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matematicas noveno grado, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

temas matematicas noveno grado

Tipo: Apuntes

2025/2026

Subido el 27/03/2026

juan-pablo-triana-atuesta
juan-pablo-triana-atuesta 🇨🇴

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1 Lección: Números Naturales y
Números Enteros
¿Qué son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de
elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de
dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos
se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números
naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son
ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un
conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las
distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar
son las más elementales que se pueden realizar en el
tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones
adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de
multiplicar dos números naturales es también un número
natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
Representación de los números naturales
Losnúmeros naturalesse pueden representar en una recta
ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el
número cero. A la derecha del cero, y con las mismas
separaciones, situamos de menor a mayor los
siguientesnúmeros naturales: 1, 2, 3...
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¡Descarga matematicas noveno grado y más Apuntes en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!

1 Lección: Números Naturales y

Números Enteros

¿Qué son los Números Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de

elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de

dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos

se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números

naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son

ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un

conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las

distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar

son las más elementales que se pueden realizar en el

tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones

adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de

multiplicar dos números naturales es también un número

natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta

ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el

número cero. A la derecha del cero, y con las mismas

separaciones, situamos de menor a mayor los

siguientes números naturales: 1, 2, 3...

¿Qué son los Números Enteros?

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los

números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros

se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades

(como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un

cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a

0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada

al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que

se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es

negativo. Es decir:

*si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;

*si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son

operaciones internas porque su resultado es también un número entero.

Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo

es múltiplo del divisor.

PREGUNTA: De los siguientes números, ¿cuál es un número natural? 9 Todas las opciones.

1.1 Lección: La recta Numérica real

2 Lección: Valor Absoluto

Cualquier número tiene su representación en la recta real. El

valor absoluto de un número representa la distancia del punto

al origen (0), sobre la recta.

Ejemplo 1:

Calculemos la distancia desde el origen hasta el punto 4 y al

punto -4.

En la recta l , de la figura, vemos que:

 La distancia desde el origen hasta el punto 4 es 4 unidades,

se representa.

 La distancia desde el origen hasta el punto es unidades,

se representa por y corresponde a unidades, pero a la

izquierda del origen. Puesto que las distancias son no

negativas, decimos que.

Así podemos definir:

El valor absoluto de cualquier número real a que se denota

es: si es positivo, si es negativo y 0 si es cero. En

forma simbólica lo escribimos:

Por tanto, para cualquier número real a,.

Esto significa que el número dentro del valor absoluto puede ser

negativo, pero al desarrollar el valor absoluto SIEMPRE

obtendremos un número positivo.

Ejemplo:

I5I = distancia del origen 0 a 5 = 5

I-5I= distancia del origen 0 a -5 = 5

Ejemplo 2: Hallemos Solución: porque. porque. Ejemplo 3: Hallemos Por definición de valor absoluto tenemos: El valor absoluto puede usarse para calcular la distancia entre dos puntos de una recta coordenada. Si tenemos dos puntos cualesquiera y de una recta numérica, la distancia entre ambos es si y si , es decir, la distancia entre ellos es. Ejemplo 4: Hallemos la distancia entre los puntos con coordenadas 3 y 8. Solución:

Ejemplo 5: Utilicemos estas propiedades para calcular el valor absoluto de los números reales: a) -35; b) ; c) ; d) ; e) Solución: a) El valor absoluto de -35 pude escribirse así: b) El valor absoluto de es: c) El valor absoluto de es igual a: d) El valor absoluto de podemos escribirlo como: e) El valor absoluto de es:

PREGUNTA: ¿d(5,9)=?

3 Lección: Ecuaciones e inecuaciones

con valor absoluto

Esta es una lección de 0 puntos. Usted ha obtenido 0 punto(s) sobre 0 hasta ahora. El valor absoluto lo encontramos con frecuencia en ecuaciones con polinomios reales de la forma , en donde. En esos casos hallamos el conjunto solución aplicando la definición de valor absoluto. Ejemplo: resolvamos Solución: Teniendo en cuenta las dos condiciones de la definición de valor absoluto, queda resuelto cuando: x - 2 = 5 o x - 2 = - Para solucionar cada ecuación debemos sumarle 2 a ambos miembros de las igualdades: x = 5 + 2 o x = - 5 + 2. Así se obtiene: x = 7 o x = - 3 El conjunto solución de. Ejemplo 2: Encontremos el conjunto solución de Por la definición de valor absoluto tenemos:. Resolviendo cada ecuación se sabe que , de donde. El conjunto solución de la ecuación

a. así, la inecuación es equivalente a la dobl desigualdad -5 < x < 5. Veamos

la interpretación geométrica en la figura. PREGUNTA: ¿La solución de la inecuación es?

4 Lección: Exponentes y propiedades

Intento: 113

Esta es una lección de 0 puntos. Usted ha obtenido 0 punto(s) sobre 0 hasta ahora. Si es en elemento positivo y es cualquier número real, definimos como el producto de factores de. es la n-ésima potencia de. Simbólicamente: Si es un número real y es un número entero, tenemos: , donde se llama exponente y base. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN De esta definición obtenemos las siguientes propiedades, llamadas leyes de los exponentes, que nos permitirán simplificar expresiones con exponentes. Si tenemos:

Ejemplo: simplifiquemos la expresión Aplicando la definición de potencia n-ésima de , podemos escribir:

Para definir la raíz n-ésima de un número decimos: es una raíz n-ésima de si. Es decir: PROPIEDADES DE LOS RADICALES Los radicales podemos escribirlos como una potencia con exponente racional y les aplicamos las propiedades de los exponentes; de esta ,manera definimos las siguientes PROPIEDADES DE LOS RADICALES. si

  1. para n par
  2. para n par.
  3. para n impar. Al aplicar estas propiedades debemos tener precaución cuando x,. Ejemplo: Propiedad 1 simplifiquemos.

Ejemplo 2: Propiedad 4

Encontremos la

Ejemplo 3: Simplificar y expresar con exponente positivo. El siguiente video, le ayudará a profundizar el tema. Debe leerlo detenida y pausadamente, resolviendolo en la libreta de notas: Fuente:http://www.youtube.com/watch?v=oQRf4lSIfY PREGUNTA: Simplificar 3

EJERCICIOS DE PRACTICA 1

  1. Escribo las expresiones empleando exponentes.

a.

b.

c.

  1. Simplifico cada ejercicio

a.

b.

c.

  1. Racionalizo cada expresión

a.

b.

c.

  1. Escriban cada expresión en forma exponencial

a.

b.

c.

  1. Racionalizo el denominador de las expresiones

a.

b.

6 Lección: Racionalización

Las propiedades de los radicales nos brindan herramientas para cambiar (reescribir) las expresiones radicales por una variedad de expresiones algebraicas equivalentes, en forma más simple. Para reescribir una expresión radical en forma más simple, debemos tener en cuenta las siguientes condiciones.

  1. Un radicando (o expresión bajo el signo radical) no debe contener elevados a un exponente mayor o igual al índice del radical.
  2. La potencia del radicando y el índice de los radicales no deben tener factores comunes diferentes de 1.
  3. En el denominador no debe aparecer ningún radical.
  4. Bajo el radical no debe aparecer ninguna fracción. Ejemplo: ¿Podemos simplificar más la expresión? Para simplificar a debemos expresar a como , ayudándonos con la descomposición en sus factores primos, y luego aplicar las propiedades de los exponentes y de los radicales. Es decir: = Ejemplo 2: ¿Cómo podemos escribir como una expresión simplificada? Debemos suprimir el radical del denominador. Para lograrlo necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por. porque Al proceso de suprimir los radicales ya sea del denominador o del numerador se le llama racionalización del denominador o del numerador. En la racionalización de expresiones con denominadores irracionales se deben tener en cuenta las siguientes situaciones: Cuando el denominador es un monomio: para racionalizar un denominador monomio, se multiplican tanto el denominador, por un radical del mismo índice que multiplicado por este denominador nos dé un radical exacto. Ejemplo: Racionalizar el denominador de la expresión Solución: Sabemos que entonces, ¿cuál será la raíz por la que debemos de multiplicar el denominador para eliminarla? Multiplicando el dividiendo (numerador) y el divisor (denominador) por