Matemáticas II para prácticar, Apuntes de Matemáticas

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2 º de Bachillerato

MATEMÁTICAS II

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2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés LibrosMareaVerde.tk Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal

1. CONCEPTO DE MATRIZ

1.1. DEFINICIÓN

1.2. DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ

1.3. IGUALDAD DE MATRICES

2. TIPOS DE MATRICES

3. OPERACIONES CON MATRICES

3.1. SUMA

3.2. PRODUCTO DE UN NÚMERO (ESCALAR) POR UNA MATRIZ

3.3. PRODUCTO DE MATRICES

3.4. MATRIZ INVERSA

3.4.1. Definición

3.4.2. Método de Gauss–Jordan

3.5. MATRIZ TRASPUESTA

3.6. RANGO DE UNA MATRIZ

Resumen

En la historia del Álgebra podemos encontrar etapas muy diferentes: el álgebra de la antigüedad de

babilónicos, egipcios, griegos,… el álgebra árabe o el álgebra de la edad moderna, en que continúa

tratándose la resolución de ecuaciones. En el siglo XVIII y XIX tiene su auge el Álgebra Abstracta que

trata de las estructuras algebraicas. Surgen las matrices y los determinantes, aunque se puede pensar

que su origen es mucho más antiguo si se piensa en los cuadrados mágicos que se conocen desde el año

650 a.C.

El cálculo matricial tiene importantes aplicaciones, como para la resolución de sistemas de ecuaciones

lineales que estudiaremos este curso. Otras aplicaciones se encuentran al trabajar en Física Cuántica o

en Teoría de Grafos, y se utilizan en computación por la simplicidad de su manipulación.

Las transformaciones geométricas, giros, simetrías…, se representan mediante matrices. Los vectores

son un caso particular de matriz. La información se organiza usando matrices.

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1. CONCEPTO DE MATRIZ

Actividad de introducción

En el IES “Virgen de Covadonga” de El Entrego se está desarrollando una actividad solidaria de recogida

de juguetes. Se han repartido las tareas por cursos, de modo que los alumnos y alumnas de 1º de ESO

recogen juguetes tradicionales, los de 2º de ESO juegos de mesa y los de 3º de ESO juegos electrónicos.

Durante la primera semana se recogieron 35 juguetes en 1º de ESO, 24 en 2º y 33 en 3º; la segunda

semana los estudiantes trajeron 28 juguetes en primero, 18 en segundo y 37 en tercero. Los profesores

encargados, satisfechos por el resultado de la actividad, decidieron recompensar a los niños y niñas

ofreciéndoles 4 caramelos por cada juguete tradicional, 2 morenitos por cada juego de mesa y un

pincho por cada juego electrónico. Cuando se enteran el resto de grupos del instituto (4º de ESO, 1º y

2º de Bachiller), deciden participar, y la semana siguiente traen 18 juguetes tradicionales, 25 juegos de

mesa y 16 electrónicos. El Equipo Directivo, muy orgulloso de la implicación de todos los estudiantes,

decide duplicar los premios.

• ¿Cuántos juguetes de cada tipo se recogieron?
• ¿Cuántos pinchos, caramelos y morenitos deben comprar como premio?
• Si los caramelos cuestan un céntimo, los morenitos 5 céntimos y los pinchos 75 céntimos, ¿cuánto les costará a los profesores recompensar a sus alumnos?

Sugerencia : Organiza la información en forma de tablas.

Colecta

Juguetes tradicionales

Juegos de mesa

Juegos electrónicos

1ª semana 2ª semana 3ª semana

Premios

Juguetes tradicionales

Juegos de mesa

Juegos electrónicos

Caramelos

Morenitos

Pinchos

Precio por unidad Coste total

Caramelos Morenitos Pinchos

Analiza:

• ¿Habrías sabido resolver el problema sin usar las tablas?
• ¿Te ha parecido más fácil con la información ordenada?
• ¿Conoces alguna situación de la vida cotidiana similar al problema planteado?
• Busca otros ejemplos donde la información tabulada es fundamental para entender mejor qué está ocurriendo.

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Actividades resueltas

Indica la dimensión de las siguientes matrices:

A ; B =( 3 2 − 6 0 );

C ;

D

Solución:

La matriz A es de dimensión 2 × 3 porque tiene dos filas y tres columnas.

La matriz B es de dimensión 1 × 4 porque tiene una fila y cuatro columnas.

La matriz C es de dimensión 3 × 1 porque tiene tres filas y una columna.

La matriz D es de dimensión 3 × 3 porque tiene tres filas y tres columnas.

Determina los valores de a, b y c para que las matrices A y B sean iguales

A = ( 3 a − 6 b ) ; B =( x 2 y 0 )

Solución:

Para que dos matrices sean iguales deben tener la misma dimensión, requisito que cumplen A y B.

Además, han de ser iguales los términos que ocupan la misma posición. Por tanto debe ser x = 3, a = 2,

y = − 6 , b = 0.

Actividades propuestas

1. Utiliza matrices para representar la información siguiente: Un agricultor cultiva lechugas, naranjas y

melones. Durante el año 2014 ha recogido mil lechugas, 2000 kilos de naranjas y 500 melones. En los años anteriores su producción ha sido de 500, 1000 y 400 respectivamente. Por cada lechuga recibe un céntimo, por cada kilo de naranjas 3 céntimos y por cada melón 5 céntimos. Escribe la matriz de sus ganancias del año 2014.

2. Analiza los siguientes elementos de tu entorno y determina si son matrices o no:

a. Un calendario. b. La clasificación de la Liga de fútbol (o cualquier otro deporte). c. El disco duro de un ordenador. d. Un armario donde se guarda una colección de copas. e. Los lineales de un supermercado. f. Una pantalla de televisión. g. El boleto de la Lotería Primitiva, de la Quiniela y del Euromillón. h. Los buzones de una vivienda.

i. Los pupitres de una clase.

3. Propón otros elementos de tu entorno que sea matrices o puedan representarse mediante matrices.

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2. TIPOS DE MATRICES

Si el número de filas es distinto del número de columnas ( m ≠ n )la matriz se llama rectangular. Dentro

de las matrices rectangulares tenemos los siguientes tipos:

• Matriz fila : Es aquella que sólo tiene una fila.

Ejemplo:

( 1 0 − 2 )es una matriz fila.

• Matriz columna : Es la que sólo tiene una columna.

Ejemplo:

es una matriz columna.

Si el número de filas es igual al número de columnas ( m = n ) se habla de una matriz cuadrada.

Dentro de las matrices cuadradas es importante destacar que los elementos a (^) ij en que los dos

subíndices son iguales forman la diagonal principal , y los elementos en que i + j = n + 1 (donde n es el

orden de la matriz) forman la diagonal secundaria.

31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a

a a a

a a a

En el conjunto Mn de las matrices cuadradas de orden n , cabe destacar los siguientes tipos de matrices:

• Matriz triangular : Es aquella matriz en la que los elementos situados por encima o por debajo de la

diagonal principal son nulos.

Ejemplos:

Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior

• Matriz Diagonal : Es aquella matriz en la que los elementos que no están en la diagonal principal son

nulos: a ij = 0 si i ≠ j

Ejemplos:

diagonal secundaria

diagonal principal

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3. OPERACIONES CON MATRICES

Actividad de introducción

La siguiente tabla muestra los resultados de la Liga de fútbol española 2014/2015 cuando cada equipo

juega como local y como visitante:

En casa Fuera Total Equipo PJ G E P PJ G E P PJ G E P F.C. Barcelona 19 16 1 2 19 14 3 2 Real Madrid 19 16 2 1 19 14 0 5 Atlético C. Madrid 19 14 3 2 19 9 6 4 Valencia C.F. 19 15 3 1 19 7 8 4 Sevilla C.F. 19 13 5 1 19 10 2 7 Villarreal C.F. 19 12 1 6 19 4 11 4 Athletic C. Bilbao 19 8 6 5 19 7 4 8 R.C. Celta de Vigo 19 8 5 6 19 5 7 7 C.D. Málaga 19 8 6 5 19 6 2 11 R.C.D. Espanyol 19 8 6 5 19 5 4 10 Rayo Vallecano 19 8 2 9 19 7 2 10 R. Sociedad 19 9 5 5 19 2 8 9 Elche C.F. 19 6 3 10 19 5 5 9 Levante C.F. 19 6 6 7 19 3 4 12 Getafe C.F. 19 6 5 8 19 4 2 13 R.C. Deportivo 19 5 6 8 19 2 8 9 Granada C.F. 19 4 10 5 19 3 4 12 S.D. Eibar 19 5 3 11 19 4 5 10 U.D. Almería 19 3 7 9 19 5 1 13 Córdoba C.F. 19 1 6 12 19 2 5 12

• Completa la tabla de la derecha, fijándote principalmente en: o Qué deberías haber hecho en caso de que los equipos hubieran estado ordenados de diferente forma en ambas tablas. o Cómo eliges trabajar con los números y por qué. o Qué dimensiones tienen las tablas con los datos “En casa”/”Fuera” y la que obtienes. o Cómo habrías resuelto el problema inverso: dados los resultados totales y los obtenidos “En casa”, determinar los resultados de los equipos cuando jugaron como “Visitantes”.
• El sistema de puntuación de la Liga da 0 puntos por jugar un partido, 3 puntos por victoria, 1 punto por empate y 0 puntos por derrota. o Escribe una matriz que represente estos datos sobre la puntuación o Utiliza dicha información para determinar los puntos logrados por cada equipo cuando juega como local, como visitante y en total. o Observa las dimensiones de las tablas de partida y de la matriz de puntuación, e intenta relacionarlas con las tablas de “Puntos” que acabas de obtener.

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3.1. Suma

Dadas dos matrices A y B de dimensión m × n , se define la suma de matrices ( A + B )como aquella

matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la misma posición:

C = A + B ⇒ cij = aij + b ij

 

  



21 22 23

11 12 13 a a a

a a a A (^)  

  



21 22 23

11 12 13 b b b

b b b B (^)  

  



= + = 21 21 22 22 23 23

11 11 12 12 13 13 a b a b a b

a b a b a b C A B

Ejemplo:

A

B

A B

La suma de matrices es una consecuencia de la suma de números reales, por lo que las propiedades de

la suma de matrices serán las mismas que las de la suma de números reales:

• Propiedad Asociativa.
• Elemento neutro (la matriz nula).
• Elemento opuesto (– A ): A + (– A ) = 0
• Propiedad Conmutativa: A + B = B + A

3.2. Producto de un número (escalar) por una matriz

El producto de un número real k por una matriz A = ( a (^) ij )es otra matriz de la misma dimensión cuyos

elementos son los productos de los elementos de la matriz A por el número k :

kA = k ( aij ) =( ka (^) ij )

31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a

a a a

a a a A 

31 32 33

21 22 23

11 12 13

ka ka ka

ka ka ka

ka ka ka kA

Ejemplo:

Dada la matriz 

A , el producto de la matriz^ A^ por^5 es: 

5 A

El producto de un número por una matriz tiene las siguientes propiedades:

• Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices. k ⋅( A + B ) = k ⋅ A + k ⋅ B
• Propiedad Distributiva respecto de la suma de números: ( k + l ) ⋅ A = k ⋅ A + l ⋅ A
• Propiedad Asociativa mixta: k ⋅( l ⋅ A ) =( k ⋅ l ) ⋅ A
• 1 ⋅ A = A

El conjunto de matrices Mmxn respecto de las operaciones suma de matrices y producto por un número

real ( Mmxn , +,·k ) tiene estructura de espacio vectorial.

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3.4. Matriz inversa

Entre las propiedades de las matrices no se ha nombrado la existencia del elemento simétrico o

elemento inverso, ya que no existe dicha propiedad. Sin embargo, hay matrices cuadradas para las

cuales existe otra matriz que multiplicada por ellas nos da la matriz unidad (elemento neutro).

Definición

Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B , también cuadrada, que multiplicada por la matriz A

nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le

llama matriz inversa de A y se representa por A –1:

A ⋅ A −^1 = A −^1 ⋅ A = I

Si una matriz cuadrada no tiene matriz inversa, se dice que la matriz es singular.

La matriz inversa verifica las siguientes propiedades:

• La inversa de la matriz inversa es la matriz original.

( A ) = A − 1 −^1

• La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambian- do su orden.

( )

− (^1) − 1 − 1

A ⋅ B = B ⋅ A

• La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la matriz inversa.

( ) ( ) t t

A A

− (^1) − 1

Para hallar una matriz inversa dispondremos de varios métodos distintos. En este tema veremos dos:

• Resolver un sistema de ecuaciones
• El método de Gauss – Jordan

Actividades resueltas

Sea (^)  

A. Halla la matriz inversa A–1^ mediante un sistema de ecuaciones.

Planteamos la matriz (^)  

c d

a b A^1 y hallamos el producto:

a b

c d c d

a b A A 2 0 2 2

Debe verificarse que A · A –1^ = I , por tanto:

− 2 0 2 1

1 a b

c d a b

c d A A I

Resolviendo para a , b , c y d :

A

c d

a b

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Sea (^)  

A , halla la matriz inversa A–1^ mediante un sistema de ecuaciones.

De nuevo, planteamos la matriz (^)  

c d

a b A^1 y hallamos el producto:

a c b d

a c b d c d

a b A A 3 4 3 4

Debe verificarse que A · A –1^ = I , por tanto:

− 3 4 0 3 4 1

a c b d

a c b d a c b d

a c b d A A I

Resolviendo para a , b , c y d :

 

  

 − ⇒ =









 









 



=− → 





• =  → 





• =

• =



 

 =−

= → 



 =−

• =  → 





• =

• =

−

−

−

−

(^3212)

1

2

2 2 1

1

2

1 1

2 0 3 4 1

2 0

2

2

3 2

2 1 3 4 0

2 1

2 1

2 1 A

b

d b

b d b d

b d

a

c a

a c a c

a c

F F

F F

Como hemos visto, este método resulta laborioso (y sólo lo hemos utilizado con matrices de orden 2).

Es simple imaginar que se complica enormemente si hay muchos términos no nulos y cuanto mayor es

la dimensión de la matriz.

Además, debemos tener en cuenta que no siempre existe matriz inversa, por lo que podríamos haber

estado trabajando en balde.

Ejemplo:

Sea (^)  

A , halla la matriz inversa A –1^ mediante un sistema de ecuaciones.

De nuevo, planteamos la matriz (^)  

c d

a b A^1 y hallamos el producto:

a c b d

a c b d c d

a b A A 3 6 3 6

Debe verificarse que A · A –1^ = I , por tanto:

a c b d

a c b d a c b d

a c b d A A I

Vemos que cualquiera de los dos pares de ecuaciones no tiene solución:

×

3 6 0 3 6 0

3

a c a c

a c a c

Que claramente no puede tener solución.

Por tanto, la matriz (^)  

A no tiene matriz inversa.

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Halla la matriz inversa de

A

Escribimos la matriz identidad junto a la matriz A y operamos como se explicó antes:

= − = +

= + 1 5 1

3 3 2 3 3 1

2 2 1 5 4

F F F F F F

F F F

−

= + =− −

=−

16 116 516 116 116 516 116

1

1 1 2 3 3

1 1 F F F F F

F F

−

−

−

= − −

− = − 16 1 16 5 16 1

(^1116916516)

16 3 16 1 16 3

3 16 1 16 5 16 1

5 1116 916 516 0 0 1

F 2 F 2 F 3 F 1 F 1 F 3

Por tanto, la matriz inversa queda:

−

−

− −

16 1 16 5 16 1

(^1116916516)

16 3 16 1 16 3 1 A

3.5. Matriz traspuesta

Dada una matriz A de dimensiones m × n , se llama matriz traspuesta de A y se representa por At , a la

matriz que se obtiene al cambiar las filas de A por sus columnas, por lo que la matriz At^ será de

dimensión n × m.

Ejemplo:

(^1 23) t A A

Una matriz cuadrada se dice que es simétrica cuando coincide con su traspuesta: A = At.

Para que una matriz sea simétrica, los elementos simétricos respecto de la diagonal principal deben ser

iguales.

Ejemplo:

t A A

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Si una matriz cuadrada es igual a la opuesta de su traspuesta, (^) A = − At , se dice que es antisimétrica.

Para que una matriz sea antisimétrica debe cumplirse que los elementos simétricos respecto de la

diagonal principal sean opuestos, y los elementos de la diagonal principal nulos.

Ejemplo:

A At^ At = A 

















 − −

− →− = 



















− −

− → = 

















 − −

−

3 4 0

1 0 4

0 1 3

3 4 0

1 0 4

0 1 3

3 4 0

1 0 4

0 1 3

Con las matrices traspuestas se cumplen las siguientes propiedades:

• La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las matrices traspuesta:

t (^) t t A + B = A + B

• La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto en orden inverso de las matrices

traspuestas:

( ) t t

t A ⋅ B = B ⋅ A

Actividad resuelta

Para las matrices (^)  

A y 

D , realiza el producto^ D t^ ⋅ At.

Solución

El primer paso consiste en trasponer las matrices:

(^2) t

t

t t D A

Es decir: ⋅ = ( 2 ⋅ 1 + 1 ⋅(− 1 )+ 3 ⋅ 2 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 0 + 3 ⋅(− 3 )) =( 7 − 1 ) t t

D A

Y podemos comprobar la propiedad anterior:

A D

Por tanto:

t (^) t t A ⋅ D = 7 − 1 = D ⋅ A

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En un país A, existen tres aeropuertos internacionales (A 1 , A 2 y A 3 ); en otro país B existen cuatro (B 1 , B 2 , B 3 y B 4 ); y en un tercer país C existen dos (C 1 y C 2 ). Desde el aeropuerto A 1 salen vuelos con destino a B 1 , B 2 , C 1 y dos vuelos con destino a B 4. Desde el aeropuerto A 2 salen vuelos con destino a B 2 , B 3 y dos vuelos con destino a B 4. Desde el aeropuerto A 3 sólo sale un vuelo con destino a B 3. Desde cada aeropuerto del país B, salen dos vuelos a cada uno de los aeropuertos del país C. Se pide, expresar mediante matrices:

a) Los vuelos del país A al B.

b) Los vuelos del país B al C.

c) Los vuelos del país A al C, necesiten o no efectuar trasbordo en el país B.

Solución

El esquema de los vuelos es:

a) Representamos los vuelos desde A (filas) hasta B (columnas)

X 1

b) Representamos los vuelos desde B (filas) hasta C (columnas)

X 2

c) Representamos los vuelos directos desde A (filas) hasta C (columnas):

X 3

Los vuelos desde A hasta C con o sin trasbordo serán:

X 1 X 2 X 3

A

A

A

B B

B

B

C1 C

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Actividades propuestas

4. Escribe tres matrices fila. 5. Escribe tres matrices columna. 6. Escribe tres matrices cuadradas de dimensión 2, 3 y 4 respectivamente. 7. Escribe la matriz unidad de dimensión 2, 3 y 4. 8. Escribe la matriz nula de dimensión 2, 3 y 4. 9. Dadas las matrices

A ,

B (^) y 

C (^) calcula:

a) A + 3 B

b) 2 A + B – 5 C

10. Para las matrices

A y 

B

calcula A ⋅ B y B ⋅ A. ¿Es el producto conmutativo?

11. Dadas las matrices

A y 

B

calcula 2

3 A B

t

12. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices:

A ,

B , 

C ,

D

13. Resuelve la ecuación matricial M ⋅ X + N = P siendo:

M ,

N ,

P

14. Calcula el rango de las siguientes matrices:

A ,

B , 

C ,

D