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3. 10. Si A EB , ent o nc e s A es u n SU BC O NJU NT O PROP IO s i y s ol o s i A ≠ B. Si mb. es c ri b imo s AC B / A Ç B.
3. 1 1. (r o ta ci ón de i n te rva lo s). P ar a a, b ∈ I R c o n a cb, d e fin im o s:
3. G os , b ) = {✗ E IR / xa b}
2. ( as o s ) = { × EI R/ a < × 4. [ a, b] = {× E IR/a ≤ ✗ ≤ b} 7. [ a, a ) = { × EI R / a ≤ ×}
5. [a, b) = { × E IR/ a ≤ ✗ (b} 8. f os , b ) = {× EI R/ × ≤ b
1 2. S e an A y B dos co nj.
L a UN IÓ N d e l o s con j e s AU B = ( ×/✗ EA o ✗ ∈ B } → ✓ (d is y )
La I NT E RSE CC IÓ N d e los c onj es A MB = {×/ ✗ E A y X E B) → ^ ( co nj)
L a DI FEREN C IA de l os c o nj es A ) B = {× /✗ E A y ✗ ∉ B }
E l CO MP LE M EN TA RI O d e u n S U BC O N JUN T O A E B é s el CON JUN TO A ' = ( ✗ EB/ ✗ ∉ A } → 7 ( n eg )
3. 1 3. Si d o s su bc on j un t o s A y B t en en l a pro pi e da d q u e A M B = ∅, se d ic e q ue A y B so n C ON JU NT O S D I SJ U NTO S. →
- Do s c o nj A y B so n ig ua le s s i y s o lo s i A E B y B E A. S im b. e scr ib i m os A = B. → (d em. p or DO BLE INC LUS IÓ N)
- U n a pr op e s una fr as e q e s o bre n C o b i e n F.
- S ea n A y B d os pr op s. L a p r op " no A" e s V s i y s o lo si S im b. e sc rib imo s 7 A. La p r op " A y B " e s ✓ si y s ol o s i A MBA S pr op s s on V. Si mb. e sc r i bim os An B ( "co n j de A y B "). fa pr op " A o B" e s V si y so lo s i A L ME NO S u n a de l as 2 e s V. S i m b. e scr i bim os A V B (" d is y d e A y B").
- Un a t ab la d e la V e s u na tab la q rec og e t od as l a s p rob a bi l id a de s p ar a e l val or d e ✓ d e una p r op.
- D os e nu nc iad os Py Q s on (lo gi ) e qui v al ent es s i y so l o si A M BO S te n e n l a mis m a t abl a d e V. S i mb. e sc ri bim os P ⇔ Q ( "Ps i y so l o si Q ").
- L a R EC ÍP RO C A de A ⇒ B e s B ⇒ A.
- L a I N VE R SA d e A ⇒ B e s 7 A ⇒ T B.
2 0. La CON TR A PE ST A de A ⇒ B es TB ⇒ 1 A.
2 5. U n e n ter o n es PA R s i exi s te un KE Z t a l que n = 2 k.
- U n e nte ro n es IM PA R s i ex ist e u n K E Z t a l q u e n = 2 kt 1. ( C O R)
- La p r o p 7 ( A ⇒ B ) es EQ U IVALE NTE a AN B.
- U na pro p q sie mp re es f alsa es u n a C O NT RA D I C CIÓ N. U na p ro p q si e m p r e es c ier ta e s un a T A UT OL OG I A.
A e s fa ls a. (n e gac ión de A" )
1. 49. "Pa ra t o do " es e l CUA NT IF ICA D OR U NI V ERS AL!
Sim b. e s cr ii mos ∃.
S imb. esc ri bi m os ∀.
" Exis t e un ... t al q ue " e s el CU ANT IF IC ADOR EXI S TE N CI A L.
Pa ra refo rj ar → " ex is t e (AL M EN OS ) u n. .. t a l q ue" → ∃!
D E FI NI C I ON E S
S i A es u n c on j unt o y × es u n el emen to d e A , s im b. e sc rib imos ✗ ∈ A. Si n o, ✗ ∉ A.
- De fin i ci ó n p or esp ecifi ca c ió n : S = ✗ EA/ × sat is fac e al gun a c o n dic ión }
Di ce qu é ti po d e el e men to s × s e C ons i d er a y P RE SUP O NE q u e n o s hem o s d ad o u n co nj. A d ent r o de l mal E SPE CI F ICA M OS a lg un os e l em en tos.
C on d ic ión q ue ×, ele me n to d e A , d e be sat i sf a cer p a r a p er te nec e r a n ue s tro nu evo co n j. S e lee: " El con j. d e los el e me ntos ✗ e n A ta le s qu e ✗ s at i sf a ce l a c ond ic ió n". p r opi ed a d e sp ecí fi ca q c a ra ct e riz a a ✗ de n t ro de A.
3. 5. S ea n Ay B d es c o nj un tos, di re m o s q A es u n SU BCO NJU NT O de B
s on t b e le men t o s de B. Si m b. e sc ri b im a s A EB.
s i y s olo s i l os e le men t o s d e A
1. ( a /b) = { ✗ E IR / a cxa b} 6. C a ib ] = { ✗ ER / a c x ≤ b
A B B
- S i S es u n co nj u n to, en ton c es e l C O NJU NT O D E LA S PA RT E S de 5 e s e l co n j u nt o d e l o s s ubco nju nto s d e S. no co mpar t en n i ng ú n e l e men t o S im b. escr i bimo s P (s ). e n la in te r se cc ión P o r de f , A E S si y so lo si A ∈ P Cs ). Po r ej , si S = L a , b} , en to nce s D= {∅, { a }, { b ) , { Èb} " el e m en t o " ⊛ " su bco nj un to " → B = f a , {a} el em en to d e B, s ubc o nju nto de B, el emen t o d e PCB )
◦
( he rb a)
Un CO N JUN TO es u na c o le cció n de o bj eto s ll am a d os E L EME NTO S.
E l C ONJ. VAC ÍO e s e l conj u nt o q ue no t ie n e ni ng ú n e l em en to. Si mb. esc r ibi m os ∅.
T AL Q UE
S U] / VA E TR R BO ◦ C^ T OI N^ PD^ OI^ C IDO^ E N^ A L / ¥ C O NDI C IÓ N
SI MB / N O MB RE "T^ A^ L^ Q^ UE^ "
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S IM B/ NO MB RE
SU] / VAET R R B O ◦ CT O INP D OI CDIO EN AL / ¥ 2 55 C ON D I CI Ó N
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