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La Matriz de Leontief
EL PROBLEMA ECON ´OMICO DE LAS RELACIONES
INTERINDUSTRIALES
E l an´alisis de cuadros de insumo-producto, fue desarrollado por W.W. Leontief en
1936, como el instrumento de interpretaci´on de las interdependencias de los diversos sec- tores de la econom´ıa. Es decir, en el an´alisis de insumo-producto consideramos cualquier sistema econ´omico como un complejo de industrias mutuamente interrelacionadas. Se considera que toda industria recibe materias primas (insumos) de las demas industrias del sistema y que, a su vez, proporciona su producci´on a las dem´as industrias en calidad de materia prima. Fundamentalmente se trata de un an´alisis general del equilibrio est´atico de las condiciones tecnol´ogicas de la producc´on total de una econom´ıa, durante el periodo de tiempo en cuesti´on.
La Matriz de Transacciones Interindustriales
A grandes rasgos, la econom´ıa en su conjunto se divide en el sector productor y en
el sector consumidor; el sector productor, a su vez se divide en un gran n´umero de indus- trias en el cual se supone que cada industria produce un producto homog´eneo.
El punto de partida para la elaboraci´on de un an´alisis de insumo-producto es la formu- laci´on de una tabla que contiene partidas que demuestran, ya sea cuantitativamente o en t´erminos de valor, de que manera se distribuye la producci´on total de una industria a todas las dem´as industrias en forma de producci´on intermedia (es decir, como materia prima) y a los usuarios finales no productores.
Veamos un ejemplo:
Compras Demanda Intermedia Demanda o Producci´on Ventas Agricultura Industria Servicio uso Final Bruta Agricultura 600 400 1400 600 3000 Industria 1500 800 700 1000 4000 Servicos 900 2800 700 700 2600
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Esta es una tabla de transacciones intersectoriales, que muestran como se interrelacio- nan todas las industrias, en el sentido de que cada una adquiere productos fabricados por las dem´as a fin de llevar a cabo su propio proceso.
Los sectores de esta tabla son precisamente Agricultura, Industria y Servicios. Estos nombres reflejan un concepto amplio, en el sentido de que dentro del sector servicios se agrupan todas las empresas que prestan alg´un tipo de servicio, tales como: bancos, transporte de carga, transporte de pasajeros, comercios, servicios profesionales diversos, servicios p´ublicos diversos, etc. Dentro del sector industrial se agrupan todas las em- presas que producen bienes, tales como: industria textil, farmac´eutica, petroqu´ımica, de energ´eticos, de alimentos, de bebidas, de plastico, de papel y derivados, etc.. En el sector agricultura se agrupan todas las empresas agr´ıcolas y ganaderas de diversos tipos, tales como: producci´on de hortalizas, de cereales, de forrajes, de ganado lechero, de ganado lanar, av´ıcola, porcino, etc.,o seg´un otra clasificaci´on m´as conveniente.
En la primera columna de esta tabla la cifra 600 representa las compras que las em- presas del sector agricultura han efectuado a otras empresas del mismo sector, tales como semillas mejoradas, abonos, ganado para engorde, forrajes, etc. La cifra 1500 represen- ta las compras que las empresas del sector agricultura han efectuado al sector industrial, tales como: tuberias, herramientas, fertilizantes qu´ımicos, insecticidas, tractores, etc. La cifra 900 representa las compras que las empresas del sector agricultura han efectuadoal sector servicios, tales como: servicios de transporte de carga, servicio de sanidad e inmu- nizaci´on, servicios de asesor´ıa legal, servicios de almacenajes en silos y bodegas, servicios de comercializaci´on, etc.
An´alogamente, las cifras de la segunda columna representan las compras que las empresas del sector industrial han efectuado al sector agricultura (400), a otras empresas del mismo sector industrial (800),y al sector de servicios (2800).
La tercera columna se interpreta de la misma manera. Se dice que estas tres columnas representan la demanda intermedia o la utilizaci´on intermedia, ya que estas cifras corre- sponden a los insumos que los sectores adquieren para fabricar otros productos, es decir que corresponden a bienes que no llegan al consumidor final, sino que se utilizan dentro del proceso de producci´on.
La cuarta columna de esta tabla representa las compras que los consumidores finales efect´uan a los sectores de producci´on, esto es, los bienes que son adquiridos por las fa- milias, por las instituciones estatales y federales y por otros paises para serutilizados en consumo (compra de alimentos, de ropa, de servicios recreativos, de viajes) o en inversi´on
cereales + y metros de tubos de acero + z horas de trabajo de mano de obra..., etc.
Por ello es que la dimensi´on en que se expresa los insumos no debe ser f´ısica sino monetaria. Las cifras de una tabla de transacciones interindustriales, deben estar expre- sadas en valores monetarios (d´olares, pesos, etc.) para que tengan sentido sumarlas tanto horizontalmente (ventas) como verticalmente (compras).
Esto significa que adem´as de conocer las cantidades f´ısicas intercambiadas entre los sectores, necesitamos disponer de los precios unitarios correspondientes a cada uno de esos bienes, a fin de expresar cada transacci´on en su valor monetario multiplicando el precio por la cantidad respectiva.
La Planeaci´on de Requerimientos de Producci´on
S upongamos que una oficina de planeaci´on ha determinado el incremento en la de-
manda final que previsiblemente ocurrir´a en el pr´oximo a˜no de actividad y se pregunta ¿ cu´al debe ser el valor de la producci´on bruta de cada sector que se requerir´a para que se satisfagan esas necesidades?
Supongamos que por una raz´on cualquiera la demanda final del sector agricultura se incrementa en 100 unidades. ¿ Qu´e efecto producir´a este incremento de la demanda final sobre el proceso de producci´on?
- Ocurrir´a un incremento de la demanda final.
- El sector agricultura se vera obligado a incrementar sus compras de productos in- termedios, tanto del mismo sector agricultura (semillas, forrajes, etc.) como del sec- tor industrial ( maquinaria, abonos qu´ımicos, etc.), y servicios (transporte de carga, sanidad, etc.) esto es lo que indica la columna 1.
- Una cadena de efectos indirectos que se transmiten a las dem´as columnas de in- sumos.
En otras palabras, la interdependencia existente entre los sectores de producci´on da origen a una cadena de reacciones, que cada vez puede ir comprometiendo nuevos sec- tores, si bien la magnitud de estos efectos va siendo progresivamente m´as d´ebil. Esa es
la esencia del problema: ¿c´omo cuantificar no s´olo los efectos directos sino tambi´en to- dos los efectos indirectos que se derivan del incremento de la demanda final de un sector determinado? O, plante´andolo en otra forma, ¿en que medida tendr´ıa que aumentar la producci´on de todos y cada uno de los sectores de la econom´ıa para que pueda tener lugar una expansi´on de cierta magnitud de un sector determinado?
Resumiendo, el modelo de insumo-producto ilustra la forma en que tiene que modifi- carse todo el flujo de transacciones interindustriales, y por lo tanto, tambi´en los niveles sectoriales de producci´on bruta, para poder hacer frente a un cambio dado del nivel o de composici´on de la demanda final, y asimismo proporcionar los instrumentos de c´alculo que permiten cuantificar esas modificaciones. En este aspecto el modelo tiene necesari- amente que ajustarse a ciertos supuestos b´asicos. El mas importante de ellos es que una determinada producci´on requiere proporciones espec´ıficas de insumos; en otras palabras, se supone que no ocurrir´an cambios que afecten la estructura de producci´on de los sec- tores, tales como la sustituci´on de ciertos insumos por otros diferentes, o cambios en la tecnolog´ıa de producci´on (m´as mecanizaci´on, otros productos, etc.).
La Matriz de Coeficientes T´ecnicos de Insumo-Producto
V amos a introducir aqu´ı la notaci´on necesaria para simbolizar las relaciones entre
producci´on, demanda final y demanda intermedia, que resultan de la tabla que tenemos como ejemplo.
Con Xi , se simbolizar´a la producci´on bruta del sector i, esto es:
X 1
X 2
X 3
=
Con yi se representar´a la demanda final correspondiente al sector i, esto es:
y 1 y 2 y 3
=
Con xij se representar´a las ventas que el sector i ha efectuado al sector j, esto es:
x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33
=
para obtener los coeficientes t´ecnicos ai 1 se divide cada cifra xi 1 de la primera colum- na entre el total de la suma de la primera fila (producci´on bruta del sector 1).
para obtener los coeficientes t´ecnicos de ai 2 se divide cada cifra xi 2 de la segunda columna entre la suma de la segunda fila (producci´on bruta del sector 2).
para obtener los coeficientes ai 3 se divide cada cifra xi 3 de la tercera columna entre la suma de la tercera fila (producci´on bruta del sector 3).
De esta forma se tiene la matriz de coeficientes t´ecnicos aij , siguiente:
A =
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
=
Regresando al sistema de ecuaciones (1)
Xi =
∑^3 j=
xij + yi
con i=1, 2, 3.
Que se puede escribir matricialmente as´ı;
X 1
X 2
X 3
=
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
·
X 1
X 2
X 3
+
y 1 y 2 y 3
o en forma simb´olica,
X = A · X + y
La Matriz de Leontief y su Inversa
H emos supuesto que los coeficientes^ aij^ no varian durante un cierto per´ıodo de
tiempo. Ello nos permite utilizar el sistema de ecuaciones,
X = AX + y para determinar el nivel de producci´on bruta que se requiere en cada sector para satis- facer la demanda final prevista para el per´ıodo siguiente.
En este ejemplo, supongamos que se trata de satisfacer un aumento en la demanda final para el pr´oximo a˜no de actividad de 400 unidades en el sector agricultura, 200 unidades en el sector industrial y 200 unidades en el sector servicios, y se pregunta: ¿ cu´ales deben ser los valores X 1 , X 2 y X 3 que permitir´an satisfacer esos incrementos?
Este problema se resuelve expresando dicho sistema de ecuaciones como una relaci´on funcional entre producci´on bruta y demanda final, el vector X es la variable dependiente y el vector y es la variable independiente. Despejando el vector X de la ecuaci´on anterior se obtiene,
X = (I − A)−^1 · y La matriz (I −A) se denomina matriz de Leontief y la matriz (I −A)−^1 se llama matriz inversa de Leontief , o matriz de coeficientes de requerimientos directos e indirectos por unidad de demanda final.
En el ejemplo que estamos estudiando, se tiene que;
I − A
−
=
y la inversa;
(I − A)−^1 =
Tomando en cuenta los incrementos previstos en la demanda final, se tiene que satis- facer para el a˜no pr´oximo los niveles
∆X =
Es importante notar la falta de proporcionalidad entre el incremento de demanda final ∆y y el incremento de producci´on bruta ∆X correspondiente a ese mismo sector. Esto se debe a la complejidad de las interrelaciones entre sectores, que determinan efectos indi- rectos relativamente importantes.
Veamos otro ejemplo;
Insumos Demanda Xi Agricultura Industria Final Agricultura 3.5 7.5 59.0 70. Industria 10.5 3.0 16.5 30. Valor Factores 56.0 19. Xj 70.0 30.
La matriz de coeficientes t´ecnicos de producci´on es;
0 ,^05 0 ,^25 0 , 15 0 , 10
encontremos I-A,
I − A =
1 0 0 1
(^) −
0 ,^05 0 ,^25 0 , 15 0 , 10
(^) =
0 ,^95 −^0 ,^25 − 0 , 15 0 , 90
de aqu´ı podemos calcular (I − A)−^1
(I − A)−^1
1 ,^101 0 ,^306 0 , 183 1 , 162
Ahora supongamos que queremos un incremento en la demanda final de 11 millones de unidades en el sector agricultura y 0 unidades en el sector industria, luego;
y =
59 16 , 5
(^) +
11 0
(^) =
70 16 , 5
si sustituimos en la ecuaci´on:
X = (I − A)−^1 · y
X =
1 ,^101 0 ,^306 0 , 183 1 , 162
(^) ·
70 16 , 5
(^) =
82 ,^12 31 , 98
lo que significa que para satisfacer la demanda final prevista de 70 unidades del sector agricultura y 16,5 unidades del sector industria, se debe generar una producci´on bruta de 82,12 unidades del sector agricultura y 31,98 unidades en el sector industrial.
Comparando este vector X =
82 ,^12 31 , 98
, con el anterior Xa =
70 30
,
se obtienen las cifras del aumento de producci´on de cada sector necesario para satis- facer el incremento previsto en la demanda final.
∆X = X − Xa =
82 ,^12 31 , 98
(^) −
70 30
(^) =
12 ,^12 1 , 98
Al ser comparados con las cifras iniciales estos resultados revelan que un aumento de 11 unidades en la demanda de bienes agr´ıcolas implica:
un aumento de 12,12 unidades de producci´on total agr´ıcola,
un aumento de 1,98 unidades de la producci´on total industrial.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea la tabla de relaciones intersectoriales siguiente:
SECTOR COMPRADOR Uso Uso Sector Productor Agricultura Industria Servicios Final Total Agricultura 11 19 1 10 41 Industria 5 89 40 106 240 Servicios 5 37 37 106 185 Insumos Primarios 20 95 107 21 243 Producci´on Total 41 240 185 243 659
SOLUCION A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Respuesta a la pregunta 1
1.- De la matriz insumo-producto observamos:
1.1 El sector agr´ıcola compra a su mismo sector 11 mil millones de d´olares, al sector industrial le compro 5 mil millones de d´olares, y al sector servicio le compro 5 mil mil- lones.
1.2 El sector servicio le compro a la agricultura 1 mil millones de d´olares, al sector industrial le compro insumos por un valor de 40 mil millones y se compro a si mismo 37 mil millones de d´olares en insumos.
1.3 Por otra parte el sector industrial vendi´o al sector agricultura 5 mil millones de d´olares, lo cual concuerda con lo expresado en el punto 1.1 , y tambi´en le vendi´o a su mismo sector 89 mil millones, finalmente le vendi´o al sector servicios 40 mil millones de d´olares. Parte de la producci´on del sector industrial fue directamente al consumidor por un valor de 106 mil millones de d´olares.
1.4 La producci´on total del sector industrial del a˜no que se trata fue de 240 mil mil- lones de d´olares.
Y as´ı con los otros sectores.
2.-
A =
3.- yn =
, y como X = (I − A)−^1 · y
Matriz de coeficientes t´ecnicos de producci´on de la tabla.
I − A =
−
y,
(I − A)−^1 =
Entonces,
X =
·
=
comparando este nuevo vector
Xn =
, con el anterior Xa =
∆X = Xn − Xa =
nos da el resultado de la producci´on
que debe darse si aumenta la demanda ∆y =
.
Como comentario final tenemos: un aumento de 15 mil millones en agricultura, 95 en la industria y 39 mil millones en servicios implica un aumento de 41,8 mil millones en el sector agr´ıcola; 190,7 en el sector industrial y 91,7 en el sector servicios.
4.- En resumen;
Xn =
·
=
esto nos da la nueva producci´on debido al aumento en la demanda final y se sigue el mismo procedimiento.
Respuesta a la pregunta 2
2.1- Matriz de coeficientes t´ecnicos de producci´on
Por ´ultimo, resumiremos algunas de los inconvenientes:
dificultades practicas que origina su construcci´on;
convenciones necesarias para ubicar algunos sectores;
dificultad de establecer coeficientes t´ecnicos por la raz´on anterior;
los cuadros no proporcionan una representaci´on precisa de los hechos, pues resultan de m´ultiples simplificaciones m´as o menos burdas;
se asume que los coeficientes t´ecnicos son constante, y no se considera la posibilidad de cambios que afecten dichos coeficientes.
Bibliograf´ıa
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