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EPSEM-UPC (versi´o 15.1)
NOMBRES COMPLEXOS
Llistat d’exercicis resolts
- Feu les seg¨uents operacions
(a) (1 + 5j)(7 − 4 j)
(b) (6 − 5 j)(6 + 5j)
(c) (2 − 3 j)^2 + (5 + j)^2
(d) (1 − j)(1 + 2j)(1 − 3 j)
(e)
5 + 3j
1 − 2 j
(f) (1 − 3 j) 3
(g)
1 − 2 j
1 + 4j
Soluci´o:
(a) (1 + 5j)(7 − 4 j) = 7 − 4 j + 35j − 20 j^2 = 27 + 31j
(b) (6 − 5 j)(6 + 5j) = 36 − 25 j^2 = 36 + 25 = 61
(c) (2 − 3 j) 2
- (5 + j) 2 = 4 − 12 j + 9j 2
- 25 + 10j + j 2 = 19 − 2 j
(d) (1−j)(1+2j)(1− 3 j) = (1+2j −j − 2 j^2 )(1− 3 j) = (3+j)(1− 3 j) = 3− 9 j +j − 3 j^2 = 6− 8 j
(e)
5 + 3j
1 − 2 j
(5 + 3j)(1 + 2j)
(1 − 2 j)(1 + 2j)
5 + 10j + 3j + 6j^2
1 − 4 j^2
j
(f) (1 − 3 j)^3 + (1 − j)(1 − 2 j) = (1 − 9 j + 27j^2 − 27 j^3 ) + (1 − 2 j − j + 2j^2 ) =
= (−26 + 18j) + (− 1 − 3 j) = −27 + 15j
(g)
1 − 2 j
1 + 4j
1 + 2j
5
5(1 − 4 j)
17
17 + 34j + 25 − 100 j
85
j
- Sigui z =
1 + kj
2 + 3j
, k ∈ R. Trobeu per quins valors de k es compleix cadascuna de les condicions
seg¨uents.
(a) z =
j.
(b) 13z = − 1 − j.
(c) z ´es un nombre imaginari pur.
(d) z ´es un nombre real.
Soluci´o:
Calculem z =
1 + kj
2 + 3j
2 + 3k
13
−3 + 2k
13
j.
(a) Imposem z =
2 + 3k
13
−3 + 2k
13
j =
j,
i obtenim condicions sobre k:
2 + 3k = 8 −3 + 2k = 1
⇐⇒ k = 2.
(b) Imposem 13z = (2 + 3k) + (−3 + 2k)j = − 1 − j,
i obtenim les condicions sobre k:
2 + 3k = − 1 −3 + 2k = − 1
que s´on dues condicions incompatibles.
(c) z ´es imaginari pur si 2 + 3k = 0, que equival a k = −^23.
(d) z ´es real si −3 + 2k = 0, que equival a k = 3 2
- Expresseu en forma trigonom`etrica i exponencial els seg¨uents nombres complexos:
(a) − 1 (b) 1 + j (c) 1 −
3 j (d)
3 + j
(e) 6 j (f) − 1 − j (g) −1 + j (h) 4 − 4 j
Soluci´o:
(a) z = − 1
Calculem el m`odul |z| = 1 i l’argument ϕ = π. Per tant, z = −1 = cos π + j sin π = e jπ .
(b) z = 1 + j
|z| =
2 , (1r quad)
ϕ = arctan 1 =
π
4
z = 1 + j =
cos π 4 +^ j^ sin^
π 4
2 e j π 4
(c) z = 1 −
3 j
|z| = 2, (4rt quad)
ϕ = arctan(−
π
3
z = 1 −
3 j = 2
cos
π 3
π 3
= 2 e −j π 3
(d) z =
3 + j
|z| = 2, (1r quad)
ϕ = arctan
π
6
z =
3 + j = 2
cos π 6 + j sin π 6
= 2 ej^
π 6
(e) z = 6j
|z| = 6, (1r quad)
ϕ =
π
2
z = 6j = 6
cos π 2 +^ j^ sin^
π 2
= 6 ej^
π 2
Calculem
w
z
j √ 3 − j
j(
3 + j)
(
3 − j)(
3 + j)
3 j
4
1 4 (−1 +^
3 j).
Tenim
w
z
|w|
|z|
i ϕ = arctan(−
2 π
3
π
2
π
6
(2n quadrant)
O b´e directament:
w
z
ejπ/^2
2 e−jπ/^6
= 12 ej^2 π/^3.
- Considerem z = 4 e jπ/ 3 i w = 2 e −jπ/ 2 . Calculeu i dibuixeu z − 1 , w − 1 , z · w,
z
w
i
w
z
Soluci´o:
Directament obtenim: z−^1 = 14 e−jπ/^3 , w−^1 = 12 ejπ/^2 , z · w = 8 e−jπ/^6 ,
z
w
= 2 ej^5 π/^6 i
w
z
= 12 e−j^5 π/^6.
- Feu les seg¨uents operacions:
(a)
(1 − j) 3 (
3 − j)
1 −
3 j
(b)
cos
π
4
π
4
(c)
j
(d)
(1 − j) 4 (1 + j 7 )
(1 +
3 j)(−
3 − j)
Soluci´o:
(a)
(1 − j)^3 (
3 − j)
1 −
3 j
2 e−j^
π 4
· 2 e−j^
π 6
2 e−j^
π 3
2 e−j^
7 π 12
(b)
cos
π
4
π
4
ej^
π 4
= ej^5 π^ = − 1
(c)
j
3 e j π 3
= 27ejπ^ = − 27
(d)
(1 − j)^4 (1 + j^7 )
(1 +
3 j)(−
3 − j)
2 e−j^
π 4
(1 − j)
2 ej^
π (^3) · 2 e−j^
5 π 6
4 e−jπ^ ·
2 e −j π 4
2 ej^
π (^3) · 2 e−j^
5 π 6
2 e−j^
3 π (^4) = − 1 − j
- Calculeu i dibuixeu les pot`encies:
(a) z, z^2 , z^3 i z^4 , per z = 2j. (b) w, w^2 , w^3 , w^4 , w^5 , w^6 i w^7 , per w =
2 ejπ/^4.
Soluci´o:
(a) z = 2j, z 2 = −4, z 3 = − 8 j, i z 4 = 16.
(b) w =
2 ejπ/^4 , w^2 = 2 ejπ/^2 , w^3 = 2
2 ej^3 π/^4 , w^4 = 4 ejπ, w^5 = 4
2 ej^5 π/^4 , w^6 = 8 ej^3 π/^2 , w 7 = 8
2 e j 7 π/ 4 .
- Calculeu totes les arrels complexes que es demanen:
(a) 4
(b)
3 j
(c)
(d)
1 − j
(e)
4
3 + j
Soluci´o:
(a) 4
1 = rejα^ ⇔ 1 = (rejα)^4
Expressem z = 1 en forma exponencial: |z| = 1 i ϕ = 0 ⇒ 1 = e 0 j
Hem de resoldre: 1 = r^4 · ej^4 α, ´es a dir,
1 · e 0 j = r 4 · e j 4 α ⇒
r = 1
4 α = 2kπ, k = 0 ÷ 3 ⇒ α =
kπ
2
, k = 0 ÷ 3
Tenim doncs:
z 1 = e 0 j = 1, z 2 = e j π 2 = j, z 3 = e jπ = − 1 , z 4 = e j 32 π = e −j π 2 = −j.
(b)
3 j = rejα^ ⇔ 1 +
3 j = r^2 ej^2 α
Expressem z = 1 +
3 j en forma exponencial: |z| = 2 i ϕ =
π
3
3 j = 2e j π 3 .
Hem de resoldre: 2 ej^
π (^3) = r^2 e^2 jα^ ⇒
r =
α =
π
6
− kπ, k = 0 ÷ 1
Tenim doncs: z 1 =
2 e j π 6 =
j, z 2 =
2 e −j 56 π = −
j
(c)
−1 = rejα^ ⇔ −1 = r^6 · ej^6 α
Expressem z = −1 en forma exponencial: |z| = 1 i ϕ = π ⇒ −1 = 1 · ejπ
Hem de resoldre: 1 ejπ^ = r^6 ej^6 α^ ⇒
r = 1
α =
π + 2kπ
6
, k = 0 ÷ 5
Tenim doncs:
z 1 = ej^
π (^6) =
j
z 2 = ej^
π (^2) = j
z 3 = e j 56 π = −
j
z 4 = e j 76 π = −
j = e −j 56 π
z 5 = e j 32 π = −j = e −j π 2
z 6 = e j 116 π =
j = e −j π 6
(d) En aquest cas resoldre z^2 =
2 ejπ/^4 equival a trobar les dues arrels quadrades del nombre complex
2 e jπ/ 4 , que ja el tenim en forma exponencial. Aquestes s´on: z 1 =
2 ejπ/^8 i z 2 =
2 ej^9 π/^8.
- Resoleu les equacions seg¨uents:
(a) x^2 + 4x + 29 = 0 (c) x^4 + x^2 + 1 = 0 (b) x^4 − 1 = 0 (d) x^6 + 2 = 0
Soluci´o:
(a) x 2
- 4x + 29 = 0. Per tant, x =
− 4 ± 10 j
2
= − 2 ± 5 j.
(b) x^4 − 1 = 0. Es equivalent a resoldre´ x =
x 1 = 1, x 2 = − 1 , x 3 = j, x 4 = −j.
(c) x 6
Aix´ı:
rejα
= 2ejπ^ =⇒
r = 6
6 α = π + 2kπ ⇒ α =
π
6
kπ
3
, k = 0 ÷ 5
x 1 =
2 ej^
π (^6) = 6
j
x 4 =
2 e−j^
5 π (^6) = 6
j
x 2 = 6
2 ej^
π (^2) = 6
2 j x 5 = 6
2 e−j^
π (^2) = − 6
2 j
x 3 =
2 e j 56 π =
j
x 6 =
2 e −j π 6 =
j
(d) x^4 + x^2 + 1 = 0
Substitu¨ım x 2 = t i obtenim una equaci´o de 2n grau: t 2
Per tant: t =
j
i trobem x a partir de x 2 = t:
j = 1 · ej^
2 π (^3) =⇒
x 1 = ej^
π (^3) =
j
x 2 = e−j^
2 π (^3) =
j
j = 1 · e−j^
2 π (^3) =⇒
x 3 = e −j π 3 =
j
x 4 = ej^
2 π (^3) =
j
- Estudieu les solucions de l’equaci´o z 4
- 3z 2 + 2 = 0, seguint els apartats seg¨uents.
(a) Observeu que l’equaci´o z^4 + 3z^2 + 2 = 0 no t´e arrels a R.
(b) Busqueu les arrels de l’equaci´o x^2 + 3x + 2 = 0.
(c) Trobeu les arrels a C de l’equaci´o z^4 + 3z^2 + 2 = 0. (Indicaci´o: considereu x = z^2 i utilitzeu l’apartat anterior.)
(d) Per a les arrels trobades comproveu que es compleix l’equaci´o calculant z 4 i 3z 2 .
Soluci´o:
(a) Observem que als reals z 4
- 3z 2 ≥ 0, per tant z 4
- 3z 2
- 2 ≥ 2 i no pot tenir soluci´o igualat a 0.
(b) L’equaci´o x 2
- 3x + 2 = 0 t´e les solucions x = −2 i x = −1, per tant tenim la factoritzaci´o x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1).
(c) Considerem z 2 = x. Aleshores z 4
- 3z 2
- 2 = 0 es redueix a x 2
- 3x + 2 = 0 que per l’apartat anterior t´e solucions x = −2 i x = −1.
Aix`o ens d´ona una factoritzaci´o del polinomi anterior amb coeficients reals, encara que no tingui arrels reals: z^4 + 3z^2 + 2 = (z^2 + 2)(z^2 + 1).
Ara z^2 = x = −2 = 2 ejπ^ d´ona com a solucions z 1 =
2 ejπ/^2 i z 2 =
2 ej^3 π/^2.
L’altra possibilitat, z^2 = x = −1 = ejπ, afegeix com a solucions z 3 = ejπ/^2 i z 4 = ej^3 π/^2.
(d) Anem a comprovar que z 4 i + 3z
2 i + 2 = 0 per cadascun dels valors de^ zi,^ i^ = 1,^2 ,^3 ,^ 4, trobats a l’apartat anterior.
Observem que per a les dues arrels z 1 =
2 ejπ/^2 i z 2 =
2 ej^3 π/^2 obtenim el mateix:
z 2 1 =^ z
2 2 = 2^ e
jπ = − 2 , per tant 3z 2 1 = 3z
2 2 =^ −6 i^ z
4 1 =^ z
4 2 = 4,^4 −^ 6 + 2 = 0.
Per a les arrels z 3 = e jπ/ 2 i z 4 = e j 3 π/ 2 els c`alculs tamb´e coincideixen:
z 2 3 =^ z
2 4 =^ e
jπ = − 1 , per tant 3z 2 3 = 3z
2 4 =^ −3 i^ z
4 3 =^ z
4 4 = 1,^1 −^ 3 + 2 = 0.
