Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Material d'estudi UB 2023-2024 enginyeria química/materials
Tipo: Apuntes
1 / 18
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Fonaments d’Electromagnetisme i Òptica
Curs 2023 ‐ 24
Joan Bertomeu
1
2
F q E
2
1
0
2
1
W 1 (^) 2 F dl q E dl
El treball que ha de fer el camp per transportar la unitat de càrrega positiva ( q 0 =1) des del punt 1 al 2 al llarg del camí C és:
La circulació del camp no depèn de la trajectòria.
és conservatiu
és conservativa
q 0
F qE
0 dl
E
1
2
C
A tota força conservativa li podem associar una funció escalar, anomenada energia potencial ( U ), que compleix:
El treball realitzat per una força conservativa és igual a la disminució de l’energia potencial.
3 2.1. Potencial elèctric. Diferència de potencial
2
1
2 1 0
2 1 1 2
0
U U q E d l
U U U W
W U W U
Matemàticament:
El treball realitzat per la força elèctrica és igual i de signe
oposat a la diferència entre les energies potencials de la
càrrega entre les posicions final i inicial.
4 2.1. Potencial elèctric. Diferència de potencial
7
El potencial en un punt és el treball que ha de fer el camp
per portar la unitat de càrrega positiva des del punt fins a
l’origen de potencials que haguem pres.
O alternativament, el potencial en un punt és el treball
que hem de fer en contra del camp per portar la unitat
de càrrega positiva des de l’infinit fins al punt considerat.
Unitats:
2.1. Potencial elèctric. Diferència de potencial
El treball necessari per moure una càrrega d’1 coulomb a
través d’una diferència de potencial d’1 volt és 1 joule
Podem interpretar el camp elèctric com la variació del
potencial elèctric amb la distància
L’ electronvolt és una unitat d’energia molt comuna
definida com el treball per moure una càrrega de
magnitud e a través d’una diferència de potencial d’1 V:
1 eV = 1,602 x 10 ‐ 19 J
8 2.1. Potencial elèctric. Diferència de potencial
2 0
2 0 0
r
P r
Si considerem que el camp és el creat per una càrrega puntual
q i prenem el punt 1 a l’infinit (origen de potencials), el
potencial en un punt P serà el treball realitzat pel camp per
portar la unitat de càrrega positiva des del punt P fins a
l'infinit:
9 2.1. Potencial elèctric. Diferència de potencial
n
i (^) i
i
n
i
i r
q V P V P 1 4 0 1
r i
P
q 1
q 2
qn
qi
Si tenim un sistema de n càrregues puntuals, el potencial en un punt P, aplicant el principi de superposició, serà la suma dels potencials creats per cadascuna de les càrregues per separat:
r i és la distància de la càrrega i‐èssima al punt P (l’origen de potencials és a l’infinit)
10 2.1. Potencial creat per un sistema de càrregues puntuals
13
Les línies de camp són perpendiculars a les superfícies
equipotencials
Les línies de camp apunten cap a potencials decreixents
2
1
2 1
Considerem dos punts 1 i 2 molt propers. La diferència de potencial entre ells és:
Si els punts estan infinitament propers:
V
E
d l
1
2
V dV
2.4. Superfícies equipotencials
Si 1 i 2 estan sobre una mateixa superfície equipotencial:
serà màxim (en valor absolut) quan
seguirà la direcció de màxima disminució de V
La component del camp en una determinada direcció és la derivada del potencial respecte la distància en aquesta direcció canviada de signe
14
dV 0 E dl 0 E dl
E
V^
E
d l
1
2
V dV
dV E d l
D’aquesta^ expressió^ deduïm:
dl
dV dV E dl El dl El
2.4. Superfícies equipotencials
E dl
dV
Camp uniforme Camp creat per un dipol
15 2.4. Superfícies equipotencials
l
dl
dV E dl E dx E dy E dz
dl dxa dya dza
E E a E a E a
x y z
x y z
x x y y z z
Aquesta derivada del potencial segons la direcció del és el que s’anomena gradient del potencial.
En coordenades cartesianes:
D’altra banda:
16 2.5. Gradient de potencial
on
(^)
x y z
V V V dV dx dy dz grad V dl V dl x y z
a a a x y z
r z a z
V a
V
r
a r
V V
1
19 2.5. Gradient de potencial
r a
z
r az
a
z y
x
20 2.5. Gradient de potencial
a
z
r
r a
a
y
x
21 2.5. Gradient de potencial
El dipol elèctric es caracteritza per
una magnitud vectorial anomenada
moment dipolar elèctric :
El moment dipolar apunta de la
càrrega negativa cap a la positiva.
Unitats (S.I.):
Un dipol elèctric és un sistema de dues càrregues puntuals
d’igual magnitud i signe contrari separades una distància petita.
22
q q
l
p q l
2.6. Dipol elèctric
p C m^1 D^ (Debye)^ =3,336×
− 30 C∙m
25 2.6. Dipol elèctric
q
q
l
r 1
P ( r ,, )
r
r 2
z
y
x
3 0
2 0 4
cos 1
r
p r
r
p V P
El potencial és inversament
proporcional al quadrat de la
distància i directament
proporcional a la magnitud del
moment.
Les aproximacions fetes seran
millors com més allunyat estigui el
punt.
A partir del potencial, calculem el camp:
26
p
P
r
z
y
x
Er
E
2 0
cos
r
p V P
amb:
Treballant en coordenades esfèriques:
0 sin
1
sin
4
1 1
2 cos
4
1
3 0
3 0
V
r
E
r
V p
r
E
r
p
r
V E (^) r
E Erar E a E a
2.6. Dipol elèctric
27
p
P
r
z
y
x
Er
E
r
3 0
Alguns casos particulars:
Punts sobre l’eix z:
cos 1 ; sin 0
0 cos 1 ; sin 0
3 0
r
2.6. Dipol elèctric
28
p
P
r
z
y
x
Er
E
3 0
Alguns casos particulars:
Punts en el pla xy:
cos 0 ; sin 1 2
3
2.6. Dipol elèctric
El moment de les forces respecte del centre del dipol és:
31
sin sin sin sin 2 2
l l q E q E q E l p E
O bé: (^) p E
El moment serà màxim quan θ = 90° i nul quan el dipol
estigui alineat segons el camp (θ = 0°).
2.7. Acció del camp sobre un dipol
El treball que fa el moment en efectuar un gir elemental
del dipol en el sentit d’orientar‐lo segons el camp és:
32 2.7. Acció del camp sobre un dipol
Aquest treball farà disminuir l’energia potencial del dipol:
dW d p E sin d
U pE p E
cos
dW dU dU pE sin d
Integrant: U pE cos cnt
Prenent l’origen de l’energia potencial ( U =0) a
2
(^) d E
33 2.7. Acció del camp sobre un dipol
L’energia potencial del dipol
serà màxima quan:
U pE p E
cos
cos 1 U p E
L’energia potencial del dipol
serà mínima quan:
cos 1 0 U p E
Si el camp no és uniforme
(p. ex. el creat per una
càrrega puntual), a més
del moment que tendeix a
alinear el dipol, existirà
una força resultant neta
sobre el dipol dirigida cap
a la zona on el camp és
més intens.
34
2.7. Acció del camp sobre un dipol
