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Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
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REFLEXIONA Y RESUELVE
Ecuaciones e incógnitas. Sistemas de ecuaciones
1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”?
¿No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?
■ Represéntalas gráficamente y obser- va que se trata de la misma recta.
Se trata de la misma recta.
■ Escribe otro sistema de dos ecuacio- nes con dos incógnitas en el que la segunda ecuación sea, en esencia, igual que la primera. Interprétalo gráficamente.
Gráficamente son la misma recta.
x + y = 1
3 x + 3 y = 3
1
1
x + y = 1
3 x + 3 y = 3
4 x + 2 y = 10
2 x + y = 5
1
1
2 x + y = 5
4 x + 2 y = 10
SISTEMAS DE ECUACIONES.
1 MÉTODO DE GAUSS
2. Observa las ecuaciones siguientes:
■ Represéntalas gráficamente y observa que las dos primeras rectas determi- nan un punto (con esos dos datos se responde a las dos preguntas: x = 2, y = 1). Comprueba que la tercera rec- ta también pasa por ese punto.
■ Da otra ecuación que también sea “consecuencia” de las dos primeras.
Por ejemplo:
Represéntala y observa que también pasa por x = 2, y = 1.
2 · 1. a^ + 3 · 2. a^8 7 x – y = 13
3. Considera ahora estas ecuaciones:
Observa que lo que dice la segunda ecuación es contradictorio con lo que dice la primera.
■ Represéntalas y observa que se trata de dos rectas paralelas, es decir, no tienen solución común, pues las rec- tas no se cortan en ningún punto. 2 x + y = 7
2 x + y = 5
1 2
1
2 x + y = 5
2 x + y = 7
7 x – y = 13
x + 2 y = 4
x – y = 1
2 x + y = 5
1 2
1 (2, 1)
x + 2 y = 4
x – y = 1
2 x + y = 5
1 2
1 (2, 1)
2 x + y = 5
x – y = 1
x + 2 y = 4
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
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1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
a) b) c) d)
a)
1 – 2 x = 3 – x 8 x = –2, y = 3 – (–2) = 5
Veamos si cumple la 2. a ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).
b)
Solución: x = 5 – 2l, y = 1 + l, z = l. Son tres planos que se cortan en una recta.
c)
d)
Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).
2. a) Resuelve este sistema:
b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.
c) Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.
d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.
a)
Solución: x = , y =
3 – 2 y = 4 + y 8 –1 = 3 y 8 y = — 3 1 11 x = 4 + y = 4 – —^ = — 3 3
x = 3 – 2 y
x = 4 + y
x + 2 y = 3
x – y = 4
x + 2 y = 3
x – y = 4
z = 1
y = 1 + z = 2
x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3
x + y + z = 6
y – z = 1
z = 1
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.
x + y + z = 6
x + y + z = 0
x – z = 0
x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2 z
y = 1 + z
x + y = 6 – z
y = 1 + z
La 3. a^ ecuación se obtiene sumando las dos primeras; podemos prescindir de ella.
x + y + z = 6
y – z = 1
x + 2 y = 7
8 y = 1 – 2 x
8 y = 3 – x
2 x + y = 1
3 x + 2 y = 4
x + y = 3
x + y + z = 6
y – z = 1
z = 1
x + y + z = 6
x + y + z = 0
x y – z = 0
x + y + z = 6
y – z = 1
x + 2 y + z = 7
2 x + y = 1
3 x + 2 y = 4
x + y = 3
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
b) Por ejemplo: 2 x + y = 7 (suma de las dos anteriores).
c) Por ejemplo: 2 x + y = 9
d) En a) 8 Son dos rectas que se cortan en (^) ( , (^) ).
En b) 8 La nueva recta también pasa por (^) ( , (^) ).
En c) 8 La nueva recta no pasa por (^) ( , (^) ). No existe ningún punto común a
las tres rectas. Se cortan dos a dos.
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1. Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:
a) b)
c) d)
a) Solución: x = , y =
b)
Solución: x = 3, y = –29, z = 11
c)
Soluciones: x = 3 + l, y = –29 – 19l, z = 11 + 6l, t = l
d)
Solución: x = 1, y = , z =
x = 1 –2 x – z = —— = — 3 3 7 – x + z 16 y = ———— = — 3 9
° § § § ¢ § § § £ 4 x = 4
2 x + 3 z = 0
x + 3 y – z = 7
2 x + 3 z = 0
x + 3 y – z = 7
4 x = 4
x = 3 + t
z = 5 x – 4 + t = 11 + 6 t
y = 7 – x – 3 z = –29 – 19 t
2 x = 6 + 2 t
5 x – z = 4 – t
x + y + 3 z = 7
2 x – 2 t = 6
x + y + 3 z = 7
5 x – z + t = 4
x = 3
z = 5 x – 4 = 11
y = 7 – x – 3 z = 7 – 3 – 33 = –
2 x = 6
5 x – z = 4
x + y + 3 z = 7
2 x = 6
x + y + 3 z = 7
5 x – z = 4
x = — 3 x – 5 – y = ——— = — 2 3
3 x = 7 x – 2 y = 5
2 x + 3 y + 3 z = 0
x + 3 y – z = 7
4 x + 3 y + 3 z = 4
2 x + + 3 z – 2 t = 6
x + y + 3 z – 2 t = 7
5 x + y – 3 z + t = 4
2 x + y + 3 z = 6
x + y + 3 z = 7
5 x + y – z = 4
3 x – 2 y = 7
x – 2 y = 5
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
UNIDAD 1
b)
Solución : x = 7, y = 3
4. Transforma en escalonados y resuelve:
a)
b)
a)
Solución: x = 1, y = 2, z = –
b)
(Podemos prescindir de la 3. a , pues es igual que la 2. a ).
Soluciones: x = 1, y = 5 – l, z = l
Página 36
1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:
a) b) c)
x – 2 y = –
–2 x + 3 y + z = 4
2 x + y – 5 z = 4
3 x – 4 y + 2 z = 1
–2 x – 3 y + z = 2
5 x – y + z = 5
x + y + z = 2
3 x – 2 y – z = 4
–2 x + y + 2 z = 2
x = 6 – z – y = 6 – z – 5 + z = 1
y = 5 – z
x + y = 6 – z
y = 5 – z
x + y + z = 6
y + z = 5
(1.ª) (2.ª) : (–2)
x + y + z = 6
–2 y – 2 z = –
–2 y – 2 z = –
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – 3 · (1.ª)
x + y + z = 6
x – y – z = –
3 x + y + z = 8
z = –
y = 3 + z = 2
x = –4 + y – 3 z = 1
x – y + 3 z = –
y – z = 3
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 3 · (2.a)
x – y + 3 z = –
y – z = 3
3 y – 4 z = 10
(1.ª) (2.ª) : 2 (3.ª)
x – y + 3 z = –
2 y – 2 z = 6
3 y – 4 z = 10
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª)
x – y + 3 z = –
x + y + z = 2
x + 2 y – z = 6
x + y + z = 6
x – y – z = – 4
3 x + y + z = 8
x – y + 3 z = – 4
x + y + z = 2
x + 2 y – z = 6
x = 7 –23 + 5 x y = —^ = 3 4
5 x – 4 y = 23
11 x = 77
(1.ª) 2 · (2.ª) + (1.ª)
5 x – 4 y = 23
3 x + 2 y = 27
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
UNIDAD 1
a)
8 8
Solución: x = 1, y = –2, z = 3
b)
8
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.
c)
8 8
Soluciones: x = –3 + 2l, y = l, z = –2 + l
2. Resuelve mediante el método de Gauss:
a) b) c)
a)
8 8
x = 2 – 2 z + – = –
Soluciones: x = –7l, y = – 3l, z = 2l
7 z 2
3 z 2
x = 2 – 2 z + y 5 – 3 z 5 3 z y = ——— = — – — 2 2 2
x – y = 2 – 2 z
2 y = 5 – 3 z
x – y + 2 z = 2
2 y + 3 z = 5
)
(
(1.ª) (2.ª) + (1. a) ) (3.ª) – (1.a)
(
x – y + 2 z = 2
x + y + 5 z = 7
2 x – y + w = 9
x – 2 y + z = 11
5 x – y + z + w = 24
5 x – 2 y – z + 2 w = 0
2 x – y + w = 0
x – 2 y + z = 0
5 x – y + z + w = 0
5 x – 2 y – z + 2 w = 0
x – y + 2 z = 2
- x + 3 y + z = 3
x + y + 5 z = 7
x = –3 + 2 y
z = –2 + y
x – 2 y = –
) – y + z = –
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 5 · (2. a)
)
(
(1.ª) (2.ª) + 2 · (1. a) ) (3.ª) – 2 · (1.a)
(
x – 2 y = –
–2 x + 3 y + z = 4
2 x + y – 5 z = 4
)
(
(1.ª) – 2 · (3.a) (2.ª) – (3.a) ) (3.ª)
(
3 x – 4 y + 2 z = 1
–2 x – 3 y + z = 2
5 x – y + z = 5
° § § ¢ § § £ z = 3 2 – 4 z y = ——— = – 5 x = 2 – y – z = 1
x + y + z = 2
5 y + 4 z = 2
2 z = 24
)
(
(1.ª) (2.ª) · (–1) (3.ª) · 5 + (2. a) · 3
)
(
(1.ª) (2.ª) – 3 · (1.a) ) (3.ª) + 2 · (1. a)
(
x + y + z = 2
3 x – 2 y – z = 4
–2 x + y + 2 z = 2
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
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1. Discute, en función del parámetro k , estos sistemas de ecuaciones:
a) b)
a)
8 8
8 x = = –
z = x – 2 + y = – 2 + y = = +
Sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = – l, y = 2l, z = + l
- Si k? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x = = –
y = = = 2 +
z = x + y – 2 = –1 + 2 + – 2 = –1 +
Solución: x = –1, y = 2 + , z = –1 +
k 2
k 2
k 2
k 2
k 2
k + 4 2
k – 4 x 2
3 – k k – 3
x + y – z = 2
4 x + 2 y = k
( k – 3) x = (3 – k )
y
2
–5 + 2 y 4
3 – 2 y 4
y 2
3 – 2 y 4
x – z = 2 – y
4 x = 3 – 2 y
x + y – z = 2
)^4 x^ + 2 y^ = 3
4 2 0 k 1 1 –1 2 0 0 0 0 (
)
4 2 0 k 1 1 –1 2 k – 3 0 0 3 – k (
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.a)
)
4 2 0 k 1 1 –1 2 k + 1 2 0 3 (
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) + (2. a)
4 2 0 k 1 1 –1 2 k 1 1 1 (
4 x + 2 y = k
x + y – z = 2
kx + y + z = 1
4 x + 2 y = k
x + y – z = 2
kx + y + z = 0
4 x + 2 y = k
x + y – z = 2
kx + y + z = 1
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
b)
8 8
El sistema es incompatible.
- Si k? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x =
y = =
z = x + y – 2 = + – 2 =
Solución: x = , y = , z =
2. Discute estos sistemas de ecuaciones en función del parámetro k :
a) b)
a)
8 8
)
k + 3 0 0 8 + 2 k 1 1 1 0 2 0 1 k (
(1.ª) + 2 · (3. a) (2.ª) (3.ª)
)
k – 1 0 –2 8 1 1 1 0 ( 2 0 1 k
(1.ª) – (2.a) (2.ª) ) (3.ª)
k 1 –1 8 1 1 1 0 ( (^2 0 1) k
kx + y – z = 8
x + y + z = 0
2 x + z = k
x + y + z = 1
y + kz = 1
x + 2 y = k
kx + y – z = 8
x + y + z = 0
2 x + z = k
k 2
k 2
2 – k k – 3
k^2 – 5 k + 8 2 k – 6
k^2 + k – 8 2( k – 3)
2 – k k – 3
k^2 + k – 8 2 k – 6
k – 4 x 2
2 – k k – 3
x + y – z = 2
4 x + 2 y = k
( k – 3) x = (2 – k )
)
(
)
4 2 0 k 1 1 –1 2 k – 3 0 0 2 – k (
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.a)
)
4 2 0 k 1 1 –1 2 k + 1 2 0 2 (
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) + (2. a)
4 2 0 k 1 1 –1 2 k 1 1 0 (
4 x + 2 y = k
x + y – z = 2
kx + y + z = 0
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
UNIDAD 1
Página 42
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Resolución e interpretación geométrica de sistemas lineales
1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
a) b)
a) 8 8
Solución: (–2, –1)
Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto (–2, –1).
b)
Si dividimos la 3. a^ ecuación entre 2, obtenemos: x + 2 y = 0. La 1.a^ ecuación es x + 2 y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.
La 1.a^ y la 3.a^ ecuación representan dos rectas paralelas; la 2.a^ las corta.
2 Halla, si existe, la solución de los siguientes sistemas e interprétalos geo- métricamente:
a) b)
Los resolvemos por el método de Gauss:
a)
(1.ª) – 3 · (2.ª) (2.ª) (3.ª) – 5 · (2.ª) (4.ª) – 2 · (2.a)
x + 2 y = –
2 x – y = 3
5 x + y = 8
3 x + y = 2
x – y = 1
5 x – y = 4
2 x + 2 y = 1
x + 2 y = 5
3 x – y = 1
2 x + 4 y = 0
x = 2 y = –
y = –
5 y = –
(1.ª) (2.ª)
(1.ª) (2.ª) + 2 · (1. a)
x + 2 y = 5
3 x – y = 1
2 x + 4 y = 0
- x + 2 y = 0
2 x + y = –
(3/2) x – 3 y = 0
PARA PRACTICAR
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
UNIDAD 1
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera. Quedaría:
4 y = –1 8 y =
x – y = 1 8 x = 1 + y = 1 – =
Solución: (^) ( , (^) )
El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto (^) ( , (^) ).
b)
( )
( )
De la 2.a^ ecuación, obtenemos y = –1; de la 3.a^ ecuación, obtenemos y =.
Luego el sistema es incompatible.
El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a las tres.
3 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
a) b)
a)
Lo resolvemos por el método de Gauss:
( )
( )
( )
Solución : (1, 1, 0)
Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto (1, 1, 0).
x = 2 – y = 1
y = 1
z = 0
x + y = 2
–2 y = –
z = 0
x + y – z = 2
–2 y + 3 z = –
z = 0
x + y – z = 2
–2 y + 3 z = –
–2 z = 0
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) (3.ª) – (1.ª)
x + y – z = 2
2 x + z = 2
x – y = 0
2 x + y + z = 3
x – y + z = 1
3 x + y + z = 4
x + y – z = 2
2 x + y + z = 2
x – y + z = 0
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) (3.ª) – 5 · (1.ª)
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
5 Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente:
a) b)
a) Si dividimos la 2. a^ ecuación entre 2, obtenemos:
x + 2 y – z = , que contradice la 1.a.
El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.
b) Si multiplicamos por – la 1. a ecuación, obtenemos:
x – 2 y – 4 z = –2, que contradice la 2.a^ ecuación.
El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.
Sistemas escalonados
6 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-
nados:
a) b)
c) d)
a)
Solución: (2, –3)
b)
z = y = z – 1 = x = =
Solución: (^) ( , , (^) )
c)
x = 0 z = x – 2 = –2 y = 9 + z – x = 7
Solución: (0, 7, –2)
–2 x = 0
x + y – z = 9
x – z = 2
3 + y – z 3
9 z = 2
3 x – y + z = 3
y = – 7 + y x = —^ = 2 2
2 x – y = 7
23 y = –
2 x – 3 y + z = 0
3 x – y = 0
2 y = 1
–2 x + y – z = 0
x + y – z = 9
x – y – z = 2
- y + z = 1
9 z = 2
3 x – y + z = 3
2 x – y = 7
23 y = – 69
(2/3) x – 2 y – 4 z = 2
x + 2 y – z = 3
2 x + 4 y – 2 z = 1
- x + 3 y + 6 z = 3
(2/3) x – 2 y – 4 z = 2
x + 2 y – z = 3
2 x + 4 y – 2 z = 1
d)
y = x = = z = –2 x + 3 y =
Solución: (^) ( , , (^) )
7 Resuelve los siguientes sistemas:
a) b)
c) d)
a)
Soluciones : (7 – l, 5, l)
b)
Soluciones : (1, 2 – l, l)
c)
z = 1 – 2 t y = 3 + t – z = 2 + 3 t x = 4 – t + z – y = 3 – 6 t
Soluciones : (3 – 6l, 2 + 3l, 1 – 2l, l)
d)
Soluciones: (–5 + 3l, 4 – l, l, –3 + 2l)
8 Transforma en escalonados y resuelve los sistemas siguientes:
a) b)
x + 2 y = 1
x + y = 0
2 x + y = 3
3 x – 2 y = 5
x + y = 0
x – y = 2
y = 4 – z
t = 1 – y + z = 1 – (4 – z ) + z = –3 + 2 z
x = 2 – y + t = 2 – (4 – z ) – 3 + 2 z = –5 + 3 z
x + y – t = 2
y + z = 4
y + t – z = 1
x + y – z = 4 – t
y + z = 3 + t
z = 1 – 2 t
x + y – z + t = 4
y + z – t = 3
z + 2 t = 1
y = 2 – z
4 – z – y 4 – z – 2 + z x = —— = —— = 1 2 2
2 x + y = 4 – z
y = 2 – z
2 x + y + z = 4
y + z = 2
y = 5
x = 2 – z + y = 7 – z
x – y + z = 2
y = 5
x + y – t + z = 2
y – t + z = 4
y + t – z = 1
x + y – z + t = 4
y + z – t = 3
z + 2 t = 1
2 x + y + z = 4
y + z = 2
x – y + z = 2
y + z = 5
y
3
2 x – 3 y + z = 0
3 x – y = 0
2 y = 1
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
UNIDAD 1
Método de Gauss
s10 Resuelve aplicando el método de Gauss:
a) b)
c) d)
a)
8 8
z = 0 y = –2 – z = –2 x = 1 – y = 3
Solución : (3, –2, 0)
b)
8 8
8 8 y = – x = – y – z = –
Soluciones : – , – , l
c)
8 8
Soluciones: (–1 – 3l, 2 + 4l, l)
y = 4 z + 2
x = 1 – y + z = 1 – (4 z + 2) + z = –1 – 3 z
z = l
x + y – z = 1
) – y^ + 4 z^ = –
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)
)
( 0 –2 8 –
(1.ª) (2.ª) – 3 · (1.ª) ) (3.ª) – 5 · (1.ª)
( (^5 3 3 )
x + y – z = 1
3 x + 2 y + z = 1
5 x + 3 y + 3 z = 1
)
l
2
l ( 2
z
2
z
2
x + y + z = 0
) 2 y + z = 0
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)
)
(
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) ) (3.ª) – 2 · (1.ª)
(
x + y + z = 0
x + 3 y + 2 z = 0
2 x + 4 y + 3 z = 0
x + y = 1
y + z = –
2 z = 0
)
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª)
)
(
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) – (1.ª)
(
x + y = 1
y + z = –
x + z = 3
3 x + 4 y – z = 3
6 x – 6 y + 2 z = –
x – y + 2 z = – 6
x + y – z = 1
3 x + 2 y + z = 1
5 x + 3 y + 3 z = 1
x + y + z = 0
x + 3 y + 2 z = 0
2 x + 4 y + 3 z = 0
x + y = 1
y + z = –
x + z = 3
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
UNIDAD 1
d)
( )
( )
( )
( )
Solución: (–1, 1, –2)
s11 Resuelve aplicando el método de Gauss:
a) b)
a)
( )
( )
( )
( )
Solución: (–2, 4, 6)
b)
( )
( )
( )
( )
8 z = y = = –2 x = – y – z =
Solución: (^) ( , –2, (^) )
3 + 2 z
x + y + z = 0
–2 y – 2 z = 3
2 z = 1
(1.ª) (2.ª) –2 · (3.ª) + (2.a)
(1.ª) (2.ª) – 5 · (1.a) (3.ª) – 3 · (1.a)
(3.ª) (2.ª) (1.ª)
3 x + 2 y + z = 1
5 x + 3 y + 3 z = 3
x + y + z = 0
x = –
y = 2 – x = 4
z = 4 – x = 6
–3 x = 6
x + y = 2
x + z = 4
(1.ª) – 5 · (2.a) (2.ª) (3.ª)
(1.ª) (2.ª) : 3 (3.ª)
(1.ª) (2.ª) + 2 · (3. a) (3.ª)
2 x + 5 y = 16
x + 3 y – 2 z = –
x + z = 4
3 x + 2 y + z = 1
5 x + 3 y + 3 z = 3
x + y + z = 0
2 x + 5 y = 16
x + 3 y – 2 z = –
x + z = 4
y = 3 + z = 3 – 2 = 1
x = –6 + y – 2 z = –6 + 1 + 4 = –
x – y + 2 z = –
z = –
y – z = 3
(1.ª) (2.ª) : (–5) (3.ª) : 7
(1.ª) (2.ª) – 3 · (1.a) (3.ª) – 3 · (1.a)
(3.ª) (2.ª) : 2 (1.ª)
3 x + 4 y – z = 3
6 x – 6 y + 2 z = –
x – y + 2 z = – 6
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
