Análisis Matricial de Estructuras: Rigidez a Nivel Elemental en Tipos Viga y Columna, Guías, Proyectos, Investigaciones de Análisis Estructural

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CAPÍTULO 4: INTRODUCCIÓN AL

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Héctor J. Pérez Barrera

I.C., M.Sc., Ph.D.

Concepto de Rigidez 1

Rigidez a Nivel Elemental 2

Del Nivel Elemental al Nivel Sistema 3

CONTENIDO

0

Generalización del Método 4

JUSTIFICACIÓN

Por qué y Para qué del Método

0

Métodos de análisis para Estructuras/sistemas estáticamente Indeterminados

B

Método Comentarios

Método de las fuerzas

1. Carga unitaria
   2. Energía

complementaria

mínima y Teorema

de Castigliano

3. Ecuación de los tres

momentos

4. Matriz de

flexibilidad

5. Desplazamiento

unitario

Las fuerzas son las incógnitas.

Se le conoce como el método del trabajo virtual.

La energía complementaria es minimizada con respecto a las fuerzas

redundantes. El Teorema de Castigliano es el caso particular de

linealidad.

Ecuación que relaciona los momentos en tres apoyos consecutivos de

una viga continua.

Proceso sistemático para estructuras altamente redundantes.

Un desplazamiento unitario es aplicado a cada grado de libertad

originando fuerzas internas. Éstas se igualan a las cargas aplicadas,

resultando un sistema de ecuaciones para los desplazamientos.

JUSTIFICACIÓN

Por qué y Para qué del Método

Métodos de análisis para Estructuras/sistemas estáticamente Indeterminados

C

Método Comentarios

Método de los

desplazamientos

5. Pendiente-deflexión
   6. Distribución de

momentos

7. Matriz de rigidez
   8. Integración

matemática y

numérica de la

ecuación de la viga

9. Área de momentos y

viga conjugada

Los desplazamientos de los nudos libres son las incógnitas.

Ecuaciones aplicables a pórticos, en términos de ángulos de giro y

desplazamiento de los nudos.

Técnicas para resolver las ecuaciones de pendiente-deflexión por

aproximaciones sucesivas.

Proceso sistemático para estructuras altamente redundantes.

Integración directa. Apropiadas para problemas simples y en los casos

donde se tenga variación de momento de inercia y de carga.

Técnicas especiales para acelerar la solución de problemas

particulares, basadas en resolver la ecuación de la viga por métodos

indirectos.

CONCEPTOS GENERALES

RELACIONES FUNDAMENTALES

1

Ecuaciones de

equilibrio

Condiciones de

compatibilidad

Relaciones fuerza-

deformación

Relacionan las fuerzas que

actúan en las estructuras (o

sus partes) asegurando que

toda la estructura (y

también sus partes)

permanezca en equilibrio.

Relacionan las

deformaciones de las

estructuras de tal manera

que sus partes se

ajusten/encajen

adecuadamente (sin

interrupciones o traslapos

intencionales).

Proporcionan un enlace

entre las ecuaciones de

equilibrio y las condiciones

de compatibilidad.

Dependen de la forma en

que responda el material y

de las propiedades

geométricas de la sección

transversal (para este

curso, respuesta elástica

lineal).

CONCEPTOS GENERALES

METODOS MATRICIALES PARA ANALISIS ESTRUCTURAL

1

Métodos de las fuerzas Métodos de los desplazamientos

Se determinan ecuaciones de compatibilidad y

se determina el valor de las redundantes

Se identifican las fuerzas redundantes

Las fuerzas se consideran como incógnitas (^) Las deformaciones (deflexiones y

rotaciones) se consideran como incógnitas

Se determina el grado de indeterminación

estática

Se determina la estructura primaria

Con las ecuaciones de equilibrio se determinan

las demás reacciones de la estructura

Se determina el grado de indeterminación

cinemática (grados de libertad en los nodos)

Se identifican los desplazamientos (rotaciones

y deflexiones) desconocidos

Las rotaciones desconocidas se determinan

usando las ecuaciones de equilibrio en los

nodos que pueden rotar

Se determinan las fuerzas desconocidas a partir

de ecuaciones de compatibilidad

(Matrices de Flexibilidad) (Matrices de Rigidez)

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

Cómo era el método de giro-deflexión?

2

Premisa 1:

Se partirá del supuesto que la condición deformada final puede obtenerse al

sumar, de forma independiente, el desplazamiento vertical absoluto (Δ) en cada

extremo, el giro θi en el nudo (i), y el giro θj en el nudo (j).

Condición Deformada del

Elemento (exagerada)

Principio de SUPERPOSICIÓN!!

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

Cómo se generaliza el problema en el método matricial?

2

Sistema coordenado

local (o del elemento)

Y’

x’

Y

X

i j

Y’

x’

Sistema coordenado

global(o de la estructura)

Y

x

vj

vi

ui uj

Condición original

Condición deformada

Xij, Xji, Yij, Yji, Mij, Mji

son las fuerzas

internas en los

extremos del

elemento.

ui y uj, son los

desplazamientos en eje

global x de los nudos i y j.

vi y vj, son los

desplazamientos en eje

global y

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

ECUACIONES DE COMPATIBILDAD Y SUPERPOSICIÓN

2

Premisa 2:

Se partirá del supuesto que la condición deformada final puede obtenerse de la

superposición de seis modos básicos de deformación del elemento, 4 por flexión y 2 axiales

Condición Deformada del Elemento

(exagerada) luego de la aplicación de cargas

Modo 1

Modo 2

Modo 3

¿Y las deformaciones por CORTE?

Modo 4

Modo 5

Modo 6

Vi

Vj

Nj

Ni

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

COORDENADAS GLOBALES Y LOCALES

2

Sistema coordenado

local (o del elemento)

Y’

x’

Y

X

i j

Y’

x’

Sistema coordenado

global(o de la estructura)

Y

x

ELEMENTO

TIPO VIGA

ELEMENTO TIPO

COLUMNA

i

j

Dirección del

elemento

Notas:

-El Sistema

coordenado local,

define

automáticamente la

“dirección” del

elemento.

-Cargas sobre el

elemento,

propiedades

geométricas, y

fuerzas internas son

referidas al Sistema

coordenado local.

x’

Y’

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

Identificación de acciones y deformaciones en los extremos del elemento

2

Sistema coordenado

local (o del elemento)

Y’

x’

Y

X

i j

Y’

x’

Sistema coordenado

global(o de la estructura)

Y

x

vj

vi

ui uj

Condición original

Condición deformada

Xij, Xji, Yij, Yji, Mij, Mji

son las fuerzas

internas en los

extremos del

elemento.

ui y uj, son los

desplazamientos en eje

global x de los nudos i y j.

vi y vj, son los

desplazamientos en eje

global y

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

GRADOS DE LIBERTAD

2

Y’

x’

i j

vj

vi

ui uj

Condición original

Condición deformada

A

Grados de Libertad (GDL): Cada uno de los posibles desplazamientos y/o

giros que puede experimentar un nodo.

-El número mínimo de desplazamientos y/o giros independientes que se

requieren para definir la estructura en su posición deformada.

1 GDL

2 GDL

3 GDL

4 GDL

5 GDL

6 GDL

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

ANALISIS DE LOS DIFERENTES GRADOS DE LIBERTAD

2

1: Condición base y efecto de cargas

aplicadas al elemento mediante

fuerzas de fijación.

2: Se libera a desplazamiento en y’ el

nodo i. Se aplica desplazamiento

positive vi=

3: Se libera a desplazamiento en y’ el

nodo j. Se aplica desplazamiento

positivo vj=

Y’

x’

Y’

x’

Y’

x’

RIGIDEZ A NIVEL ELEMENTAL

ANALISIS DE LOS DIFERENTES GRADOS DE LIBERTAD

2

4: Se libera a giro el nodo i. Se aplica

rotación positiva θi=

5: Se libera a giro el nodo i. Se aplica

rotación positiva θj=

6: Se libera a desplazamiento en x’ el

nodo i. Se aplica desplazamiento

positivo ui=

7: Se libera a desplazamiento en x’ el

nodo j. Se aplica desplazamiento

positivo uj=

Y’

x’

Y’

x’

Y’

x’

Y’

x’