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CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
1.- CONTINUIDAD
1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO
Decimos que f es continua en a si:
Lim f x f a
x → a
Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:
3 º Limf(x) f(a )
2 º Limf(x) (loslímiteslateralestienenqueseriguales,perono )
1 º f(a) a D
x a
x a
f
→
→
Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable a ∉ D f punto desplazado
Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad de salto finito = ∞ → lim f ( x ) x a x a No f x →
∃ lim ( )
1.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO
Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese intervalo Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y en b por la izquierda
- Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, irracionales…) es continua en su dominio; por tanto, para estudiar la continuidad de una función es suficiente con calcular su dominio.
- El estudio de la continuidad de una función a trozos requiere:
a
a
a
a
o el estudio de la continuidad de cada función en su recinto de definición o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los intervalos de definición
EJERCICIOS:
a) Funciones racionales.
1.- Estudia la continuidad de: x x 2
x 2 x x 2 y (^2)
3 2
− −
x x 2
x 2 x y (^2)
3 2
− −
b) Funciones a trozos.
2.- Representa, estudia la continuidad f(x) =
x 4 x si x 2
2 si 1 x 2
2 si x 1
2
x
y halla los límites cuando x → +∞ y x → −∞ de la función
3.- Estudia la continuidad y representa las funciones:
a) f(x) =
x 8 x si x 2
2 x 2 si 1 x 2
x 2 x 1 si x 1
2
2
b) f(x) =
x 3 x 2 si x 3
1 si 0 x 3
e si x 0
2
x
4.- Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:
k x si x 2
x 1 si x 2 f(x)
5.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:
a) f(x) =
k si x 1
si x 1 x 1
x 4 1
b) f(x) =
k si x 1
si x 1 x 1
x 2 1
2.- DERIVABILIDAD
2.1 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función y = f(x), se llama tasa de variación media al siguiente cociente incremental:
[ ] b a
f(b) f(a ) TVM a,b −
Ejercicios: Halla TVM[-1, 3] en las siguientes funciones.
a) f(x) = x^2 b) f(x) =^3 x
c) f(x )= 2
x −
2.2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. TASA DE VARIACIÓN
INSTANTÁNEA
La derivada de una función f(x) en el punto x = a (tasa de variación instantánea)es un número que se representa por f ' (a), y que se define como:
x a
f(x) f(a ) Lim h
f(a h) f(a ) f '(a) TVI(a) Lim h 0 x a −
→ →
Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) f(x)=x^2 en x = - 1 b) f(x)=^3 x en x =
c) f(x)= 2
x −
en x =
2.3 DERIVADAS LATERALES
Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese límite por la izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos). Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales, por la izquierda y por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de semitangentes en los puntos en los que las derivadas laterales existen (una o ambas).
En la gráfica de la figura existen las derivadas laterales en a, pero no coinciden las semitangentes laterales en x =a, por tanto, diremos que la función no es derivable en x =a. Esto sucederá siempre en los puntos angulosos de las funciones. a
2.4 FUNCIÓN DERIVADA
Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es ∀x 0 ∈(a,b) Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)⊆Dom f, a una función que hace corresponder a cada punto x 0 ∈(a,b) el número real f ' (x 0 )
2.5 REGLAS DE DERIVACIÓN
FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADA
1.- y = f(x) + g(x) y' = f’(x) + g’(x) 2.- y = k · f(x) y' = k · f’(x) 3.- y = f(x) · g(x) y' = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
4.- y = g(x)
f (x) y' = [ g(x )]^2
f '(x)·g(x)−f(x)·g'(x)
5.- y = f [g (x)] y' = f'[g (x)] ·g'(x)
6.- y = k y' = 0 7.- y = x y' = 1 8.- y = xk^ y' = k · xk- 9.- y = sinx y' = cosx 10.- y = cosx y' = -sinx 11.- y = tanx y' =1+ tan^2 x
y' = cos x
2
12.- y = ax^ y' = ax^ · lna
13.- y = ex^ y' =e x
14.- y = logax y' = lna
x
15.- y = lnx y' = x
16.- y = f (g(x) ) y' = f ' (g(x)) · g '(x) Regla de la cadena.
Ejercicio: Halla la función derivada de las siguientes funciones:
a) y = x^5 b) y = (^4) x
c) y = 5 x^3
d) y = 3 7 x 2 e) y = 3x^4 – 5x^2 + 7x +1 f) y = x^3 - 2 x + x
g) y = x^2 · e-x^ h) y = (x^3 – 5x) · lnx i) y = sinx · 53x+
j) y = x 3
x 3 2
2
k) y = (^2)
3
(x 1 )
x
l) y = (^3 ) x 3 x
EJERCICIOS
1.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) f(x) =
x 2 , x 1
x 2 2 , x 1 en x =1 b) f(x) =
x 3 , x 2
2 3 x, x 2 2 en x
= 2
c) f(x) =
x 8 , x 2
2 3 x, x 2 2 en x = 2
2.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas:
a) f(x) =
2 x 4 , x 2
x 2 2 x, x 2 b) f(x) =
1 x, x 0
e x, x 0
3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:
4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:
5.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas:
a. f(x) = | x - 1| b) f(x) = |x^2 - 4 | c) f(x) = |x – 3 | d) f(x) = |x^2 – 2x | e) f(x) = x^2 + 6 x + 8
6.- Sea la función: f(x) =
Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.
7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:
3.- APLICACIÓN DERIVADAS
3.1 RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS.
EJERCICIOS:
1.- Halla la ecuación de la recta tangente a las funciones siguientes en los puntos cuya abscisa se indica:
a) x 3
x 2 x y
2
= en x =3 b) y = x 2
5 x 3 7 x^216 x −
en x = 1
c) y = x + 12 en x = -3 d) y = e-x^ en x = 0
e) y = Ln(x +1) en x = 0 f) y = x lnx en x = e
2.- Halla las ecuaciones de las rectas tangente a y = x^3 + x^2 + 2, paralelas a la bisec- triz del 1er^ y 3er^ cuadrante.
3.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = x^3 – 4x + 3, paralela a la bisectriz del 2º y 4º cuadrante.
4.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = x 1
2 x −
, paralela a la recta 2x + y = 0.
3.2 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU
DERIVADA
- Si f ´(x 0 ) > 0→ f es creciente en x0.
- Si f ´(x 0 ) < 0→ f es decreciente en x0.
EJERCICIOS:
1º.- Estudia la monotonía de las siguientes funciones: a) f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5,
b) f(x) = –3x^4 + 4x^3
c) f(x) = x 2 x
8 3 x (^2) −
- Si una función alcanza un mínimo en un punto c∈(a,b) en el que es derivable , se cumple: - f´(c) = 0 - decreciente a la izquierda de x = c, creciente a la derecha de x = c
EJERCICIO: Halla los máximos y mínimos relativos de las funciones: a) y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5. b) y = –3x^4 + 4x^3
c) f(x) = x 2 x
8 3 x (^2) −
3.4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS
Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]: 1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta anterior 2º.- se calcula f(a) y f(b) 3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto.
EJERCICIOS:
1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x^3 - x - 9 en el intervalo [0,3].
2.- Dada la función f(x) = ax + b + x
calcula a y b de modo que f pase por el punto
(-2, -6) y tenga tangente horizontal en ese punto.
3.- Determina la parábola y = ax^2 + bx + c que es tangente a la recta y =2x-3 en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, -2)
4.- De la función f(x) =mx^3 + nx sabemos que pasa por (1, 1) y que en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y =0. a) Halla m y n. b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
5.- De la función f(x) = x^2 + ax + b se sabe que:
- Tiene un mínimo en x =2.
- Su gráfica pasa por el punto (2, 2). Teniendo en cuenta estos datos, ¿cuánto vale la función en x = 1?
3.5 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Ejercicios de selectividad.
3.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
EJERCICIOS:
1.- a)Representa la función y = f(x), sabiendo que: · Dominio: ℜ −{ 0 } · Corta a OX en x = 1 · Asíntota horizontal y = 0 si x →+∞, y< 0 si x →−∞, y> 0 · Asíntota vertical x = 0 si x→ 0 −^ , y→+∞ si x→ 0 +^ , y→+∞ · Mínimo en (2, -1) b)Di donde crece y donde decrece.
2.- Representa una función que no está definida en x = -3 y tal que:
→ ( −)−
x 3
lim f(x ) y →( −)+
x 3
limf(x )
→ ±∞ si x , f(x) 1
si x , f(x) 1 lim f(x) 1 x No tiene puntos singulares y es creciente.
3.- De una función y = f(x) tenemos la siguiente información: D = ℜ−{ 1 , 4 }
→^ −
x 1
lim f(x ) y →+
x 1
limf(x )
→^ −
x 4
lim f(x ) y →+
x 4
limf(x )
→ ±∞ si x , f(x)^0
si x , f(x) 0 lim f(x) 0 x
f’(2) = 0; f(2) = -
f´(-1) = 0; f(-1) = -
Represéntala.
