Matemáticas: Polinomios, Apuntes de Matemáticas

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Primer Cuatrimestre

Profesor: Uribe González Daniela Fernanda

TEMA 2

Polinomios y Productos Notables

› Resolver operaciones con polinomios a través de ejercicios

prácticos.

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OBJETIVO Y TEMARIO

TEMARIO

2.1 Operaciones con polinomios 2.1.1 Suma de polinomios 2.1.2 Resta de polinomios 2.1.3 Multiplicación de polinomios 2.1.4 División de polinomios 2.2 Productos notables 2.2.1 Cuadrado de un binomio 2.2.2 Binomios conjugados 2.2.3 Binomios con un término común

INTRODUCCIÓN

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Monomio

• 3x,
• 8,
• 5xy

Binomio

• 3x + 1,
• 8 + 6xy,
• 5xy-2x𝑦 2

Trinomio

• 3x + 1 + 2y,
• 8 + 6xy- 4 𝑦 2 ,
• 5xy-2x𝑦 2 +6y

Polinomio

• 3x + 1 + 2y-5xy,
• 8 + 6xy- 4 𝑦 2 +2𝑥 3 𝑦,
• 5xy-2x𝑦 2 +6y-3xyz

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Operaciones con Polinomios

Veamos un ejemplo sencillo sobre operaciones con polinomios: Cuando tienes 3 lápices y le sumas 5 lápices, obtienes 8 lápices; si lo manejamos como una expresión algebraica, quedaría de la forma: 3 x + 5x = (3 + 5) x = 8x Los lápices resultaron ser términos semejantes, es por eso que fácilmente se puede lograr la suma, considerando que x = lápices. A diferencia que si tienes 3 plumas y quieres sumarle 5 lápices, no se obtiene el mismo resultado, debido a que se tienen dos términos diferentes (plumas y lápices). 3 y + 5x = 3y + 5x

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Operaciones con Polinomios

RESTA DE POLINOMIOS

Para la resta de polinomios, se necesita que los términos de la expresión algebraica sean iguales (semejantes), esto quiere decir, que tengan las mismas partes literales. 5 mn – 2 mn – 3 mn – 4 mn = - 4 mn (Coeficientes distintos, si se puede resolver)

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 (Orden de variables distintos, si se puede resolver) −𝒙𝒚 𝟐 − 𝟓𝒙𝒚 𝟐

- 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 - 𝟒𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 = −𝟔𝒙𝒚 𝟐 - 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 - 𝟒𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 (Variables distintas, no se puede reducir más) (2xy - 4y) - (5xy - 2y)=2xy-4y-5xy+2y = - 3xy-2y (Si se puede resolver, pero se tienen que eliminar los paréntesis, el signo negativo afecta al segundo paréntesis, por lo cual, los signos deben cambiar, por ley de los signos y después se resta o suma normal, según sea el caso)

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Operaciones con Polinomios

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de un Monomio por un Binomio La expresión a(x+y) se resuelve al multiplicar cada término dentro del paréntesis por el número que está afuera, en este ejemplo es a: a es el monomio. ( x+y ) es el binomio. Esta solución se realiza aplicando la propiedad distributiva; este método funciona siempre que una expresión se multiplique por cualquier monomio.

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Operaciones con Polinomios

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de Binomios Continuación… 𝐚 + 𝐛 𝐜 + 𝐝 = ac + bc + ad + bd Usaremos el mismo ejemplo para visualizar las diferencias, resolución con PIES: 𝐱 + 𝟒 𝐲 + 𝟏𝟎 = 𝑥 ∗ 𝑦 + 4 ∗ y + x ∗ 10 + 4 ∗ 10 𝐱 + 𝟒 𝐲 + 𝟏𝟎 = 𝑥𝑦 + 4y + 10x + 40 La única diferencia es el orden de los términos, ya que el resultado es el mismo.

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Operaciones con Polinomios

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de Binomio por un Trinomio Para la resolución de esta multiplicación, el método PIES no funciona, porque ahora tenemos más términos. Lo que se tiene que hacer es multiplicar cada término del binomio por cada término del trinomio. 𝐚 + 𝐛 𝐜 + 𝐝 + 𝐞 = ac + ad + ae + bc + bd + be Ejemplo: 𝐚 + 𝟓 𝐜 + 𝐝 + 𝟔 = a ∗ c + a ∗ d + a ∗ 6 + 5 ∗ c + 5 ∗ d + 5 ∗ 6 𝐚 + 𝟓 𝐜 + 𝐝 + 𝟔 = ac + ad + 6a + 5c + 5d + 30

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Operaciones con Polinomios

DIVISIÓN de un Binomio/Trinomio/Polinomio por un Polinomio Cuando queremos dividir una expresión algebraica entre un divisor que contiene más de un término, con frecuencia usamos un procedimiento llamado, división larga. Para dividir un binomio, trinomio o polinomio por un polinomio se procede de la manera siguiente: 1 ) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. 2 ) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. 3 ) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, se escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 4 ) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 5 ) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos. 6 ) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto. cociente divisor dividendo

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Operaciones con Polinomios

DIVISIÓN de un Binomio/Trinomio/Polinomio por un Polinomio cociente divisor dividendo

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Operaciones con Polinomios

15 x 4 5 x 2 3 x 2 . Revisa otro ejercicio aquí: https://www.youtube.com/watch?v=u6AtuvXgvrs

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Operaciones con Polinomios

15 x 4 5 x 2 3 x 2 . Revisa estos videos con ejemplos para resolver divisiones con polinomios, de manera fácil y rápida con resultados, a cargo de tu profesora: EJEMPLO 1 = https://www.youtube.com/watch?v=MEwz 6 Uwy 7 Qw&t= 7 s

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𝟑

𝟐

EJEMPLO 2 = https://www.youtube.com/watch?v=eiVLWpli 3 Nw&t= 2 s

𝟑

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Productos Notables

15 x 4 5 x 2 3 x 2 .

CUADRADO DE UN BINOMIO

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Para revisar algunos ejemplos, sigue el link: https://www.youtube.com/watch?v=m3qAO9F9Kik

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Productos Notables

15 x 4 5 x 2 3 x 2 . Ya tienes la teoría, ahora revisa algunos ejemplos aquí, sigue el link: https://www.youtube.com/watch?v=ZBOs8cWA6Xk

BINOMIO CONJUGADO

El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Nota: Este método es una simplificación de la resolución de una multiplicación de binomios, ya que al reducir la expresión, llegarás a un resultado de binomio conjugado (𝑥 2 − 𝑦 2 ), lo único que tienes que verificar, es que sus términos sean EXACTAMENTE IGUALES y lo que cambia es el SIGNO de un término, un Binomio sería positivo y el otro sería negativo.