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SEMANA 10
TEMA: SUBANILLOS
Subanillos (Definición).- Un subconjunto S de un anillo: A , +,
; se dice que es un
subanillo de A si verifica.
(i) S es cerrado mediante la adición y multiplicación.
Es decir: a b. S , a + b S , a b , S S ; con las operaciones inducidas de A es un anillo.
Es decir: S , +, es anillo.
De manera equivalente: S es un subanillo de A si verifica:
i) ( ) ( )
S , + A ,+ sub grupo
ii) El producto " "restringido a S es cerrado ( )
x y. S , x y , S
Ejemplo (1): A = Z, S = 5 Z S A (subanillo)
Ejemplo ( 2 ): A = Z, S = nZ S A
(subanillo)
Ejemplo ( 3 ): A = , S = Z S A (subanillo)
Ejemplo ( 4 ): A = , S = Q S A (subanillo)
Ejemplo ( 5 ): A = , S = R S A (subanillo)
Ejemplo ( 6 ): A = ( )
2
M R ,
2
S = M ( Z ) S A (subanillo)
Ejemplo ( 7 ): Si S A (subanillo) ( )
2 2
M ( ) S M A (subanillo)
Ejemplo ( 8 ): Sea
I
A = R = f I → R f − aplicación
B = f A / f es continua
Entonces
B A
Ejemplos: A = ( )
2
M ,
a
B a
. Claramente B A
Definición: Sea A , +, un cuerpo S A
Diremos que S es un subcuerpo de A si:
a) ( ) ( )
S , + A ,+ (subgrupo)
b) ( ) ( )
S *, A *, (subgrupo)
De manera equivalente:
a ') La suma y el producto son operaciones cerradas en S.
b ') S , +, es un cuerpo.
Ejemplo (9): Q subcuerpo de R.
Ejemplo (10): R “subcuerpo” de C
Ejemplos (11): ( )
2 = a + b 2 : a b , es un cuerpo; más aún
1
2 = F.
Ahora escribamos ( ) 1
F 3 = + ß 3 : , ß F. Claramente
1 2
F F 3 = F.
Análogamente consideremos ( ) 2 2
F 5 = x + y 5 : x y , F También
( ) 2 2 3
F F 5 = F
De este modo tenemos:
1 2 3
Q F F F ............ , donde los Fi son cuerpos
(cuerpos intermedios).
Teorema (1).- Teorema caracterización de subanillos
Sea A , +, un anillo, S A subconjunto
Entonces: S es un subanillo si y sólo si i) B
ii) x y , B x − y B (B cerrado con la diferencia)
iii) x y , B x y. B
(B cerrado con el producto)
Demostración
Como S A (subanillo) claramente (i), (ii) y (iii)
Observe que 0' S es el mismo 0 A ,pues ( )
b S 0' = b + − b = 0 A
Recíprocamente: Supongamos que S A y las tres propiedades se cumple:
Por (i) tenemos que: S
Por (ii) y (iii) tenemos que:
(*) Si ( ( ))
x S x + y = x − − y S ; es decir S es cerrado para la suma.
Por (iii) S es cerrado para el producto.
Como las propiedades: Asociativa, Conmutativa y Distributiva son hereditarias se sigue
inmediatamente que B es un subanillo.
Ejemplo 14: A = 2Z y S = 4Z entonces S A (Subanillo) no existen: 1 y 1
A B
(No existe
identidad de A ni de B)
Definición.- Sea D un dominio entero y sea a Z y x D ,se define: ax D del modo
siguiente:
i) Si a 0 ax = x + x + ......+ x ( )
a − sumandos
ii) Si a 0 ax = x + x + ......+ x ( )
a − sumandos
iii) Si a = 0, ax = 0
Proposición.- Sea D un dominio entero; entonces la ecuación x ² = x
tiene como única
solución en D a los elementos: 0 y 1.
En efecto.- Como
2
x = x
si y solo si
2
x − x = 0
sii x x. − L x. = 0
sii x (x – 1) = 0 de aquí
x = 0 x =1.
Corolario.- Sea D un dominio entero y B un subanillo de D entonces 1 1.
D B
En efecto.- Por definición de elemento identidad en un anillo tenemos que1 ,1 0
D B
y
como
2
D D
= y
2
B B
= entonces por proposición anterior 1 1
D B
Ejemplo.- Sea A un anillo,
K K
B
F = una familia de subanillos de A entonces
K
K
B A
En efecto.- Llamemos
K
K
B B
=. Sean x y , B.
entonces
0
k
x B ,
1
k
x B para algún
0 1
k , k . Sin pérdida de
generalidad.
Consideremos
0 1 1 0
( análogo)
k k k k
B B B B.
De este modo se tiene :
1
k
x y B asi
1
k
x − y B B ,
1
k
x y B B luego x − y B ,
x y. B. Por tanto B A (Subanillo).
2.2.4 Característica de un Dominio : *) Diremos que un dominio D es de característica
cero si la relación: ma = 0, 0 a D m ; Z
puede solamente verificarse si m = 0.
*) Se dice que “p” es la característica de D si p es el menor entero positivo tal que p = 0,
para algún
a D − 0.
*) Diremos que D es de característica finita si para algún a 0
en D y para algún m 0,
se tiene m a = 0
Ejemplo 15.-
3
Z tiene característica 3
- Z tiene característica “0”
5 3
Z xZ tiene característica finita
Sea : 15(x,y) = (15x 15y) = (5.3x, 3.5y) = (0,0);
5 3
Z xZ
es de característica finita.
EJERCICIOS
- Sea
N
X
una familia de subcuerpos de un cuerpo A tal que
1
X X ,
+
pruebe que
N
X
es un subcuerpo de A.
- Sean a b , Z , demostrar que: aZ + bZ =( , ) a b Z y
aZ bZ = a b Z , donde
( )
a b , = M C D... de a y b y
a b , su mínimo común múltiplo.
HOMOMORFISMO DE ANILLOS
Definición.-
Sean A A , 'dos anillos, f : A → A 'una aplicación diremos que f es un homomorfismo si:
( )
f x + y = f x ( ) +' f ( ) y
( )
f x y = f x ( ) ' f ( ) y , para todo x y , A
Propiedades (2).- Sean f : A → A 'un homomorfismo de anillos. Entonces:
(i) f (0) =0'
(ii) ( )
f − a = − f a ( )
(iii) ( )
f a − b = f a ( ) − f b ( )
En efecto
( )
'
A A
Proposición (2).- Sean A y A dos anillos con identidad 1 y 1 respectivamente con A
un dominio y : A → A 'homomorfismo entonces
( )
En efecto: Sea ( )
x A entonces x A '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x = x .1 = x 1 si y solo si x − x . 1 =0'
si y solo si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )
1'. x − x . 1 = 0 si y solo si x − 1 −1' =0'
pero como A es D.I.: ( ) ( )
x = 0 1 −1' = 0
Ahora: Si ( ) ( )
x 0 1 =1'
Ejemplo: Si f : ⎯⎯→
es un homomorfismo de anillos no nulo muestre que f = 1
En efecto.- Sea n por demostrar f n ( ) = n.
- Si n = 0; entonces f (0) = 0 también f (1) = 1, f ( 1)− = − 1
- Si n > 0, entonces ( ) (1 ..... 1) (1) ..... (1) (1)
n veces n veces
f n f f f nf n
− −
- Si n < 0; entonces f n ( ) = f ( 1(− − n )) = f ( 1).− f ( − n ) = − −( n ) = n
Observación: Sean A, A dos anillos con identidades : 1 y 1' respectivamente
: A → A ' un homomorfismo suryectivo entonces
( )
En efecto: Como f es epimorfismo para todo a ' A ' existe a A tal que ( )
a = a '
donde a ' (1) = ( ) (1) a = (1 ) a = f a ( ) = a '.También
( )
1 a ' = a ' lo cual prueba que
(1) =1'. Puesto que al considerar a ' =1'tenemos a 1'. (1) = 1' =(1).1'luego
( )
Ejemplo (3): : A → A ' ( ) a =0;Homomorfismo Nulo
Ejemplo (4): : A → A ( a )= a ; a A −homomorfismo identidad.
Ejemplo (5): Sean: A = R x R = R², A ' = , f : A → A ' f ( , x y ) = x + iy
( ) ( )
f x y , + x ', y ' = f x ( + x ', y + y ') = ( x + x ') + ( y + y i ') = ( x + iy ) + ( ' x + iy ') = f x ( ) + f ( ) y
f x y , ( ', x y ') = f xx ( ', yy ') = ( xy ) + iyy '
( )
f x y , f x ( ', y ') = ( x + iy )( ' x + iy ') = ( xx ' − yy ') + ( xy '+ x ' y i )
f no es un homomorfismo.
Ejemplo ( 6 ):
Z 2 a b 2 / a b , Z
=
f : Z 2 Z 2
⎯⎯→
a + b 2 f a + b 2 = a − b 2
f es un homomorfismo.
En efecto : Sean : x = a + b 2, x ' = a ' + b ' 2; a a b b , ', , ' Z
Ahora : *) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x + y = f a + b 2 + a ' + b ' 2 = a + a ' + b + b ' 2 =
a + a ' − b + b ' 2 =
a − b 2 + a ' − b ' 2 = f a + b 2 = f a ' + b ' 2
( )
x + y = ( ) x +( ) y
( ) ( )
( xy ) = a + b 2 a ' + b ' 2 = aa ' + 2 bb ' + ab ' + ba ' 2 =
( ) ( )
= aa ' + 2 bb ' − ab ' + ba ' 2
De otro lado ( ) ( )
x y = a + b 2 a ' + b ' 2 = a − b 2 a ' − b ' 2
( ) ( )
= aa ' + 2 bb ' − ab ' + ba ' 2 ( )
x y. = ( ). ( ) x y
Ejemplo ( 7 ): Sea
: Z → Z
un homomorfismo pruebe que es no nulo.
En efecto: Sea ( ) ( )
n Z ; n = 1 + + 1 .... + 1 = (1) + (1) + ..... + (1) = n (1) ( ) n = n
Ejemplo ( 8 ): Supongamos que: f : Q → Q
homomorfismo. Pruebe que f es no nulo.
En efecto:
(*) Sean : x Q → x = p / q p q , , Z p = xq
Ahora :
p veces p veces
p
f x f f f f
q
q q q q q q
− −
asi
- ¿Falso o Verdadero?
a) n tiene divisores de cero si n no es primo.
b) Todo campo es un dominio entero.
c) La característica de n es n.
d) Como anillo, es isomorfo a n
para todas las n 1
e) La ley de la cancelación vale para cualquier anillo que sea isomorfo a un dominio
entero.
f) Todo dominio entero de características 0 es infinito.
g) El producto directo de dos dominios enteros es, de nuevo, un dominio entero.
h) Un divisor de cero en un anillo conmutativo con unitario puede no tener inverso
multiplicativo.
i) n
es un subdominio de
j) es un subcampo de
- Encuéntrese todas las soluciones de la ecuación x² + 2x + 2 = 0 en
6
; de la ecuación
x² + 2x + 4 = 0 en
6
- Muéstrese que una intersección de subdominios de un dominio entero D es, de nuevo,
un subdominio de D.
- Muéstrese que la característica de un subdominio de un dominio entero D es igual a
la característica de D.
- Muéstrese que la característica de un dominio entero D debe ser 0 o un primo p.
- Sea ( )
A , +, un anillo con identidad, defínase las operaciones de y como:
a b = a + b + 1 y a b = ab + a + b ;
para todo a b , A
Proba que:
(i) ( )
A , , es un anillo.
(ii) Identificar el elemento cero de ( )
A , ,
(iii) Posee identidad ( )
A , , ?. Caso afirmativo identifique
- Pruebe que si A es anillo con división entonces el centro de A es un cuerpo.
