recta (dibujarla). Obsérvese que la gráficas de f y de $71 son simétricas con respecto a la recta y =x (hiscetriz del primer y terecr cuadrante del plano). Boro '0 lado, la función $ está definida en E5£_ 7/2). su expresión analítica es $ y su gráfica es una hipérbola. Queda entonces totalmente claro que Ejemplo. Consideremos la función £ + > R dada por f(x) =+2, cuya gráfica osuna paráhola con vértice en el origen de coordenadas, Ls claro que f no es inyectiva. ya que cada recta hori- zonal (y=K) con K > 0 corta a la gráfica dos veces. Esto es un reflejo de que la cenación 2=) tiene siempre dos soluciones cuando y > 0, coneretamente, y —= %y. Tampoco es sobreyectiva porque cada recta [y —K'] con K < O no corta a la grática de f. o lo que es lo mismo. la ecuación x= y no tiene solución siempre que y < 0 ¿Cómo obtener a partir de esta función otra que sea biyectiva? Para arseglar el problema de la falta de inyectividad tenemos que restringir el dominio de f a un subconjunto donde la función norepita valores; esto ocurre porejemplo en [0. +=) yen í =.0]. Así, la función g: JO, +e=) + R dada por g(x) — 7 síes inyectiva (nos estamos quedando con la rama derecha de la parábola). pero sigue sin ser sobreyectiva porque la gráfica no corta a las rectas horizontales [y = XK] con K <0, Para arreglar la falta de sobreyectividad se sustituye el conjunto de llegada de la función (en este caso E) por la imagen de la función. En este caso, es claro que la imugen de g es el conjunto 0, +] (odo número real no negativo es el cuadrado de su raíz cuadrada). Concluimos que la fimeión h: [D. +0e[> 1, +09] dada por híx) = 2 os biyectiva. Para caleular su inversa para la composición escribimos y= +? y despejamos y en hinción de y. Deducimos que x= y con lo que la inversa para la composición de Je es la función 117! : [0, cof [0, co] dada por iy) = $. Ln definitiva, si queremos construir una función biyectiva a partir de otra que no lo es. debe- mos restringir el dominio de la función para hacerla inyectiva, y debemos sustituir el conjunto de llegada por la imagen de la función para hacerla sobreyectiva, Con estas restricciones, pode mos caleular la inversa para la composición de la función escribiendo y= f(x) y despejando la variuble en función de y Y REPASO DE LAS FUNCION MENTALES Esta sección está dedicada a recordar algunas funciones bás ¡cas y sus propiedades. Observación. Van a apar cer dos conceptos cuya definición no ha sido aún introducida: límite y continuidad. Por ahora debeis ignorar todo lo relacionado con ellos. Cuando estudiemos estos dos conceptos en el tema siguiente, volveremos de nuevo a este apartado para terminar el estudio de las funciones elementales, 1. Funciones polinómicas: Una función pofinómica de grado n.es una función p + KK cuya expresión analítica es un polinomio px) — TS O. Los poli «to. es decir, son funciones constantes. Los a) =ajx + ay, cuyas gráficas son rectas con pendiente e, +0 que pasan por el punto (0, a). Los polinomios de grado 2 son de la for- ma p(x) — ax? + bx 4 e y es bien sabido que sus gráficas son parábolas. Las funciones pol todos los « son números reales, todos los exponentes son naturales. y ún nomios de grado Ú son de la forma p(x) polinomios de grado 1 son de la forma ¡micas son continuas en R. to os función racional a toda función r(x) = ff» donde (9 y q(x) son funciones polinómicas. El dominio de una función racional es Dom(r) = RA, Lx: g(x) 0) (no se puede dividir por cero). Son funciones continuas en cada intervalo de su dominio. Funciones racionales: Llamare: pl Función potencial de exponente 5 0: $ 2/mes una Crueción irreducible (esto es ab=njme Oconn o Z y mó Ñ tales que amo tienen divisores naturales comunes). La fitación potencial de exponente bes una función cuya expresión analítica viene dada por 14 f= 7. Ll dominio de estas funciones depende de la naturaleza de b — 1/m. Así: «) Sin> 0 y mes impar entonces Dom! 7) —R. 1) Sin > 0 y mes par entonces Dom(f) == :3(0 — BAJO in < 0 y mes par entonces Dom(f) =R 0) Sin <0 y mes impar entonces Domí e) Propiedades Puesto que en > la función potencial /(x) =a" está bien definida sea quien sea b. de aquí en adelante el dominio de esta función será E. salvo que se especifique lo contrario. Así a) f es biyectiva de IR” en IR y continua by f: 12 —+K está acotada inforiormente, de hecho +6 > 0 para todo ye Ri O Oy lim 9 => 0, entonces f es estrictamente creciente en IR. lí bas e) Sib<0, entonces f es estrictamente decreciente en X=, límx? — 4co y lim 10, Es A b>0 b<0 Figura 1.1: Gráficas de la función (1) —" para b> 0 y p< 0 4. Función exponencial (de ha: ): Es la función $: RR definida por fx) —e*, donde e es un número irracional cuyo valor aproximado es 2.711828. Lin algunos textos a dicha función se la denota también por exp(1) = Sus propiedades se estudiarán en el apartado siguiente. 5. Función exponencial de base a >0 (a 7 1): Es la función f: RR definida por f(x) — al. Propiedades de esta función: «2 f es continua en todo E y biyectiva de Ren Ro =]0, +=] 15 by f está acotada inferiormente por 0, de hecho 4” > 0 para todo Oda Lar ae, ja y Pes estrictamente cre dy Sia > 1, entonces lim a Oy lía a. Si0 y lím a 0, Ln particulas, cuando a es el número « tenemos la función exponencial de base e o simple- mente función exponencial f(x) — e”. azi asi Figura 12: Gráf as de la función /(1) =4' paraa > Lya R dada por = Ina. donde Ina el único número y € K tal que e* =1. es decir, esta función es la inversa para la composición de la función exponencial. Sus propiedades serán estudiadas en el próximo apartado. Función logarítmica de hase «> 0 ía 2 1): Es la función 3 ROH dada por (1) = log, x. siendo log,,.x el único número y € K tal que e? — x. Coincide con la inversa para la composición de la función exponencial de base a y puede ser expresada en términos de la función logaritmo neperiano tal y como sigue log, — Propiedades de esta función: ay Es biyectiva de Ren R y continua. No está acotada ni superior ni inferiormente bj logg(o) = log, y log y log. y y los (0)— ylog, Y. 0 y lí logyx—+es, 6) Sia 1, log, es estrictamente excciente, lír log,+ 10 di S10 coser glo, paratodo 1 E A, seciA +, secr—=¿L, paratodoxt A Ex. paratodo a < B, donde el conjunto A fue definido en el apartado anterior 11. Función arcasena: Es la inversa para la composición de la función sen: | 1) Por tanto. es la función aresen:' 1,1] —[ 4,4 definida de la siguiente manera: para cada y £ | 1,1] se tiene que aresen y es el único valor en el intervalo [ 4. 4] cuyo seno coincide con y cs Figura 1.7: Gráfica de la función arcotangente a) Es biy tiva, continua y estrictamente creciente, Es impar 4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS b) aresení 1) aresení0) —0 y aresen(l) — 71, Identidades pitagóri Función arcocoseno: Es la inversa para la composición de la funcióncos: [0.7] >] 1.1 Por tanto, es la función arecos: 7 1,1] [0,77 definida de la siguiente manera: para ca- sena +eos? te? +1 = sec? cotelx +1 =cose da ye 1.1] se tiene que arecosy es el único valor en el intervalo (0,77. cuyo coseno coincide von y, Suma y diferencia de ángulos a) Es biyectiva, continua y estrictamente decreciente. sen(x + y) =senx cos y +cosxseny bj arecosí arcensí0) y arecos(1) =0. cos (rd y) — Cos 100S YT SCI seny TOS ix=y) > Lo taxtey arcseníx) arccos(x) : x Ángulo doble sení2r) —Psenacos y, cos(2x) cost xo sen Ángulo mitad 20x 1 costa) sn EA o y 2 2 5 1 1 Producto . sense y) cosaty) 2e0s cos lx y) +eos(x+y) Figura 1.6: Gráficas de las funciones areoseno y arcacoseno 2senrcosy — sen y) senír y) 13. Función arcotangente: Es la inversa para la composición de la función 12:] 5.4[>R Por tanto, es la función arctu: IR —+| 4,4] definida de la siguiente manera: para cada IR se tiene que aretg y es el único valor en cl intervalo] E, %] cuya tangeme coincide con y 1. Determinar, en cada caso, el dominio donde es posible hacer la composición go f y escribir La función compuesta ) Es biyectiva, continua, estrictamente creciente, impar y acotada. bi lim, , sarctgr— 7/2. arcrg0— 0, arcrg( El) —=x/4, lím, , arctgx 21,2 19 20 (mM fa) —2log(íx) y gl) e” UN y el 41 > (fax (fa Min 241 im fax Ly gía) Ñ ye pl 2, Recordad que cuando se da la expresión analítica de una función sin especificar su dominio, éste es el mayor subconjunto de R donde dicha expresión tiene sentido, Teniendo en cuenta esto, determinar el dominio de las siguientes funciones: mr a me uy AL 1 NOS] para M0 fo NOS) 0) fía av 024 41 an fo (0 fa — Quo fa) (xuD fx) —arccosía? iv 0 eros , e D (xIV) fía) =aresení 1 a a QM fa arc) 3, Paridad de un polinomio. Estudiar la paridad de los siguientes polinomios: LO 44h ado 3x0. ¿Sabrías decir qué propiedad. en términos de sus coeficientes, debe de cumplir un polinomio para que sea par? ¿Y para que sea impar? 4. Consideremos b un número real y / la función dada por f(x) — ef ht, Determinar el dominio de la función y simplificar su expresión analítica usando las propiedades del log aritmo y la exponencial. ¿Qué tipo de función resulta? 5. La composición de aplicaciones inyectiva es una aplicación inyectiva y la composición de aplicaciones sobreyectivas es una aplicación sobreyectiva. Decidir en qué dominio las siguientes funciones son inyectivas. calcular su imagen y obtener en cada caso la inversa de una función biyectiva que se obtenga a partir de ellas. may (uy Pe (YD) aresení2a) 1 +1 mm e DEN) ( x= 1) Mido MN 
