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Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 1 )
PRESENTACION:
S1 - ARITMETICA
S2-ALGEBRA
UNIDAD No1: CONOCIMIENTOS PREVIOS MAT100 (Nivel 1)
S3 CONJUNTOS
S1 – Producto
Carteciano
S2-Relaciones
en te Ay B
UNIDAD No1: RELACIONES Y FUNCIONES MAT100 (Nivel 1)
S3 Análisis
de Funciones
S3 Funciones
entre dos conjuntos
ALUMNO :
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 2 )
PRESENTACION:
Con el beneplácito de mantener una continuidad anual por más de 1 6 años, lanzamos la versión No V 19
de esta “GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS” para las materias de “ Calculo Diferencial e Integral ”
Nivel I y Nivel II.
El propósito de la presente Guía es que sirva como material de apoyo bibliográfico a los Estudiantes de
las Facultades de Contaduría Pública y Ciencias Económicas, y del mismo modo a los estimados colegas
que han visto en este medio una herramienta más para el desempeño eficiente en la parte práctica del
proceso de enseñanza que imparten.
Esta Guía; cada año nutre con la recepción de numerosas sugerencias, e ideas respecto al contenido,
de la materia por parte de profesores y alumnos, con el propósito de lograr una mejora continua para
tratar de lograr un consenso de uniformidad mínimo de los contenidos en el momento de impartir las
materias de referencia.
El modelo de la presente GUIA, consiste en plantear por cada unidad, programática, una serie de
secciones, que a su vez tienen lecciones con temática específica y ejemplos y ejercicios propuestos de
distintos tipos.
A los estimados alumnos respetuosamente se les pide:
Ser tolerantes es sus observaciones
Colaborar en el proceso de mejoramiento de la presente guía.
DOCENTES QUE APOYAN Y COLABORAN EN LA EDICION:
Ing. José Morón R
Ing. Jorge Antelo
Ing. Osvaldo Koller.
Ing. Víctor Hugo Vaca D.
Lic. Ramiro Limón. (Vgde).
Ing Fernando Amelunge Martínez
Lic. Jaime Velasco.
Lic. Víctor Romero
Lic. Alfredo M. Osinaga C
Lic. Mario Limón.
Lic. Roberto castro
Contactos: Correo: [email protected] Web.: https://jmoronr.wordpress.com/
ALUMNO : GRUPO:
SANTA CRUZ - MARZO – 2019
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 4 )
CONTENIDO MINIMO:
Derivadas, Análisis y aplicación de funciones en dos variables – Derivadas, Análisis y
aplicaciones de funciones con más de dos variables – Integración, análisis y aplicación de
funciones con dos variables, Sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones.
OBJETIVOS GENERALES:
Al finalizar el curso el estudiante será capaz de aplicar los conceptos, herramientas y técnicas
de matemáticas para:
- Analizar y graficar funciones poli nómicas complejas en dos variables.
- Analizar y graficar, y de funciones con más de dos variables.
- Integrar funciones básicas con dos variables.
- Hacer aplicaciones a las ciencias económicas con derivadas y con integrales.
METODOLOGÍA Y MEDIOS DE ENSEÑANZA:
- Se empleará la clase magistral y prácticas grupales.
- Los medios a emplear serán la pizarra, el marcador y la vos.
JUSTIFICACIÓN DE LA MATERIA:
La materia constituye la segunda parte de las herramientas básicas del cálculo diferencial e
integral, para el desarrollo y formación de los estudiantes en la carrera de Contaduría Pública.
EVALUACIÓN:
PARTE “PRACTICA”.- Por cada capítulo se tomaran practicas grupales u otra modalidad con
una calificación de 25 puntos. La ponderación será el resultado de la suma total de las pruebas
del semestre. En esta calificación se considerará la asistencia para efectos de notas finales.
PARTE “EXAMENES PARCIALES”. - Se evaluarán tres exámenes parciales:
o El 1ro de las unidades uno
o El 2do de las unidades dos
o El 3ro de la unidad tres con aplicación de conceptos de las unidades anteriores.
PONDERACIÓN:
Exámenes % Obs.
Exámenes prácticos 25 Practicas grupales
Exámenes parciales 50 Unid. 1, 2, Und. 3(2doEP)
Exámenes Final 25 Unid. 4
CRONOGRAMA TENTATIVO PARA UN SEMESTRE ACADEMICO MAT 150
(16 semanas académicas)
CALCULO II MAT 150
Ing. José Morón Rossel Docente titular “B” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas ( PAG 5 )
DESARROLLO DE LAS UNIDADES PROGRAMATICAS:
UND. No 1
“CONOCIMIENTOS PREVIOS (Derivadas)” TIEMPO 18 Horas - aula
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Lograr que los alumnos se acomoden a la nomenclatura que se aplicara durante el semestre
académico.
Lograr que los alumnos recuerden consoliden sus habilidades en el proceso de derivar
funciones y=(x).
Lograr que los alumnos nivelen o uniformicen sus conocimientos previos de funciones
derivadas.
CONTENIDO:
1.1.0 Derivadas en dos Variables Y=f(x).
1.1.1 Definición de derivada:
1.1.2 Derivadas Por definición:
1.1.3 Derivadas aplicando formulas Estándar.
1.1.4 Derivada de funciones especiales.
UND. No 2
“ANÁLISIS DE FUNCIONES CON DOS VARIABLES” TIEMPO 30 Horas - aula
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Lograr que los alumnos tengan la capacidad de graficar funciones y=f(x), complejas con la
ayuda de las derivadas.
Lograr que los alumnos resuelvan aplicaciones básicas de ciencias económicas.
CONTENIDO:
2 .1.0 Análisis de funciones con dos variables.
2 .1.1 Valores máximos y mínimos, relativos y absolutos.
(Criterio de la primer y segunda derivada):
2 .1.2 Intervalos de funciones, crecientes decrecientes:
2 .1.3 Puntos de inflexión.
2 .1.4 Intervalos de funciones, cóncavas y convexas.
2 .1.5 Trazado de curvas
2 .2.0 Aplicaciones a las ciencias económicas:
2 .2.1 Maximización de funciones de ingreso.
2 .2.2 Minimización de funciones de costo promedio.
2 .2.3 Maximización de funciones de Beneficio.
2 .2.4 Ejemplos combinados.
CALCULO II MAT 150
Ing. José Morón Rossel Docente titular “B” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas ( PAG 7 )
BIBLIOGRAFÍA (1)
1. WEBER, JEAN , 1984, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA, Editorial.
Harla, México D.F.
2. HOFFMAN , Lawrence, 1980, CALCULO APLICADO PARA ADMINISTRACION,
ECONOMIA, CONTADURIA Y C. SOCIALES, Editorial Mc. Graw Hill, México D.F.
3. CHUNGARA, Víctor , 1995, CALCULO I, Editorial UMSA, 4. GUTIERREZ P.A .,1989, LA PRACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL, Editorial El Jisunú,
Santa Cruz de la Sierra
BIBLIOGRAFÍA (2)
1. Domingo G. Martínez M. 2001, ÁLGEBRA LINEAL, Editorial Universidad Nur. www.nur.edu
Bolivia.
2. Antón Howard , “Introducción al álgebra lineal”, Editorial Limosa, México, 1995
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 8 )
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 10 )
CONTIENE
CONCEPTOS Y EJERCICIOS
DE:
CONOCIMIENTOS PREVIOS
o FUNCINES DERIVADAS CON DOS VARIABLE
ANÁLISIS DE FUNCIONES CON DOS VARIABLE
o MAX. Y. MIN.
o PUNTOS DE INFLEXIÓN
o GRAFICAS
o APLICACIONES
FUNCIONES INTEGRADAS (INTEGRALES SIMPLES)
o INTEGRALES INDEFINIDAS (Por tablas)
o INTEGRALES DEFINIDAS (Calculo de Áreas)
o APLICACIONES
FUNCIONES CON TRES VARIABLES
o DERIVADAS PARCIALES
o MAX. Y. MIN.
o APLICACIONES
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 11 )
UND. 1
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Objetivo. - Lograr que los alumnos nivelen sus conocimientos previos respecto a criterios,
nomenclaturas y técnicas para derivar funciones y hacer aplicaciones inmediatas a las Ciencias
Económicas administrativas y Financieras.
1.) Funciones Derivadas:
Definición geométrica: Es un coeficiente genérico
(pendiente de una recta tangente a un punto) que mide el
cambio de la variable Y por unicidad de cambio de la
variable X, en un punto de la gráfica de y=f(x).
Pendiente o derivada: 𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Definición simbólica:
Dada la función: 𝑦 = 𝑓(𝑥);
𝑦
′
= 𝑓
′
(𝑥) = 𝑚 = 𝑡𝑎𝑔(𝛼) =
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= lim
ᴧ𝑥→ 0
[
𝑓
( 𝑥 + ᴧ𝑥
) − 𝑓(𝑥)
ᴧ𝑥
]
2.) Formulas Básicas de Derivación. ( por definición ):
Se las denomina así porque son el resultado de aplicar la definición Geométrica de derivadas a
las funciones más básicas.
Ejemplo 1 ) Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥
2
Hallar la función derivada Aplicando la definición geométrica:
- La función enfrentada es: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 2 + (𝑥 + ∆𝑥)
2
- Reemplazando en la definición de límite:
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= lim
ᴧ𝑥→ 0
[
2 +
( 𝑥+∆𝑥
)
2
−
( 2 +𝑥
2
) )
ᴧ𝑥
] ; Simplificando para encontrar un límite equivalente.
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= lim
ᴧ𝑥→ 0
[
]
= 2 𝑥 Resolviendo el límite.
Por lo tanto, se concluye que la función derivada es:
𝟐
′
NOTA : El resto de funciones derivada se determina de la misma manera, pero en este curso
solamente se dará por demostradas las derivadas de las funciones básicas
FORMULAS BÁSICAS PARA DERIVACIÓN
′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
´
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
3) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
´
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2 𝑥
4) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓
( 𝑥
)
1
𝑥
´
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥
2
´
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
6) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥
´
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒
𝑥
Nota : Todas pueden ser demostrables aplicando la definición de derivada.
1
2
1
2
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 13 )
4 a) 𝑓
2
′
=? 4b) 𝑓
2
′
5a) 𝑓
3 − 2 𝑥
2
𝑥
i; 𝑓
′
=? 5b) 𝑓
3 𝑥
2
− 2
2 𝑥
′
6 a) 𝑓
1
𝑥
3
2
′
=? 6b) 𝑓
3
2
1
𝑥
′
7a) 𝑓
( 𝑥− 1
)
4
𝑥
; Para: 𝑥 = 2 7b) 𝑓
( 1 +𝑥
)
4
𝑥
; Para: 𝑥 = + 2
8a) 𝑓
− 2 𝑥 ; Para: 𝑥 = 1 8b) 𝑓
− 3 𝑥 ; Para: 𝑥 = + 1
9a) 𝑓
4
𝑥
) ; Para: 𝑥 = 1 9b) 𝑓
4
𝑥
; Para: 𝑥 = 2
10a) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
− 2 𝑥( 1 − 𝑥) ; Para: 𝑥 = 2 10 b) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥( 1 − 𝑥) −
4
𝑥
; Para: 𝑥 = 2
3.) Funciones derivadas aplicando las tablas estandar: (ver formulario adjunto):
El objetivo en esta sección es aplicar formulas estándar(pag. 60), para la determinación
de funciones derivadas donde la función original tiene características no básicas o un
relativo grado de complejidad.
Dadas las funciones U, Y, W, que depende de X, y además de una constante (k); se verifican las
siguientes formulas estándar.
FORMULAS ESTANDAR PARA DERIVAR
i) 𝑓(𝑥) = 𝑈
𝑛
′
𝑛− 1
U
′
ii) 𝑓(𝑥) = 𝐾
𝑈
′
(𝑥) = U
′
𝑈
ln(𝑘) ii2) 𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑈
′
(𝑥) = U
′
𝑈
iii) 𝑓(𝑥) = lg(𝑈) 𝑓
′
U
′
𝑈
lg(𝑒) iii2) 𝑓(𝑥) = lg(𝑈) 𝑓
′
U
′
𝑈
iv) 𝑓(𝑥) = 𝑈 × 𝑉 𝑓
′
= U
′
V + 𝑈V
′
v) 𝑓(𝑥) =
𝑈
𝑉
′
U
′
V−𝑈V
′
𝑉
2
vi) 𝑓(𝑥) = 𝑈
𝑉
′
𝑣− 1
U
′
− V
′
𝑉
ln(𝑈)
Ejercicios. - Con cada grupo de ejercicios propuestos se pide:
a) Hallar la función derivada
b) Hallar el valor de la función derivada en el punto indicado.
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 14 )
Ejercicios Tipo T 02 Calculo de funciones derivadas Exponenciales (F1)
Formula F1.- 𝒚 = 𝒇
𝒏
´
𝒅𝒚
𝒅𝒙
′
𝒏−𝟏
′
Determinar la función derivada y su respectivo valor o aplicación en el punto indicado.
11a) Si 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 𝑥
3
; Hallar: 𝑓
′
(− 1 ) =? 11b) Si 𝑓
( 𝑥
) = 2 𝑥
3
− 4 𝑥 ; Hallar: 𝑓
′
( − 1
) =?
12 a) Si 𝑓(𝑥) = 2 ( 1 − 𝑥)
2
; Hallar: 𝑓
′
(− 2 ) =? 1 2b) Si 𝑓(𝑥) = ( 4 − 𝑥)
2
; Hallar: 𝑓
′
(− 2 ) =?
13 a) Si 𝑓(𝑥) = ( 3 𝑥 − 𝑥
2
)
4
; Hallar: 𝑓
′
(− 2 ) =? 1 3b) Si 𝑓(𝑥) = ( 3 − 𝑥
2
)
3
; Hallar: 𝑓
′
(− 2 ) =?
14 a) Si 𝑓(𝑥) = 2 √
−𝑥
3
; Hallar: 𝑓
′
(− 8 ) =? 1 4b) Si 𝑓(𝑥) = 2 √
𝑥
3
; Hallar: 𝑓
′
(− 2 ) =?
15 a) Si 𝑓
( 𝑥
) = (√ 2 − 𝑥)
3
; Hallar: 𝑓
′
( − 7
) =? 1 5b) Si 𝑓
( 𝑥
) = ( √ 3 − 𝑥
3
)
2
; Hallar: 𝑓
′
(
) =?
16 a) Si 𝑓
( 𝑥
)
4
√ 1 − 3 𝑥
3
; Hallar: 𝑓
′
( 3
) =? 1 6b) Si 𝑓(𝑥) =
2
√ 1 −𝑥
3
; Hallar: 𝑓
′
(− 7 ) =?
17 a) Si 𝑓(𝑥) = (
4
𝑥− 3
)
2
; Hallar: 𝑓
′
( 2 ) =? 1 7b) Si 𝑓(𝑥) = (
2
3 −𝑥
)
3
; Hallar: 𝑓
′
( 4 ) =?
18 a) Si 𝑓(𝑥) = (
2 −𝑥
𝑥− 3
)
2
; Hallar: 𝑓
′
( 2 ) =? 18 b) Si 𝑓(𝑥) = (
𝑥− 2
3 −𝑥
)
3
; Hallar: 𝑓
′
( 4 ) =?
Ejercicios Tipo T 03 Calculo de funciones derivadas Exponenciales (F2)
Formula F2.- {
𝑈
′
𝑑𝑦
𝑑𝑥
′
′
𝑈
𝑈
′
𝑑𝑦
𝑑𝑥
′
′
𝑈
Determinar la función derivada y su respectivo valor o aplicación en el punto indicado.
19 a) 𝑓
−𝑥
Hallar: 𝑓
′
=? 19 b) 𝑓
− 2 𝑥
Hallar: 𝑓
′
20 a) 𝑓(𝑥) = 2
2 𝑥−𝑥
2
Hallar: 𝑓
′
( 2 ) =? 20 b) 𝑓(𝑥) = 2
3 −𝑥
2
Hallar: 𝑓
′
21 a) 𝑓
( 1 − 2 𝑥)
2
Hallar: 𝑓
′
=? 21 b) 𝑓
( 3 − 2 𝑥)
2
Hallar: 𝑓
′
22 a) 𝑓
( 3 − 2 𝑥)
2
Hallar: 𝑓
′
=? 22 b) 𝑓
( 2 − 2 𝑥)
2
Hallar: 𝑓
′
23 a) 𝑓
3 − √
𝑥
Hallar: 𝑓
′
=? 23 b) 𝑓(𝑥) = 𝑒
2 − √
𝑥
3
Hallar: 𝑓
′
24 a) 𝑓
√ 4 +𝑥
2
3
Hallar: 𝑓
′
24 b) 𝑓
√𝑥
2
− 5
Hallar: 𝑓
′
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 16 )
Ejercicios Tipo T 06 Calculo de funciones derivadas de Cocientes 𝑈 𝑉
( F 5 )
Formula F5. - 𝒚 = 𝒇(𝒙) =
𝑼
𝑽
´
𝒅𝒚
𝒅𝒙
´
𝑼
´
.𝑽−𝑼.𝑽
´
𝑽
𝟐
Determinar la función derivada y su respectivo valor o aplicación en el punto indicado.
37 a) 𝑓
2 𝑥
2 −𝑥
; Hallar: 𝑓
′
=? 37 b) 𝑓
2 𝑥
4 − 5 𝑥
; Hallar: 𝑓
′
38 a) 𝑓
3
2 𝑥+ 3
; Hallar: 𝑓
′
1
2
) =? 38 b) 𝑓
3
2 + 2 𝑥
; Hallar: 𝑓
′
1
2
39 a) 𝑓
3 𝑥− 2
5 −𝑥
2
; Hallar: 𝑓
′
=? 39 b) 𝑓
3 𝑥+ 2
3 −𝑥
2
; Hallar: 𝑓
′
40 a) 𝑓
2 𝑥
2
− 3
𝑥
2
; Hallar: 𝑓
′
=? 40 b) 𝑓
8 −𝑥
2
𝑥
2
; Hallar: 𝑓
′
41 a) 𝑓(𝑥) =
√
7 − 3 𝑥
3
√
7 − 3 𝑥
; Hallar: 𝑓
′
41 b) 𝑓
√
3 − 2 𝑥
√ 3 − 2 𝑥
3
; Hallar: 𝑓
′
42 a) 𝑓
3 𝑥− 1
𝑥
2
− 1
3
; Hallar: 𝑓
′
=? 42 b) 𝑓
5 − 3 𝑥
9 𝑥
2
− 1
3
; Hallar: 𝑓
′
Ejercicios Tipo T 07 Calculo de funciones derivadas Exponencial ( F 6 )
Formula F6.- 𝒇
= [𝑼
(𝒙)
]
𝑽 (𝒙)
´
𝒗−𝟏
´
´
𝒗
Determinar la función derivada y su respectivo valor o aplicación en el punto indicado.
43 a) 𝑓
2
− 2 𝑥
; Hallar: 𝑓
′
( 1
) =? 43 b) 𝑓
2
− 2 𝑥
; Hallar: 𝑓
′
( − 1
) =?
44 a) 𝑓(𝑥) = √
4 − 𝑥
3
( 9 −𝑥
2
)
; Hallar: 𝑓
′
( 3 ) =? 44 b) 𝑓
( 𝑥
) = √ 5 − 𝑥
2
3
( 6 + 3 𝑥
)
; Hallar: 𝑓
′
( − 2
) =?
45 a) 𝑓
2
𝑥
3
2
√
1 −𝑥
; Hallar: 𝑓
′
( − 2
) =?
45 b) 𝑓
2
𝑙𝑛( 3 −𝑥)
; Hallar: 𝑓
′
( 2
) =?
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 17 )
Ejercicios Tipo T 08 Calculo de funciones derivadas Formulas Estándar ( _F_* )
Miscelánea : En esta serie de ejercicios el alumno deberá:
- Analizar el tipo de fórmula que aplicará. - Hallar la función derivada, luego hallar el valor de la primera derivada en el punto
indicado.
46 a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2 𝑥
2
2
𝑥
) ; 𝑓
′
(− 1 ) =? 46 b) 𝑓(𝑥) = (
2
𝑥
) (𝑥 − 2 𝑥
2
′
( 2 ) =?
47 a) 𝑓
( 𝑥
) = (
4
𝑥
− 𝑥
2
)
3
4
𝑥
; 𝑓
′
( − 1
) =? 47 b) 𝑓
( 𝑥
) = (
4
𝑥
) − (
2
𝑥
− 𝑥
2
)
3
; 𝑓
′
( − 1
) =?
48 a) 𝑓
( 𝑥
) = √
( 2 − 3 𝑥
)
2
3
; 𝑓
′
( − 2
) =? 48 b) 𝑓
( 𝑥
) = √
( 4 − 3 𝑥
)
2
3
; 𝑓
′
( 4
) =?
49 a) 𝑓
( 𝑥
) = (
2
𝑥
) 𝑙𝑛
( 3 − 2 𝑥
2
) ; 𝑓
′
( 1
) =? 49 b) 𝑓
( 𝑥
) = (
𝑥
2
2
) 𝑙𝑛
( 𝑥
2
− 8
) ; 𝑓
′
( 3
) =?
50 a) 𝑓
( 𝑥
) = (
2
√
𝑥
− 𝑥) (𝑥 +
2
√
𝑥
) ; 𝑓
′
( 2
) =? 50 b) 𝑓
( 𝑥
) = (√𝑥 −
3
𝑥
) (
3
𝑥
′
( 3
) =?
51 a) 𝑓(𝑥) =
3 +𝑥
√ 1 −𝑥
; Hallar: 𝑓
′
( 2 ) =?
51 b) 𝑓
( 𝑥
)
√ 5 −𝑥
2
5 −𝑥
2
; Hallar: 𝑓
′
( 2
) =?
52 a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛( 4 − 𝑥)( 2 𝑥 − 5 ) ; 𝑓
′
( 3 ) =? 52 b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛( 2 𝑥 − 3 )( 3 − 𝑥) ; 𝑓
′
( 2 ) =?
53 a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
√
𝑥
2
2 𝑥− 3
3
′
( 2 ) =? 53 b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 ( √
2 𝑥− 5
1 −𝑥
2
3
′
( 3 ) =?
54 a) 𝑓
( 𝑥
) = 𝑙𝑛
( 4 − 𝑥
)
( 2 𝑥− 5
)
′
( 3
) =? 54 b) 𝑓
( 𝑥
) = 𝑙𝑛
( 2 𝑥 − 3
)
( 3 −𝑥
)
; 𝑓
′
( 2
) =?
55 a) 𝑓(𝑥) = ( 5 − √
𝑥)
2
( √
𝑥 + 5 )
2
𝑓
′
( 4 ) =? 55 b) 𝑓(𝑥) = ( 2 − √
𝑥)
2
( √
𝑥 + 2 )
2
; 𝑓
′
( 1 ) =?
56 a) 𝑓(𝑥) = (𝑥
2
2
) 𝑓
′
( 2 ) =? 56 b) 𝑓(𝑥) = (𝑥
2
2
) ; 𝑓
′
( 1 ) =?
57 a) 𝑓(𝑥) = √ 5 − 𝑥
2
× √ 5 − 𝑥
2
3
; 𝑓
′
( 2 ) =? 57 b) 𝑓(𝑥) = √ 3 𝑥
2
− 2 × √ 3 𝑥
2
− 2
3
; 𝑓
′
( 1 ) =?
58 a) 𝑓
( 𝑥
) = ( 2 𝑥 −
6
𝑥
)
√ 2 𝑥− 3
′
( 2
) =?
58 b) 𝑓(𝑥) = (𝑥
2
− 2 𝑥)
√
3 − 2 𝑥
; 𝑓
′
( 1 ) =?
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 19 )
Ejercicios Tipo T 11 Calculo de funciones derivadas Especiales Compuestas
4.3.0.- Función Compuesta. 𝑺𝒊𝒊 𝒚 = 𝒇(𝒘) 𝒘 = 𝒇(𝒙);
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒘
×
𝒅𝒘
𝒅𝒙
Hallar la derivada de las funciones compuestas. Luego su valor en el punto indicado
11 a) Si 𝑦 = 𝑝 − 𝑝
2
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1
11 b) Si 𝑦 = 2 𝑝 − 𝑝
2
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1
12 a) Si 𝑦 =
3
4
𝑡
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=? , para: 𝑡 = 2
12 b) Si 𝑦 =
2
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=? , para: 𝑡 = − 2
13 a) Si 𝑦 = √
3
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑞
=? , para: 𝑞 = 2
13 b) Si 𝑦 =
2
3
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑝
=? , para: 1 = − 1
14 a) Si 𝑦 =
2
𝑝
𝑃 =
8
𝑞
3
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑞
=? , para: 𝑞 = − 2
14 b) Si 𝑦 =
2
𝑝
𝑃 =
1
𝑞
3
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑞
=? , para: 𝑞 = − 1
15 a) Si 𝑦 = √
− 4
𝑝
𝑃 = − (
4
𝑞
)
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑞
=? , para: 𝑞 = 2
15 b) Si 𝑦 = − (
4
𝑝
2
𝑃 = √
− 4
𝑞
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑞
=? , para: 𝑞 = − 1
Ejercicios Tipo T 12 Calculo de funciones derivadas Especiales Implícitas
4.4.0.- Función Implícita. Ejercicios : 𝑺𝒊𝒊: 𝑭 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟎;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝝏𝑭
𝝏𝒙
𝝏𝑭
𝝏𝒚
Hallar la derivada de la variable y (dependiente), respecto a la x independiente, luego su valor
en el punto indicado.
16 a) Si 𝑦
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1
16 b) Si 3 𝑦 − 2 𝑦
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2
17 a) Si 3 𝑥𝑦 − 2 𝑥𝑦(𝑥 − 2 𝑦) = 6
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = − 1 , 𝑦 = 1
17 b) Si 3 𝑥𝑦(𝑥 − 2 𝑦) = 5 − 2 𝑦 + 6 𝑥
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2
18 a) Si 𝑥
2
𝑦+𝑥
𝑦−𝑥
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2
18 b) Si (𝑥 − 2 𝑦)( 3 + 3 𝑥) = 3 𝑥𝑦
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 2 , 𝑦 = 1
19 a) Si 𝑦 − 4 𝑥 =
3
𝑦
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2
19 b) Si 𝑦 − 4 𝑥 = (𝑦 −
3
𝑦
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = − 1 , 𝑦 = 1
20 a) Si 2 𝑥𝑦 − 4 𝑥 = 𝑙𝑛( 2 𝑦 − 3 𝑥)
2
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2
20 b) Si 3 𝑥𝑦 − 4 = 𝑙𝑛
3
Hallar:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=? , para: 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1
CALCULO II MAT 150
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 20 )
UND. 0 2
ANALISIS DE FUNCIONES CON DOS VARIABLES
2.0.0 ANALISIS DE FUNCIONES CON DOS VARIABLES. -
El objetivo en este capítulo es emplear el concepto de la derivada como una herramienta más
para analizar funciones del tipo y f ( ) x y las respectivas aplicaciones a las ciencias
Económicas
2.1.0 Análisis de funciones algebraicas Y=f(x):
El análisis de una función es un proceso que implica saber determinar las siguientes
características básicas: El dominio e imagen, sus asíntotas, los lugares máximos y/o mínimos,
los puntos de inflexión y el trazado de la respectiva gráfica.
Conceptos y condiciones para determinar las características básicas:
- El dominio : Conjunto de valores X, donde la función, está definida - La imagen : Conjunto de valores Y, donde la función, está definida - Las asíntotas : Características o extremos internos o externos del dominio o imagen
denotadas por líneas verticales u horizontales.
- Los puntos máximos, y mínimos : Lugar de un intervalo en 𝑥 = 𝑎 donde:
La función toma un valor maximizo si y solo si 𝑓
′
(𝑥 = 𝑎) = 0 y además: 𝑓
′′
(𝑥 = 𝑎) < 0
La función toma un valor mínimo si y solo si 𝑓
′
( 𝑥 = 𝑎
) = 0 y además: 𝑓
′′
( 𝑥 = 𝑎
) > 0
- Los puntos de inflexión : Lugar de un intervalo 𝑥 = 𝑎 donde:
La función hace una transición de cóncava arriba hacia abajo, y o viceversa:
Y además: 𝑓
′′
(𝑥 = 𝑎) = 0
- Los intervalos de crecimiento , solo se analiza intuitivamente de la gráfica. Están definidos
entre dos lugares donde existe un máximo y un mínimo y viceversa.
Una función; 𝑦 = 𝑓(𝑥) crese en 𝑥 = 𝑎 , si y solo si: 𝑓
′
(𝑥 = 𝑎) > 0
Una función; 𝑦 = 𝑓
𝑥
decrece en 𝑥 = 𝑎 , si y solo si: 𝑓
′
( 𝑥 = 𝑎
) < 0
- Los intervalos de concavidad , solo se analiza intuitivamente de la gráfica. Están definidos
entre dos lugares donde existe puntos de inflexión
Una función; 𝑦 = 𝑓
𝑥
es cóncava hacia arriba en 𝑥 = 𝑎 , si y solo si: 𝑓
′′
(𝑥 = 𝑎) > 0
Una función; 𝑦 = 𝑓
𝑥
es cóncava hacia abajo en 𝑥 = 𝑎 , si y solo si: 𝑓
′′
(𝑥 = 𝑎) < 0
- La gráfica : El trazado de curvas implica llevar al plano de coordenadas (x, y) la respectiva
gráfica, considerando para el efecto los puntos característicos señalados anteriormente.
