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BLOG DE ALGEBRA

ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES

LINEALES. MATRICES. SISTEMAS DE

ECUACIONES. NUMEROS REALES. SUCESIONES.

LIMITES.

INTRODUCCION

En las siguientes páginas figuran las entradas del blog que mantuve durante el primer cuatrimestre del curso 2011/12. Sus destinatarios principales fueron los alumnos de ADE de la UNED, aunque podría estar destinado a cualquier estudiante de primer curso de Álgebra Lineal.

Cada entrada del blog está dedicada a presentar un concepto básico e ilustrarlo con ejemplos y ejercicios. Ningún apartado se trata en profundidad. Es sólo una presentación, un comienzo, después se podrá pasar al libro de texto y a un estudio más profundo.

COMIENZO

La idea al crear este blog es presentar de forma sencilla algunas ideas básicas del Algebra Lineal.

Además practicaremos con ejemplos que aclaren los puntos tratados, proponiéndolos para que los trabajéis y presentándoos después la solución.

El Algebra es sencilla, sólo hace falta no perderse entre sus muchas y variadas ideas.

ESPACIOS VECTORIALES

Comencemos con los espacios vectoriales. Es un tema que suele asustar a todos aquellos que siempre renegaron de las Matemáticas. Pero no tienen mayor misterio.

Un Espacio Vectorial es un conjunto de vectores. Sólo hay que saber cuáles son los vectores y qué se puede hacer con ellos.

Los Espacios Vectoriales que nos van a servir para todos los ejemplos de este blog van a ser R^2 y R^3. Hay muchos más, pero dejémoslos para los expertos.

R^2 es un espacio vectorial formado por infinitos elementos (los vectores). Son, por ejemplo: (2,3), (5,-1), (0,7), etc. Es decir, ni más ni menos que pares de números reales. Un vector suele nombrarse con una letra: a = (2,6), por ejemplo.

También R^3 está formado por infinitos vectores, que ahora serán ternas de números reales: (0,2,-3), (-3,4/5,7), (1/2,-8,9), etc.

Los vectores de un Espacio Vectorial se pueden sumar. También se puede multiplicar un vector por un número real (que se llama escalar).

Ejercicio 1: En el Espacio R^2 tenemos los vectores:

a = (2,-4), b = (-1,0), c = (-2, -3).

¿Cuál será el resultado de efectuar las operaciones siguientes:

a + b

2a

b - c

3a - 2c

SUBESPACIOS VECTORIALES

Entender lo que es un Subespacio Vectorial a veces se hace muy duro leyendo determinados libros de Algebra.

Pero si tenéis claro que un Espacio Vectorial es un conjunto formado por vectores, entonces sólo tenéis que imaginar que de todos esos vectores del Espacio cogéis algunos (pocos o muchos), es decir, cogéis una parte del Espacio, un subconjunto de él. Esa es la idea primera para comprender lo que es un Subespacio Vectorial: una parte de todo el Espacio.

Si sólo fuese eso sería demasiado fácil, pensaréis. Y es cierto, hay una segunda parte más complicada de visualizar.

Ese grupo de vectores que se cogen para hacer un Subespacio tienen que cumplir dos condiciones:

1. Al sumar dos vectores de ese grupo (los que sean), tenemos que obtener otro vector de ese grupo.

2. Al multiplicar un vector de ese grupo (el que sea) por un número (el que sea), se tiene que obtener otro vector de ese grupo.

Por ejemplo, R^2 es un Espacio Vectorial formado por infinitos vectores, como ya sabéis. De esos infinitos escojo todos los que empiezan por cero, es decir todos aquellos cuya primera componente es un cero: los que son de la forma: (0,a) donde a puede ser cualquier número.

Está claro que estos que he escogido son muchos, en realidad son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio completo R^2.

¿Qué pasa si sumo dos de esos vectores que he escogido? Serán dos vectores que empiecen por cero, así que al sumarlos el resultado será otro vector que empezará por cero también. Por lo tanto el grupo de vectores que empiezan por cero cumplen la primera condición. Con letras: (0,a) + (0,b) = (0,a+b).

¿Y si multiplico uno de los vectores que escogí por un número cualquiera? Pues al multiplicar el número por el cero (primera componente) del vector el resultado va a ser cero, por lo que el vector resultante también empezará por cero. Es decir, se cumple la segunda condición. Con letras: k(0,a) = (k0,ka) = (0,ka).

Luego los vectores de R^2 cuya primera componente es un cero forman un Subespacio Vectorial del Espacio R^2.

Ejercicio 3. Los vectores de R^2 que empiezan por uno, ¿son un Subespacio Vectorial?

Ejercicio 2 resuelto:

En el Espacio R tenemos los vectores a = (1,0,2) y b = (-1,2,-3).

Efectúa las operaciones siguientes:

3a + 5b = 3(1,0,2) + 5(-1,2,-3) = (3,0,6) + (-5,10,-15) = (-2,10,-9). -a -b = -(1,0,2) - (-1,2,-3) = (-1,0,-2) - (-1,2,-3) = (0,-2,1). 5b - 2a = 5(-1,2,-3) - 2(1,0,2) = (-5,10,-15) - (2,0,4) = (-7,10,-11).

En R2 el conjunto de vectores que empiezan por 1 es evidentemente infinito: (1,0), (1,-1), (1,8), etc.

Si sumo dos vectores de ese grupo: (1,0) + (1,-1) = (2,-1). El resultado es otro vector pero que no empieza por uno.

Falla la primera de las condiciones para que este conjunto de vectores sea un Subespacio Vectorial. No lo es. Ya no hace falta ver la segunda (también fallaría).

Ejercicio 4: En R^3 , el conjunto de todos los vectores cuya segunda coordenada es igual a la tercera, ¿es un Subespacio Vectorial?

UN GRUPO ESPECIAL DE SUBESPACIOS VECTORIALES

En el Espacio Vectorial R^2 (igual se podría razonar todo lo que sigue en R^3 ) podemos construir fácilmente un Subespacio Vectorial de la siguiente forma:

Escogemos un vector cualquiera, por ejemplo (2,3), y lo vamos multiplicando por todos los números reales: 1(2,3) = (2,3); 2(2,3) = (4,6); 3(2,3) = (6,9); 0(2,3) = (0,0); (-1)*(2,3) = (-2,-3); etc.

Este conjunto de infinitos vectores que obtenemos es un Subespacio Vectorial de R^2 , y se representa por: R(2,3), donde la letra R quiere expresar que al vector (2,3) lo multiplicamos por todos los números reales.

Tenemos pues que: R(2,3) = {(2,3), (4,6), (6,9), (0,0), (-2,-3), …}.

Con este método a nuestra disposición ya podemos construir todos los Subespacios Vectoriales de R^2 o de R^3 que queramos. Sólo tenemos que escoger un vector cualquiera y de inmediato fabricamos el Subespacio correspondiente: R(1,1); R(0,8); R(-1,3); R(2,2); etc.

R(1,1) = {(2,2), (3,3), (4,4), (0,0), (-1,-1), …}.

R(0,8) = {(0,16), (0,24), (0,40), (0,0), (0,-8), …}.

R(-1,3) = {(-2,6), (-4,9), (-6,12), (0,0), (1,-3), …}.

R(2,2) = {(4,4), (6,6), (8,8), (0,0), (-2,-2), …}.

Te habrás dado cuenta de que el vector nulo (0,0) se encuentra en todos los Subespacios anteriores. Esto siempre se cumple: El vector nulo pertenece a todos los Subespacios Vectoriales.

Ejercicio 5: ¿A cuál de los siguientes subespacios vectoriales no pertenece el vector (1,2)?

a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)

Ejercicio 4 resuelto: En R^3 , el conjunto de todos los vectores cuya segunda componente es igual a la tercera es un Subespacio Vectorial?

OTRA FORMA DE EXPRESAR SUBESPACIOS

Ayer vimos una forma muy sencilla de nombrar a un Subespacio Vectorial: R(2,3), por ejemplo, que representa al Subespacio formado por todos los vectores que podemos obtener multiplicando el (2,3) por cualquier número real.

Otra forma de expresar el conjunto de vectores que forman un Subespacio Vectorial F, puede ser la siguiente: F = {(x,y,z) / y = z}. En este ejemplo el Subespacio F está formado por todos los vectores donde y = z, es decir, su segunda componente es igual a la tercera: (0,1,1), (1,3,3), (9,-2,-2), etc.

Otros ejemplos de Subespacios expresados así, serían:

G = {(x,y) / x = 0} formado por todos los vectores de R^2 con primera componente igual a 0.

H = {(x,y,z) / y = 0, x = z} formado por todos los vectores de R^3 con segunda componente igual a 0 y la primera igual a la tercera.

J = {(x,y) / x = 2y} formado por todos los vectores de R^2 con la primera componente igual al doble de la segunda, etc.

Ejercicio 6: ¿Cuál de las siguientes expresiones valdría para nombrar al Subespacio formado por todos los vectores de R^3 con las tres componentes iguales?

a) {(x,y,z) / x=1, y=1, z=1} c) {(x,y) / x = y} b) R(1,1,1) d) {(x,y,z) / x=1, y=z}

Ejercicio 5 resuelto: ¿A cuál de los siguientes subespacios vectoriales no pertenece el vector (1,2)?

a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)

Sí pertenece a R(-1,-2) ya que (1,2) = (-1)*(-1,-2).

Sí pertenece a R(3,6) ya que (1,2) = (1/3)*(3,6).

Sí pertenece a R(1/2,1) ya que (1,2) = 2*(1/2,1).

No pertenece a R(-1,2) ya que no existe ningún número k tal que (1,2) = k*(-1,2). Sería imposible pues k debería ser positivo y negativo a la vez.

Ejercicio 6 resuelto: ¿Cuál de las siguientes expresiones valdría para nombrar al Subespacio formado por todos los vectores de R^3 con las tres componentes iguales?

a) {(x,y,z) / x=1, y=1, z=1} c) {(x,y) / x = y}

b) R(1,1,1) d) {(x,y,z) / x=1, y=z}

El conjunto del apartado a) está formado solamente por el vector (1,1,1).

El del apartado b) está formado por vectores de R^2 , no de R^3.

El del apartado d) está formado por vectores cuya primera componente es 1 y la segunda igual a la tercera.

Ninguno de los conjuntos anteriores es la solución que nos piden.

El conjunto del apartado b) R(1,1,1) está formado por todos los vectores que podemos obtener multiplicando (1,1,1) por todos los números reales. Si hacemos estas multiplicaciones vamos consiguiendo todos los vectores posibles con las tres componentes iguales. La solución es, por lo tanto, el apartado b).

Ejercicio 7: Expresar el Subespacio Vectorial A = {(x,y,z) / x = y, z = 0} en la forma R(a,b,c).

UNION E INTERSECCION DE SUBESPACIOS

De cuando estudiaste conjuntos recordarás que había dos operaciones con ellos que se utilizaban con frecuencia: la unión U y la intersección ∩.

La intersección de dos conjuntos está formada por los elementos que pertenecen a la vez a ambos.

La unión la forman los elementos que pertenecen a un conjunto o a otro o a ambos.

Los Subespacios Vectoriales son conjuntos, así que podemos hallar la intersección o la unión de dos de ellos.

Por ejemplo: A = {(x,y) / x = 0}, B = {(x,y) / y = 0}, son dos Subespacios, el A contiene a todos los vectores con primera componente igual a 0, y el B a aquellos vectores con segunda componente igual a 0. Su intersección estará formada por todos los vectores que están a la vez en A y en B, es decir, todos los que tienen las dos componentes iguales a cero. Sólo hay un vector que cumpla eso: (0,0). Resumiendo: A ∩ B = { (0,0) }.

La unión A U B contendrá a todos los vectores con primera componente igual a cero y a todos los de segunda componente igual a cero.

Ejercicio 8: El conjunto A U B anterior, ¿es un Subespacio Vectorial?

Ejercicio 7 resuelto: Expresar el Subespacio Vectorial A = {(x,y,z) / x = y, z = 0} en la forma R(a,b,c).

Un vector cualquiera de A será (x,y,z) y debe cumplir que x = y,además de que z= 0. Es decir, un vector de A se podrá expresar así: (x,y,z) = (y,y,0) = y(1,1,0), donde y puede ser cualquier número real. Por lo tanto A = R(1,1,0).

Un vector de ese conjunto será (0,1) y otro será (1,0). Su suma es: (0,1) + (1,0 ) = (1,1), que no pertenece al conjunto ya que no tiene ni la primera ni la segunda componente iguales a cero. Falla pues la primera de las condiciones necesarias para que un conjunto de vectores sea un Subespacio.

Recuerda que habíamos obtenido este conjunto haciendo la unión de dos Subespacios. Este ejercicio sirve pues como ejemplo de que cuando hacemos la unión de dos Subespacios el conjunto obtenido no tiene por qué ser otro Subespacio.

COMBINACIONES LINEALES

El vector (2,3) de R^2 es combinación lineal de los vectores (1,1) y (0,1) porque puedo encontrar dos números, el 2 y el 1, de forma que (2,3) se puede expresar como:

(2,3) = 2(1,1) + 1(0,1)

El vector (2,1,4) de R^3 es combinación lineal de los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) porque puedo encontrar tres números, el 2, el 1 y el 4, de forma que (2,1,4) se puede expresar como:

(2,1,4) = 2(1,0,0) + 1(0,1,0) + 4(0,0,1)

También el vector (-2,8,8) es combinación lineal de (1,0,1), (2,-1,3) y (0,2,4), ya que:

(-2,8,8) = 2(1,0,1) -2(2,-1,3) +3(0,2,4)

Ejercicio 10: Expresa (3,7) como combinación lineal de (1,2) y (3,4).

Ejercicio 9 resuelto: Expresa R(-2,1) en forma de conjunto y {(x,y) / x = -y} en forma R(a,b).

En R(-2,1) se encuentran todos los vectores que se obtiene al multiplicar cualquier número real λ por el vector (-2,1). Es decir, todos los vectores λ(-2,1) = (-2 λ, λ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores será (x,y), que por lo anterior será de la forma (-2λ, λ). Así que: (x,y) = (-2λ, λ), de donde x = -2λ, y = λ.

Ahora expreso x en función de y así: x = -2λ = -2y.

Y ya tengo el conjunto con la condición: R(-2,1) = {(x,y) / x = -2y}.

Para la segunda parte, un vector cualquiera del conjunto será (x,y), pero como x = -y, tendré:

(x,y) = (-y,y) = y(-1,1), donde y puede ser cualquier número real.

Así pues: {(x,y) / x = -y} = R(-1,1).