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Polinomios de matemáticas, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

Matemáticas

4eso, matemáticas, son los polinomios

Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones

Antes del 2010

Subido el 10/11/2025

sergio-munoz-ballesteros
sergio-munoz-ballesteros 🇪🇸

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© EDITORIAL VICENS VIVES
2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
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© EDITORIAL VICENS VIVES
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Introducimos el tema
•
La finalidad de esta unidad didáctica consiste en profundizar
en el estudio de los polinomios y sus operaciones, para des-
pués aplicarlo a la resolución de problemas.
Comenzaremos leyendo el documento El corazón del Álge-
bra y plantearemos los siguientes interrogantes que sirven
de introducción:
–
¿En qué ámbitos de la actividad humana se aplican los poli-
nomios?
–
¿Cómo se expresa mediante un polinomio el volumen de un
cubo?
– ¿Son todos los polinomios expresiones algebraicas?
– ¿Y al revés?
Después, las alumnas y los alumnos buscarán información
para contestar las preguntas que se proponen y comentarán
las respuestas en grupos.
• A continuación, prestaremos atención al apartado Aprende-
remos a… y comentaremos con el alumnado las siguientes
cuestiones:
– ¿Qué operaciones con polinomios recuerdas?
–
¿Cuáles son los productos notables? ¿En qué consiste el pro-
ceso de factorizar?
–
¿Recuerdas alguna regla para facilitar la división y la factori-
zación de polinomios?
•
Seguidamente, las alumnas y los alumnos contestarán las
preguntas incluidas en la rutina de pensamiento Observo, Re-
flexiono y Concluyo, extrayendo la información que sea nece-
saria de las situaciones descritas en esta doble página.
El objetivo del paso Observo es promover una comprensión
más profunda de los contenidos del tema a partir de situa-
ciones cotidianas. Se trata de que visualicen su propio pen-
samiento a través de una serie de preguntas en las que sur-
jan algunos aspectos matemáticos.
02 RP-CeR-MAT4B SP49 P.A.R BARCO_Q4_2023 34 26/7/23 11:43
JOSE ANTONIO CAMPOS ARÉVALO (SANTA FAZ) Valid. 2024-09-10
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¡Descarga Polinomios de matemáticas y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

EMPEZAMOS Polinomios y fracciones algebraicas El corazón del Álgebra El estudio de los polinomios constituye la colurma CIFRADO DE CÉSAR vertebral del desarrollo del Álgebra. De hecho, los Elcifrado de César polinomios son la herramienta preferida para abor- cala dar un problema matemático históricamente cen- como citado por tral como os la resolución de ecuaciones desplazamiento, es una de las técnicas de cifrado más. simples y rrás usadas. Es un tipo de cifrado por sustitución en el que une. latra en el taxto original Saséndose en la herencia de las Matemáticas anti uas, el Álgebra tal y camo la conocamos hay se comenzó a formar drente el islara mecieval. Más tarde, ya an la Edad Moderna, los ropecs introdujeron une notación gl, que puso las bases para el análisis general e les polinomios ¡stemáticos eu farra que Empezó entonces un periodo fructifero. número fijo de posiciones de investigación de las relaciones Más adelanto al existentes entre un polinomio y alfabeto. ] -5 De manera análoga obtenemos el desarrollo de (a Bi y el de (a + 6) -(a- 8). En el apartado siguiente verernos cómo ralla fácimente cualquier potencia de la mm doma la +0Y 0 (a—0Y. ¿Ulimesos combina; No olvides que, para efectuar una operación combinada de sumas, restas, multi Dados des números enteros ¿—— places potencias con polinomios, debes aplicar la mima poriósd que con ay riales quen == 0,18] [os número: primero, ls potencas desputs, las multipcaciones, y, nalmente, Jlfine el mimero combina. <— aesumasy resta sorio |, que se los "one se se Ze ¿tomo [a 3 Potencia de un binomio ini qui Comencemos por calcular las potencias iniciales de (0 by: lara) 2 El simbolo ! se les “fectorial" (a+ ty -1a+ 1h ¿y mln > 0, rapresenta el Ode Zurles desco n has Ye | (ota sob 0010 ¿ ejemolo: ¿ arab cab + ab 16 TEN F LaS + Saba 1000? 4 10070? + Sob' + 10% 5: 0=0, so define: Si nos fjarnos únicamente en los coeficientes de estos desarrollos, vemos que for- 7 Estos números se llaman ¿mann rángulo on estas caracteisicas : sombinatorios porque, como ¿4 todastas flas empiezan y terminan en 1 2 vos ás adela, coin + Los números intermedios ce caca fla se obtienen sumanco los dos de la file tdo conc número de mans uetienen justo encima, ; o vlánguio se conoce como triángulo de Tatagl o triángulo de Pascal E de un grupo de n, lamadas tán 9 $ a $ cometan De este modo, el essralo e 0 + 6 Uene siguentes carctefscas: E para cada velar dem estos: * Flnúmero detéminoses +1 3 vienes comcider son los ¿+ Los cosicentesson los números ce lala 1. 1 del utirgulo. de lafin a 1 "del triangulo de Testogli, sado de caca tórmino as. Los exponentes de a disminuyen desde » hasta O, “venas que los exponentes de b aumentan cesde 0 hasta 42 | Comunicar procesos y resultados 3. División de polinomios. Método de Ruffin Aprenderemos a. a + Dias pelnemios + siar el método de Sut para dis poiroris con el vior ce aforma xa DESARROLLAMOS. Fate + Para dividir Pa entre Qi, + necesario que el graco de Pix) sea mayor o iqua ue e grado de O + El grada del pelnonia <> cie"te es a decencia en ne los grados de los poi nomas dhicendo y oro División de polinomios Ca tiching com 743871 Recuerdo Un galiromio está ordenado cuando sus sérmnos apar «cen escritos de manera cres aca respecto ce los expo- mentes de lavar ble Métedo de Ruffini Ca tiching com/743873 Divisi ildad 5: la civisión de Ph) ene. Ob es axaeto, e resto 05 O y deciros quee 2 0% ee civicor de Pla. : (es mitiplo de O) + Plod es divisible por O. División de polinomios Veamos, cor un ejerrpo, el procedimiento para dividir cos polinomios lomplo: Diviimos PQ = 12x!- 299" + 9 entre QUO 22091 4) Ordenamos los des polinemics en foma decreciente y los colocamos pa va dividir 02 Divicimos el 1émiro de mayor grado del dividendo entre el término de ma- yor grado del divsor, El resllado es el primer Iórmino de cociente. Aquí, 122 6 (O) Muttipicamos 6s%, que es e primer término del cociente, por todos los témi os del visor 6x7 + (2124 1)= 120 - Sx' + 67 A continuación, el pro- ducto beni se resta del divisendo- 120004 5 (12 Gal 6) 6 dig (O) tepotmos el proceso hasta obtener ur sto de menor gredo que el visor. a a +9 ea laxeóx 6 53021 Lx ase 19 MEE E] 42 2 7 24 10 El cociente os C() =6x! 3x2, y el resto, RO)==24x+ 30. Método de Ruffini Para efectuar una división de polinorrios enla que el divisores dela forma xa, ser» do a un número real, podemos aplicar otro procecimiento: el método ce Rulí Ejemplo: Dividimos el polinomio PG) = 8x*- 7x + 6 entre el binomio a—2. 4D tscribimos los cosiirnes del polinomio ordenado en orden decreciente, S “ata el término de algún grado, escrcimos 0 en e lugar correspordiente, e BoODo 0-7 4 Boo 0.7 4 alle 1 ge 616 TE ¡Como el grado del cociente tiene que ser una unidad menor que el del dvidendo: CO=8H 160 + 32x+ 57 R=118 44 | Utilizar el pensamiento computacional Obtención de términos de una división de polinomios «Y, 7. Utlizo una calculadora en línea. En una civisión de polinomios, el dividendo esta, el reso es dx— 3 y el cociome es a al 2x2, Averigua cuáles el civisor y comprueba el resultado, con CaleMe. Solución: En soda civisión de polinorvos, se veia la siguiensa exa az tr relación entre el dividendo, PA, el divsor, Ode ta E] cociente, C(2, y el resto, RG) De da POD Q6): 60 + Al) rr TA Per tanto: 06 =P) K00Í: CC0. CIN Resolvemos, primero, la resta El dividerdo que buscamos es: O()=x 01 Para comprobar el resultado con CaleMe, prmero de- O finimos Ple, (a y AGO. Aconanación aros lapción: PL A hacer cie ocre (aparece Hectuamostn visón de ete restado entre 6 CR OS Aaa) da to Fee PEPE) División por el método de Ruffini 8, Averigua el valor que debe tener para que el resto de la Jivisión de PO)= 1204 La? 12 entre x= 3042. Soluci Como se trata de una cisión de un polinomio entre 12 o ko 0. 2 un monomio de la forma + a, utilizaremos el méxodo Vs dde fuffni. Eectueremos la divsión manteniendo el pa. A rámetso y lfinalirvpondremos la concición A(Y) = 42: 1 TAR 122 0 ko 0 o 2 o ko 0-12 3 309 0 ENSTETE 1220. o. 2 alos 3 9 az LOVE APRAÓA 969 Queremos que el esto sea 42, luego: 169242 => 9=27 > ko 7 Portemto, Pl) 002x312. EIEZs3 pág 59 Tema 2. Palinomios y facciones algebraicas | 45 Aplicaciones del teorema del resto 3. Halla, sin efectuar la civisión el resto Kie cividi P(x) 10. €: la, sin sust, el valor nu érico de PC) 2 ax 4 2x3 entre el binomio 1 la 1 2par=2 1. Explico el proceso Averigua, sn clacuara, sl divsión del polinomio Ps) =.2= 4 +4 ente ol binomio x= 1 es exacta. Explica cómo lo haces, Solución: 3. Según el icorema coincide con PENE Ara CIN IN Eds 22mó2m doo 10. Segun el tecrerna cel resto, P(2) coincide con el resto dela división de PQ) entre + 2: oo 00-30 1-2 2 204 8010 22 204050012 Cálculo de las raíces de un polinomio 12, Hall las raíces enteras de los polinomios siguientes arte Solución: + Paro encontrar las raíces enteras de un palomo, cxiculamos el valor muménco de PG) para los dh sores positivos y negativos del término insepen dente, que son 1,1, 2y=2, y obtenemos: Pm. OS art aa 2 PEDIA Portanto, 1, -1 y -2 son ralces enteras del polino mia y 2 mo lo es. Como el grado del polinomio es 3, estas tres som hacías las raíces sde PG) 2-2=0 b. Los visores enteros del término independiente son, en este caso, 1,=1, 2,=2,4y=4 Para calcular el valor numérica de 0 para estos valores, utilizaremos el algoritmo de Horner, que es un procedimiento que nos pernile cbierer de ¡Como el resi de la división es 20, el vor num: o de Ps) para x= 2.520: 20)=20 UL. La división es exacta sí el resto de la división es O Según el teorema del reso, ete colncide con P(1): 1-4 Ted 424=0 RP 2121 Portanto, la civisión es exacta [REZA 57. 58,59 pág: 50 pm ésta farma eficiente el valor numérico de un polmemio para un valor dado dela variaole Consiste en reescribir el polinomio e la forma: abro De este modo, al susaitulr, as operaciones que de- bemos efectuar son más senclls, pues no debe- ros calcular polencia alguna. En muestro cosa: 2 drenllcrr tra ree (cae Shades los valores uméicos para 1,1, 2-2, 4 y 4 som Dell) 1) 1740 AC) +40 am la 25)-2) 2490 SS oc (0 -4)-4-5)-5)-4+4=180 oo) o) a) Por tanto, las raices.de Q(2) som: 1, 1,2, 2 [ELTEZA 70%, 706 p59:59 80 Tema 2. Palinomins y facciones algebraicas DESARROLLAMOS. 3 5 3 5. Factorización de un polinomio Aprenderemos a. + Facsorar poirorvos por dife; rentes métodos E * Nolo olvides SA ax toy Polo ia 1) Factorización de polinomios ing.com/743875 "Notaci 2 Pa as ciebs por fal, 9 dico cue a 03 am raíz múltiple de Pix de multipi idad En particular haslamos de raíz doble; sí 3,de la, ete Atención A pertr de ahora, < 13 hallar si descomposición los inecuciblo Factorización de un polinamio elapartado hemos visto que, todos lo términos de un polinomio tenen un “actor común, pocemos extraero y expresa el polmomio como un producto > También s fácil expresar un polinomio como un producto cuando identiquemos que sara del desarrolla de un producto notte, Pr ejemplo: (043) ambos casos, oscimos que hemos factorizado el palomo. 20 (2) Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en expresarlo como producto de varos polinomvos. a extracción detactor común yla identlicación de productos notables permiten “ac zotizar un polinomio, pero no siempre se pueden aplicar, Yeamos otro procesimiento. Sabemos que, six=a- esuna raíz de P(s) la división de PQ) ente xo, es exac ta y, por temo, si C (4) es el cociente de esta división, podemos escribi PO = (ma) c6d Si ahora haceros lo mismo con C (s) tendremos C,(9) + 2 xa raíz de (2 y, por Lan, Lambién de £G2. Com Ps aa) Gl Y as sucesivamente, hasta llegara un cociente que no se puedo descomponer (05) > Cs, dende a) laa) -Cdo Resumiendo, para factorizar un pelinorrio d'spanemos de ciferentes métodos en ocasiones, se pueden combinar. +» Sacar factor común. + ¡dentiicar el polinomio con el desarrollo de un preducto notable + Buscar divisores de la erma xa. Ejemplo: Para factrizar el polinomio P(2) = x' - 4x' + al + És, observamos que no tiene tEnmino independiente, por lo que podemos extraer factor común Pta (a 6) Para descomponer Cl) = xl dal + x 4 6, buscamos raices enteras ente los civi so1es positivos y negativos del término indcpendiemes +1, 22, 63 y =6 Vemos que se cumple que E(-1) = C(2) = C(3) = 0. Por tanto, -1, 2 y 3 son raíces de C(x) = 1 - 4x0 + x 4 6. Como el graco del polinomio es 3, estas son todas sus aos y podemos esc (0 d+ 1 641) 0 2 Por tato: PG) = 1-01) -(s—2)- 6D Polinomios irreducibles Un polinomio (4 es Irreducible ino se puede tactorzar Los polinomios ireducia bles son ls de primer grado (3x- 1, x 1 4...) y los de segundo grado si raíces, os er, aquellos cuya exuación de segundo grado asocieda no lenc solución (1, xor4 8, Tedo polinomio de grado mayor que 2 se puede descomponer como produczo de pelinorrlos de primer y segundo grado. 48 | Utilizar el pensamiento computacional DESARROLLAMOS. 6. m.c.d. y m.c.m. de polinomios Aprenderemos a. a + ¡dec y caleta el mica y 8 mem. de dos > más pol Recuerda Para facerzar un solmomo 7 disponemos de ciferertes métodos que, en ccasiores, | a puedan combinar: A Sacar factor común, + Ieomaliaro com el cosano. lo de ur producto nota. + Buscar divisores ce 2 for m.cd. y m.cm. de polinomios Los conceptos ce máximo común divisor (m.c.d, y mínimo común múltiplo (ruca) de polinomios son análogos a los de números. El m<.d. de varios polinomios es al polinomio ce mayor graco que es divisor de uds ells. Para calcular el m.c dde varios polinomios, procedemos del siguiente mado: — Descomponemas cada uno ce les polinomios en factores rredaciils, es deci, tactores de grado uno a de grado dos que no se puedan descomponer Maliplicamas los factores comunes clevados a su menor exponente. El m.c.m. de varios polinomios es e! polmomio de menor grado que es múli- plo de tocas ellos, Para calcular el m.cm. de varios porisomias, procedemos del guiente modo: — Descomponemos cada uno de ls polinomios en factores ireducibles — Muttipiicamos los tatores comures y también los no comunes elevados a su ma yor exponente, Elemplo: Dados PQ) a+ 30 3 1Ix—6y QUO - 20 48 140% 20%, para caleu- cru med y su mico. procedemos como sigue En primer lagar, factorizamos los polinomios: E E) O E) Para calcular el máximo común divisor debemos mruliiicar los factores comunes elevados 6 su menor exponentes rs Ad senor exponente del factor (x+ 1) es 1. Por tanto: mc. [P6, 06] = 0) Para calcular el mínimo comén múltiplo debemos muliplicar los factores coma- us y los no comunes e evados a su mayor exponente: E) ayor exponente del factor (14 1) 52. Portanto: mun. (Pto, 069] = 220102) 27-085) E) Suele ser preferible dejr el m.cid y el m.cam. en forma factorizada, por lo que no cmultpicamos sus factores ¡omo en el caso de los números, se ver fia la squiente rlación entre cl mucal. y el mucom. de cos polinomios med. (PG). 069]: mem. 146), 062] 50 | Formular y comprobar conjeturas Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de dos polinomios 15. Formulo y compruebo Dados P()= 4-7 + 16: 12y 009 = oa 3 calulaelmed y el mica. ¿Qué relación hay entre su producto y e producto de los polinomios? Compruébalo. Solución: Fl primer paso para encontrar el med. o el mem dle dos polinomios es factorizarlos. POT 62 PO aa 0er a a 3 O) A) Tenemos, pues: O: Vara llar el mico. muchas los factores comas es elevados su menor exponente med. [P6o, QU) = (3) Vara hala el ran. mullicamos los actores comu es y los na comunes elevados asu mayor exporente: miem. (PG0, 060] (13) (2 (4-1) 1 Fiéndanos en os resultados hallados y en la factoriza- ción de los polinomios, parece que el producto del mem. y el med. concide con elde los polinomios Comprobámaslo: O) Porun lado: maca. [P09, 00] m.can. [P69, 060] = E) Parotro lado, com lafactorzación que hemos halla. 29-00 DD Podemos observar que, aunque desordenados, apare- «en los mismos factores. Luego ls productos colnciden. Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de dos polinomios con una calculadora en línea ($ 16, Con la ayuda de CalcMe, encuentra amd. de PM) Solución: a. Para calcular el m.col. de dos polinomios, primero los defirimos escr biendo, un el Árca pera Defbw PlO Ba Dear Ol) Ra bet Abra, em el Árce pera Collar escribir med(Pbd, QU) Al clicar cn 6, apareca: ME(Pd, OU) = =x-2 Cao ay Urza homem. de PO) 11 6x y 09 PS b, Para hallar el icon. ce dos polinarrias, procedemos. como en lcaso delme.d, Primero loselefvimos: PO) Ox 0) to ete Yen el Área para Cal escribimos: mem(Plx), Old Alcicarer O, aparece memiPbo, Qíx) = xi-x-30x" Calc EE sapito Tema 2. Polinomios y facciones algebraicas | 51 Reducción de fracciones algebraicas a común denominador 17. Reduce a común denominador las fracciones. Solución: Primero, calculamos el m.c.m. de los denomiradoras: Pen - A Dsviimos el mic. tec ls dos dencinradors: EE [ete DDD Operaciones con fracciones algebraicas Finalmente, muksiplicamos el numerador y e! denom acor de cada fracción algebraica por el cociente co- rrespondiente: EEE os ps: do 19, Resuelvo y comunico Efectúa la operación siguiente con fracciones algeoraics indicando el orden z 24x 2, jue sigues en los cáleulos: ” 10. ES o 293 pde 1. O recia a za Solución: En operaciones combinadas, efectuamos los cálculos siguiendo este orden: O opacos eno parís O Pesenciasy mí E) Maotipicaciones y civisiones, en el orden en que aparecen, O Suras y resta, en el orsen en que apa Zar Ma a 5 ma o 2002) o iaa OD, der (2D, Sunayresa ETA AMAT NTE] 105+ E ss 27 == ap aes. E E EE JA aa | ares bo ora eya) 3 ro AA ee-amara Tea iapiaión lato aus | ENTRENA) Sngiicanos A PRA O [edo Tema 2. Polinomios y facciones algebraicas | 53 8, Estrategias de resolución de problemas leen dsc uta iu e polonia Para el, poden plo eur, proque dos piero con gunos, on de ser guste e coecincs decada sino 0 mimo grado, E princi o se DESARROLLAMOS, Ejemplo Fallalos valoros de y 5 quo verifiquen est guaidad: neón agutraca EL Enplieriacar electsmos asuma del irbro dela derecha sl E] ce cengrado «gado O es e Frccans mps =s dee E cada AUIa8 A PST uo y] de mea Aa m3 Meca Aeon A ama Para que esta gula se curra, han e ar pales los cocierts delos té ninos e gua grado, Por tanto De cono conetimos que 4=3y8=2. 2 pr er cmosma e dsc a lat dagas Anotación ag Mesa Et procedimiento s conocido como descompostn en fsccone simples y 6 e uan uLiad para machos presos matemáticos. 20. averigua ls alres e, 8y Cu veu ct ia: PA A E E an avarguaovalez de Ey Coue velan ea Zara i 264, mc ¿ AA RT 54 | Conectar elementos matemáticos 22 bal la descomposiión en fccores smpls de ln siquienteFaccónalgeac pu veian el cociente y ere de lsguen taras (esse ao ar (tez Ejercicios y problemas resueltos yori del bso ven da ide eco de que nicol DESARROLLAMOS ES ohm e uncono ven dape md Susto entras Ñ vna (60-188) pernos V=l16e 1621 448004860) Y sacamostactor común Pirlo 7 2) E Paca His z0 te ¿ao e exi un actor camán odas los e rinos, ecos laca come e Ls dos prne- ¡0 y ess timos féminas pesar. root 8) 2-78) OO Sega pr asma para lec peda) Vega ás tn O) acota) deta) a eta) de 12) (052) der $2) Vamo 20 ay Zo sonia PA O (oa te-zco) 56 | Formular y comprubar conjetutas 30. Formo y compruebo ¿Puedes demostrar que A] Setra de un plomo os valo, ey. Pao coran yoo parte de comico e, vendo san potros E Komo el vo s dl 3po xo stndo 2 = y, rodeos apical pata hacer a ión de AA e Lora y AUR YA Des depa Faces (arma Empreses deseroload el co sacado el ángulo de Tetagla. Para alo resgragamos nara os téminr COTAS lo A Unives to opresores vidas PE (setos dal + 1% 3 Bro 0 AS 430 as 0300 100 2 Ma e A a loza a dc 3001 lab rta cra lane) =5to= Ml brd=e oro] TO Suma, resta y mutiplicaión de polinomios Un polinomia es a expr age Tomua o sama de moncinos osea For ajeno, M0 ==21'+ 1207 6 un polnom Tomado por les moramis o seres. Su gra 80) 4y tene solamante una arab Productos notables. Potencia de un binomio. (oro lo a ab porn la potencia de un biomas (aa a División de polinomios. Método de Rufñal + Para dvi polineavos cando el deso e dela Tormo x= ase aplcal método de Rafi, e os más css, seus l lgontmo sena, "Teorema del resto. Raices de un polinomio + Teorema del esto: eres Eder Po enel binomio» 0 uo aloe um de Pa po. 2 porejomol, Inc de 20) =-2: + 40 ene Alcor: 2 exacta perque PG) =0 + E núme ml oe una az del poincamio PO) iy vato Ple 0 Los rte enteras de um polromio cor cocteles eners son usors,postwos o negros, del tar vr dependiente Factorización de un polinomio acti us pocordo conste en preto o na produc de ars polmontos. ar factoria un potnomi sacamos feto común, idevuiamosprsucis notables o alamo dio. resdelafomas=a Para somar (eta) ds polinomio, sumamos (rest. 09) mr semen e ans polos Fara multiplicar des políarios, mulupiamos ca de mao de uno dels por cado Lémio del cu mar los temin empare los cociente son las al +1 eli loe arg tigun e Pascal —Tocos os téminos cnn gado, os exponentes ici dea hs Oy los de y amo Fan desde hala med. y mem. de polinomios. * me: muliliamos los fcrs comunes eiados sueno exponente, + mem mulupicaros los facts comunes y os o mane elevados au mor enana Fracconos lgoralcas «Una ración loba es cocente ste de cs stramies 2, edo 069 70. CA Des ciones abras son xivalentes sy solo il malla un Sri a sus se sb el taa smpliar uns foccón lgeac, fc nos el mamardor y el denominador y diinaos dos ares quese coman, Par reducir común denominador rios ocn acors, 4 conac ón, dre el mun. env + deominado de sado Iccón y, ugo, mul amos eresnado pr nmuncory denomina or dea ción comespondino Paca operas con acciones escalas, apicamos les mismos procedimientos que on ls raménes