ÁLGEBRA LINEAL
TEORÍA y PRÁCTICA
Elizabeth Vera de Payer Magdalena Dimitroff
Versión con ejemplos y ejercicios renovados
2023
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
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material algebra lineal profesor, Apuntes de Álgebra Lineal
materia algebra lineal año 2025 profesor ... vectores matrices ,etc.
Tipo: Apuntes
2024/2025
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ÁLGEBRA LINEAL
TEORÍA y PRÁCTICA
Elizabeth Vera de Payer Magdalena Dimitroff
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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
Un especial agradecimiento al Ing. Alfredo Payer quien prestó
conformidad para poner este material bajo licencia Creative
Commons, convencido de que esa hubiera sido la voluntad de la
Ing. Elizabeth Vera de Payer.
Esta obra se distribuye bajo Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 2. Argentina - Atribución-CompartirIgual 2.5 Argentina (CC BY-SA 2.5 AR)
- Espacios Vectoriales
- 1.1 Espacios Vectoriales
- 1.2 Subespacios
- 1.3 Intersección y Suma de Subespacios
- 1.4 Combinaciones Lineales
- 1.5 Subespacio Generado y Generadores
- 1.6 Dependencia e Independencia Lineal de Vectores
- 1.7 Generadores y Dependencia Lineal.............................................................................
- 1.8 Bases y Dimensión de un Espacio Vectorial - 1.8.1 Existencia de Bases - 1.8.2 Bases y Dimensión del Subespacio de Soluciones del Sistema A.X = - 1.8.3 Base y Dimensión del Subespacio Suma - 1.8.3.1 Suma Directa..................................................................................................................... - 1.8.3.2 Subespacios Complementarios
- 1.9 Variedades Lineales
- 1.9.1 Ecuaciones de una Variedad Lineal
- 1.9.2 Paralelismo e Intersección de Variedades Lineales
- 1.10 Coordenadas
- 1.10.1 Coordenadas de un vector en una base.................................................................
- 1.10.2 Cambio de Base
- 1.11 Ejercicios del Capítulo..................................................................................................
- 1.12 Guía de Estudio
- Espacios con Producto Interno
- 2.1 Producto Interno
- 2.2 Definiciones Métricas
- 2.3 Consecuencias de la Definición
- Pitágoras Generalizado. 2.4 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, Desigualdad del Triángulo y Teorema de
- 2.5 Conjuntos Ortogonales - 2.5.1 Propiedades de los Conjuntos Ortogonales.
- 2.6 Bases Ortonormales - 2.6.1 El Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt - 2.6.2 Descomposición QR
- 2.7 Complemento Ortogonal
- 2.8 Distancia
- 2.9 Distancia de un punto a una Variedad Lineal
- 2.10 Algunas Aplicaciones. Mínimos Cuadrados
- 2.11 Ejercicios del Capítulo................................................................................................
- Vectores y Valores Propios
- 3.1 La Función Determinante
- 3.1.1. Existencia y Unicidad................................................................................................
- 3.1.2. Otras Propiedades de la Función Determinante
- 3.1.3. Cálculo de Determinante
- 3.1.3.1 Regla de Sarrus.
- 3.1.3.2 Cofactores
- 3.1.3.3 Desarrollo por Cofactores
- 3.1.3.4 Cálculo de Determinante por Triangulación
- 3.2 Aplicaciones Algebraicas de la Función Determinante
- 3.2.1. Criterio para la Inversibilidad de una Matriz
- 3.2.2. Inversa de una Matriz
- 3.2.3. Regla de Cramer
- 3.3 Valores y Vectores Propios de una Matriz
- 3.3.1. Transformaciones en n
- 3.3.2. Valores y Vectores Propios
- 3.3.3. Determinación de los Valores Propios de la Matriz A
- 3.3.4. Determinación de los Vectores Propios de la Matriz A
- 3.4 Diagonalización de una Matriz
- 3.5 Diagonalización Ortogonal de una Matriz
- matriz.. 3.5.1. Procedimiento a tener en cuenta en la diagonalización ortogonal de una
- 3.5.2. Algunas Aplicaciones
- Ecuaciones en Diferencias.
- Filtrado Lineal.
- Un Sistema Depredador – Presa...............................................................................
- 3.6 Ejercicios del Capítulo................................................................................................
- 3.7 Guía de Estudio
- Aplicaciones Lineales
- 4.1. Aplicaciones Lineales - Propiedades de las Aplicaciones Lineales
- 4.2. Imagen y Núcleo de una Aplicación Lineal
- 4.3 Aplicaciones Lineales Inyectivas - 4.3.2. Aplicaciones Lineales e Independencia Lineal
- 4.4. Aplicaciones Lineales entre Espacios Vectoriales de Igual Dimensión - 4.4.1. Aplicaciones Lineales Inversibles - 4.4.2 Espacios Vectoriales Isomorfos................................................................................
- 4.5. Operaciones con Aplicaciones Lineales - 4.5.1 Propiedades de la Composición de Aplicaciones Lineales
- 4.6. El Vectorial L V W ( , ) - 4.6.1. Operadores Lineales
- 4.7. Aplicaciones Lineales y Matrices - 4.7.1 Aplicaciones Lineales entre Vectoriales de Matrices Columna - 4.7.2 Matriz de una Aplicación Lineal - 4.7.3 Cambio de Base - 4.7.4 Aplicación Lineal definida por una Matriz............................................................... - 4.7.5 Isomorfismo entre L V W ( , )y K m n - 4.7.6 Matriz de la Compuesta de Aplicaciones Lineales - 4.7.7 Matriz del Operador Identidad - 4.7.8 Isomorfismo entre las Estructuras de Álgebra de L V ( )y K n n
- 4.8. Valores y Vectores Propios de un Operador Lineal................................................... - 4.8.1 Caracterización de los Valores Propios de un Operador Lineal - 4.8.2 Operadores Diagonalizables
- 4.9. Algunas Aplicaciones - 4.9.1. Ecuaciones Diferenciales
- 4.10. Ejercicios del Capítulo
- 4.11. Guía de Estudio
- Formas Bilineales y Cuadráticas
- 5.1. Formas Lineales.............................................................................................................
- 5.2. Formas Bilineales - 5.2.1 Formas Bilineales sobre n - 5.2.2. Formas Bilineales sobre un Espacio de Dimensión Finita - 5.2.3. Matriz de una Forma Bilineal - 5.2.4 Cambio de Base
- 5.3. Formas Bilineales Simétricas
- 5.4. Formas Cuadráticas - 5.4.1 Matriz de la Forma Cuadrática
- 5.5. Ecuaciones Cuadráticas - 5.5.1 Secciones Cónicas en - 5.5.1.1. Circunferencia - 5.5.1.2 Elipse - 5.5.1.3 Hipérbola - 5.5.1.4. Parábola - Resumen Secciones Cónicas (estándar y/o trasladadas)
- 5.6. Identificación de Cuádricas
- 5.7. Ejercicios del Capítulo
- 5.8. Guía de Estudio
- Bibliografía
- Anexo: Introducción a MATLAB
- 1 Nociones Básicas........................................................................................................
- 2 Operaciones con matrices...........................................................................................
- 3 Vectores de n
- 4 Comandos importantes
- 5 Gráfico de funciones
- 6 Vectores y Valores propios
- 7 Transformaciones en
- 8 Graficación de Cónicas y Cuádricas
- 9 Ejercicios para realizar utilizando MATLAB
Algebra Lineal
Para la multiplicación : M 1 : (^) k (u + v) = k u + k v Distributividad respecto a la suma de vectores M 2 : (^) ( k + k ')u = k u + k 'u Distributividad respecto a la suma de escalares M 3 : (^) ( k '. )u k = k '( k u) Homogeneidad de la multiplicación por un escalar M4 : 1 .u = u Al escalar 1 se lo llama identidad multiplicativa Entonces diremos: V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K
A los elementos de V les llamaremos vectores mientras que a los elementos del cuerpo K les llamamos escalares.
Observación: Dependiendo de la aplicación, los escalares normalmente usados son los números
reales k o complejos k , lo que en correspondencia da origen a los espacios vectoriales reales
o espacios vectoriales complejos. Salvo expresa mención de lo contrario, en lo que sigue se trabajará con espacios vectoriales reales.
Nota: Debe tenerse en cuenta que en la definición de espacio vectorial no se especifica la naturaleza de los elementos de V ni de las operaciones con ellos realizadas. El único requisito es que cumplan con los ocho axiomas de la Definición 1.1.1.
Ejemplos
Ejemplo 1
El conjunto V = 2 = (^) ( x y , ) / x y , (pares ordenados de números reales) con las operaciones
de adición y multiplicación por escalares ( k ) definidas en forma habitual, esto es:
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
a a b b a b a b k a a ka ka
Constituye un espacio vectorial sobre los reales, llamado espacio vectorial real o - espacio vectorial. Con el fin de mostrar que V es un espacio vectorial, debe comprobarse que satisface todos los axiomas de la Definición 1.1.1.. A modo de ejemplo veamos la demostración de los axiomas A 1 , A 3 y M 2 , quedando la comprobación del resto de axiomas a cargo del lector.
A 1. Supongamos que x = ( x 1 (^) , x 2 ), y = ( y 1 (^) , y 2 )y z = ( z 1 (^) , z 2 )son elementos de 2. Entonces,
CAPÍTULO 1: Espacios Vectoriales
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x y y z z x y x y z z x y z x y z x y z x y z x x y z y z x x y y z z
(x y) z
x (y z)
A 3. Sea (^) 0 = (0 0) , ^2. Entonces, para cualquier x = ( x 1 (^) , x 2 )^2 se tiene,
x + 0 = ( x 1 (^) , x 2 (^) ) + (0,0) = ( x 1 (^) + 0 , x 2 (^) + 0) = ( x 1 (^) , x 2 )= x
M 2. Sea x = ( x 1 (^) , x 2 ) ^2 y sean α, β . Entonces,
1 2 (^1 2 )^ (^1 1 2 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 2
(α β) (α β) ( ) (α β) (α β) α β α β (α α ) (β β ) α ( ) β ( ) α β
x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x x
Ejemplo 2
Sea (^) V = n = ( x 1 (^) , x 2 , , xn ) / xi i =1 2 , , n (n-uplas de números reales) con las operaciones:
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
n n n n n n
a a a b b b a b a b a b k a a a ka ka ka con k
V = n es un espacio vectorial sobre el cuerpo.
Ejemplo 3
El conjunto K m n (matrices m^ n sobre el cuerpo K ) con las operaciones de adición y de multiplicación por un escalar definidas elemento a elemento:
[ ] [ ] [ ] 1, 2, , 1, 2, ,
. [ ] [ ]
ij ij ij ij ij ij
a b a b i m j n k a ka
Es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.
Notar que utilizaremos la notación [ aij ] para indicar la matriz m n , cuyos elementos son aij con i = 1,2, , m y j =1,2, , n. Es decir: 11 12 1 21 22 2
1 2
[ ]
n ij n m m mn
a a a a a^ a^ a a a a
= ^
Ejemplo 4
El conjunto (^) [ X ] = (^) p = p X ( ) = ao + a X 1 + a X 2^2 + + a Xk k / ai de todos los polinomios en X a coeficientes reales, con las operaciones de adición de polinomios y multiplicación de un polinomio por un número real, definidas de la forma habitual:
CAPÍTULO 1: Espacios Vectoriales
Consecuencias de la Definición
De la definición de Espacio Vectorial resultan inmediatas las siguientes propiedades:
Teorema 1.1.1. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Se verifica:
- para todo. . para todo K. Si. entonces ó 0 (o ambos a la vez)
- para todo.
k k k k
a) v 0 v b) 0 0 c) v 0, v = 0. d) ( ) v v v
V
V
Demostración:
a) Teniendo en cuenta que 0 = 0 + 0 planteamos
2
4
- 0 0. 0. 0. por axioma M
según axioma A = 0.
v ( ) v v v
v v v ( v) ( v) v ( v) ( v) ( v)
0 0
según axioma A 3 = 0.
v
0 v
b) Teniendo en cuenta que 0 = 0 + 0 y según el axioma M 1 se tiene que k. 0 = k. 0 + k. 0. La prueba
sigue sumando a ambos miembros −( k. 0 )y asociando convenientemente. Queda como ejercicio.
c) Sea k. v = 0. Si suponemos que k 0 entonces existe su inverso k-^1 , luego
( )
( )
1 1
1 3
4
por axioma M y por b)
por axioma M
k.
k. k. k.
k .k.
.
v 0
0 0
v 0
v 0
v 0
− −
−
Por lo tanto k. v = 0 v = 0 ó k = 0.
d) La prueba queda como ejercicio. #
Algebra Lineal
1.2 Subespacios
Definición 1.2.1. Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V si W es en sí mismo un espacio vectorial bajo las operaciones de adición y la multiplicación por escalar definidas en V.
En general, para verificar si un subconjunto W es un espacio vectorial es necesario verificar todas las condiciones exigidas a un conjunto para ser tal. Sin embargo, si W es parte de un conjunto más grande V del que se sabe es un espacio vectorial y las operaciones son las heredadas del conjunto V , entonces algunos axiomas se cumplen automáticamente en W. Así, no hace falta verificar por ejemplo que u + v = v + u con u, v W porque esta relación se cumple para u, v como vectores de V.
A continuación, se demostrará un resultado que hace que sea relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es o no un subespacio.
Teorema 1.2. 1. Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo K, W V ; W no vacío. W es un subespacio de V sí y solo sí a) Si u W y v W, entonces u + v W (la suma de dos vectores de W pertenece a W ). b) Si u^ ^ W^ y^ k^ ^ K,^ entonces k. u^ W (el producto de un vector W por cualquier escalar de K pertenece a W ).
Demostración: ) Si W es subespacio de V , por la definición es un espacio vectorial en sí mismo, luego W es cerrado bajo la suma de vectores y bajo la multiplicación por escalares.
) Para mostrar que W es un espacio vectorial, es necesario mostrar que se cumplen los ocho axiomas de la Definición 1.1.1. teniendo en cuenta las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Como los vectores de W están en V los axiomas A 1 , A 2 , M 1 , M 2 , M 3 y M 4 se cumplen. Si u W, entonces por b) se tiene 0_._ u W y como 0_._ u = 0 entonces 0 W satisfaciéndose así el axioma A 3. Finalmente, por la parte b) (^ −^1 ) u^.^ W y como ( −^^1 ) u^.^ = − u entonces − u W por lo que el axioma A 4 también se cumple, y con esto queda completa la demostración. #
Nota: Si se satisface la condición b) del enunciado, se tiene que: Haciendo k = 0 resulta: 0_._ u = 0 luego el vector nulo pertenece a W. Haciendo k = − 1 resulta: (^ −^1 ) u.^ = − u luego todo vector de W tiene su opuesto en W. A veces resulta útil por su sencillez verificar si el vector nulo del vectorial V está en W porque en caso negativo podemos asegurar que W no es un subespacio vectorial de V.
Algebra Lineal
Ejemplo 5
En V = 3 , si u y v son vectores no nulos y no paralelos entonces el conjunto W = (^) u + v / , , representa geométricamente un plano por el origen. Es fácil mostrar que W es un subespacio (demuéstrelo!).
Luego los subespacios de 3 son: 3 mismo, el conjunto (^) ( , , ) 0 0 0, cualquier plano por el origen y cualquier recta por el origen.
Figura 1 .2: Rectas por el origen en 3 Figura 1 .3: Planos por el origen en^3
Nota: En 3 , como ya se mencionó, el conjunto W = (^) ( , , ) / s t 0 s t , es un subespacio de 3 , pero NO es 2.
Ejemplo 6
Si V = 2 2 el subconjunto^ ac^ bd^ 2 2^ ^ a^1
= ^ ^ =
^ U^ / no es un subespacio de V ya que el
elemento neutro de V, esto es la matriz nula 0 = ^00 00
no pertenece a U.
Ejemplo 7
Dada (^) A K m n el conjunto (^) W = X K / A. X = 0 n es un subespacio de K n^ ó
W = X K n ^1 / A. X = 0 es un subespacio de K n ^1. Es decir, el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas con “n” incógnitas a coeficientes en el cuerpo K, A.X = 0 , es un subespacio de K n si se piensa cada solución como una n-upla, ó de K n ^1 si se piensa cada solución como una matriz columna.
Notar que estamos utilizando notación matricial al expresar X K n ^1 tal que A. X = 0 , esto es:
CAPÍTULO 1: Espacios Vectoriales
1 11 12 1 1 2 1 21 22 2 2
1 2
tal que^0 0
n n n
n m m mn n
x a a a x x a a a x
x a a a x
X K.
A X^0
= ^ ^ ^ ^ ^ =
Verifiquemos que W es un subespacio, esto es:
Sea el espacio vectorial V = K n ^1. Dada (^) A K m n , el conjunto (^) W = X K n ^1 / A. X = 0 es un subespacio de (^) K n ^1.
Demostración: consideramos que C y D son elementos de W , es decir matrices columna solución del sistema A.X = 0 con A K m n . Esto es, C y D satisfacen A .C = 0 y A. D = 0 , luego :
- ( C D + ) W pues teniendo en cuenta propiedades de matrices, planteamos A. (C + D) = A. C + A. D = 0 ( C+D es una solución del sistema (^) A.X = 0 ).
- Para cualquier escalar k, k C W puesto que teniendo en cuenta propiedades de matrices A. ( k C) = k (A. C) = k 0 = 0 ( k C es una solución del sistema A.X = 0 ).
Por lo tanto, el conjunto (^) W = X K n ^1 / A. X = 0 es un subespacio al que se denomina espacio nulo de A.
Nota: El conjunto de soluciones de un sistema no homogéneo no es un subespacio.
¿Por qué?
Ejemplo 8
En V = el conjunto W = (^) f : → / f a ( ) = (^0) de las funciones que se anulan para x = a , es un subespacio. En efecto:
- Si consideramos que f y g son funciones que se anulan en x = a , entonces se tiene que: ( f + g )( ) a = f a ( ) + g a ( ) = 0 + 0 = 0 luego la función f + g W.
- Para todo escalar k , la función ( k f ) se anula en x = a , puesto que: ( k f )( ) a = k f a. ( ) = k. 0 = 0 luego ( k f ) W.
Ejemplo 9
En V = el conjunto (^) W = C a b , de todas las funciones de valor real definidas y continuas en el
intervalo cerrado (^) a b , es un subespacio. ¿Qué propiedades de las funciones continuas deberían verificarse para demostrar esta última afirmación?
CAPÍTULO 1: Espacios Vectoriales
1 1 1 2 2 2
y y
Por hipótesis es subespacio
v U W v U v W v U W v U v W
U 1 2 1 2
Por hipótesis es subespacio y
W
v v U v v W
v 1 (^) + v (^) 2 U W
Queda como ejercicio verificar que el producto de un vector de U W por cualquier escalar de K
pertenece a U W. Es decir, queda verificar que si v U W y k K entonces k v U W .#
Generalizando: la intersección de cualquier colección finita de subespacios es un subespacio.
Observación : la unión de subespacios no es, en general, un subespacio.
Suma de Subconjuntos de un Espacio Vectorial
Definición 1. 3. 2. Sean S 1 (^) y S 2 subconjuntos de un espacio vectorial V.
El conjunto de todos los vectores que se obtienen sumando un vector de S 1 y un vector de S 2 se denomina suma de los subconjuntos S 1 (^) y S 2 , y se denota S 1 (^) + S 2. S 1 (^) + S 2 (^) = (^) v V / v = v 1 (^) + v (^) 2 con v 1 (^) S 1 (^) v 2 (^) S 2 .
Es decir que para verificar si un vector v pertenece a la suma S 1 (^) + S 2 es necesario encontrar o probar la existencia de un elemento v 1 en S 1 y un elemento v 2 en S 2 , tal que: v = v + v 1 2.
Ejemplos
Ejemplo 1
Sea V = 2 y consideremos (^) S 1 (^) = ( , 0 2 ) ( −1 3 , ) ( , 0 0 ) y (^) S 2 (^) = ( , ) ( , 4 0 1 − 1 ) ( , 4 − 2 ) conjuntos. Observar que:
− ( , ) 3 3 = − ( 1 3 , ) + ( , 4 0 ) por consiguiente ( , ) 3 3 S + S 1 2 − ( , 0 0 ) S + S 1 2 puesto que en S 2 no existe el opuesto de ninguno de los elementos de S 1 . − ( , 4 0 ) = ( , 0 0 ) + ( , 4 0 ) ó ( , 4 0 ) = ( , 0 2 ) + ( , 4 − 2 ) en este caso es posible expresar un elemento de S 1^ + S 2 en más de una forma, como suma de un elemento de S 1 y un elemento de S 2. − el conjunto S 1 (^) + S 2 resulta: S 1 (^) + S 2 (^) = (^) ( , 4 2 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , 1 1 4 0 3 3 0 2 ) ( , ) ( , 3 1 1 − 1 ) ( , 4 − 2 )
Algebra Lineal
Ejemplo 2
Sea V = 2 y consideremos los conjuntos S 1 (^) = (^) ( , 2 1 ) (^) (^) y S 2 = (^) ( , ) / x 0 0 x (^1) luego
S + S 1 (^) 2 = (^) ( , ) / x 1 2 x (^3)
Observación: Cuando uno de los conjuntos se reduce a un único elemento “p”, con la notación p+ S se indica la suma de los conjuntos { p} y S.
Así, escribimos (^) ( , ) 2 1 + (^) ( , ) / x 0 0 x (^1) = (^) ( , ) / x 1 2 x (^3) .
Nota: En los dos ejemplos precedentes, el conjunto S + S 1 2 , no es un subespacio de 2. ¿Por qué?
El siguiente resultado establece una condición necesaria para que la suma de dos conjuntos de un vectorial sea subespacio.
Teorema 1. 3. 2. Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo K. Si U y W subespacios de un espacio vectorial V entonces U + W es un subespacio del espacio vectorial V.
Demostración:
Considerando que U + W = (^) v V / v = u + w con u U w W , notemos primero que U + W pues dado que U y W son subespacios de V se tiene que 0 U y 0 W y por lo tanto 0 U + W ( 0 = 0 + 0 con 0 U y 0 W ).
Veamos ahora que la suma de dos vectores de U + W pertenece a U + W.
Sean v 1 U + W y v 2 U + W. Entonces, v 1 + v 2 U + W pues:
como v 1 U + W entonces v 1 = u 1 + w 1 con u 1 U y w 1 W como v 2 U + W entonces v 2 = u 2 + w 2 con u 2 U y w 2 W
Sumando miembro a miembro, aplicando propiedades del espacio vectorial y teniendo en cuenta que por hipótesis U y W son subespacios, se tiene que:
- = + ) + + )
v 1 v 2 (u 1 u 2 (w 1 w 2 U W
entonces hemos verificado que v 1 + v 2 U + W.
Queda como ejercicio verificar que el producto de un vector de U + W por cualquier escalar de K pertenece a U + W. Es decir, queda verificar que si v U + W y k K entonces k v U + W. #
Algebra Lineal
1.5 Subespacio Generado y Generadores
Teorema 1. 5 .1. Sea V espacio vectorial sobre K. Sean v 1 (^) , v 2 (^) , , v r vectores de V. Si W = (^) v V / v = k 1 (^) v 1 (^) + k 2 (^) v (^) 2 + + kr v (^) r con ki K i = 1 2 , , , r es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v 1 (^) , v 2 (^) , , v r se cumple: a) W es un subespacio de V. b) v 1 (^) , v 2 (^) , , v r son elementos de W. c) Si (^) W' es cualquier subespacio de V que contiene a v 1 (^) , v 2 (^) , , v r entonces W W'^.
Demostración:
a) W es no vacío pues 0 W ya que 0 = k 1 (^) v 1 (^) + k 2 (^) v 2 (^) + + kr v r (^) con ki = 0 i = 1 2 , , , r.
Veamos ahora que la suma de dos vectores de W pertenece a W. Y también que el producto de un
vector de (^) W por cualquier escalar de K pertenece a (^) W.
Sean u y v vectores pertenecientes a W es decir: u = x 1 (^) v 1 (^) + x 2 (^) v 2 + + xr v r y v = y 1 (^) v 1 (^) + y 2 (^) v (^) 2 + + yr v r
Entonces se tiene que:
- u + v = ( x 1 (^) + y 1 (^) ) v 1 (^) + ( x 2 (^) + y 2 (^) ) v (^) 2 + + ( xr + yr ) v r luego (^) u + v W.
- k K, k u = ( k x 1 (^) ) v 1 (^) + ( k x 2 (^) ) v (^) 2 + + ( k xr ) v r luego k u W. Por lo tanto, W es un subespacio de V.
b) Para demostrar que v 1 (^) , v 2 , , v r son elementos de W notemos que:
1 1 2 1 2 1 2 2
1
1 0 0 luego 0 1 0 luego
0 0 1 luego
r r
r r r
v v v v v W v v v v v W
v v v v v W
c) Para demostrar esta afirmación, basta con probar que si w W w W'.
Recordemos que (^) w W sí y solo sí w = x 1 (^) v 1 (^) + x 2 (^) v (^) 2 + + xr v r.
Por hipótesis, W' un subespacio y v 1 (^) , v 2 (^) , , v r son elementos de W'. Entonces x 1 (^) v 1 (^) , x 2 (^) v (^) 2 , , xr v r son elementos de W' y por consiguiente su suma w = x 1 (^) v 1 (^) + x 2 (^) v (^) 2 + + xr v r pertenece a (^) W'. #
CAPÍTULO 1: Espacios Vectoriales
Definición 1.5.1. Sea V un espacio vectorial sobre K. Sean v 1 (^) , v (^) 2 , , v r vectores de V. Sea W el conjunto de todas las combinaciones lineales de v 1 (^) , v 2 (^) , , v r. Llamaremos a W subespacio generado por v 1 (^) , v 2 (^) , , v r y lo denotaremos como W = v 1 (^) , v (^) 2 , , v r.
El subespacio generado por los vectores v 1 (^) , v (^) 2 , , v r puede ser el mismo V , en este caso diremos que el conjunto S = v 1 (^) , v (^) 2 , , v r genera al espacio vectorial V , o bien que S = v 1 (^) , v 2 , , v r es un generador de V.
Definición 1.5.2. Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo K. S = v 1 (^) , v 2 (^) , , v r es un generador de V sí y solo si para todo v V se tiene que v = k 1 (^) v 1 (^) + k 2 (^) v 2 + + kr v r donde k ,k , 1 2 ,kr son escalares.
Notación: V = S = v 1 (^) , v 2 , , v r
Nota : las siguientes notaciones son equivalentes: S = v 1 (^) , v 2 (^) , , v r (^) = gen (^) v 1 (^) , v 2 , , v r .
Observación: Se han usado las palabras generador y subespacio generado cuyo significado preciso debe ser tenido en cuenta.
Un generador es un conjunto de vectores tales que todo vector del vectorial se puede expresar como combinación lineal de ellos.
Un subespacio generado es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales que se pueden realizar con los vectores del generador.
Ejemplos
Ejemplo 1
Si u es un vector no nulo de 2 ó de 3 , el subespacio generado W = u es la recta por el origen, con vector de dirección u.
Si V = 2 y por ejemplo elegimos u = ( 1 2 , ) se tiene que: W = ( , 1 2 ) = (^) ( , x y ) 2 / ( , x y ) = ( , 1 2 )
¿Qué condición debe cumplir ( , x y ) para poder escribirse como ( , x y ) = ( , 1 2 )?
( , x y ) = ( , 1 2 ) ( , x y ) = ( , 2 ) 2 == xy ¿qué condiciones deben cumplir x e y para que el sistema sea compatible? Consideramos la matriz ampliada del sistema y reducimos por filas (Notación: Fi fila i)
2 2 1
2 F^ (^ ) F 0 2 condición de compatibilidad
x x y^ ⎯⎯⎯⎯+ − →^ y − x