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INSTITUTO TECNOL OGICO METROPOLITANO´
Matem´aticas B´asicas
Profesor: Grupo de docentes de Matem´aticas B´asicas
1. Potenciaci´on y Radicaci´on
1.1. Potenciaci´on
Introducci´on As´ı como cuando se tiene una suma repetida x + x + x + x + x se expresa m´as f´acil de
la forma 5x. As´ı mismo, podemos escribir el producto repetido x· x· x· x· x de manera m´as eficiente con
exponentes.
Definici´on 1.1 Sea x un n´umero real y n un n´umero natural, el s´ımbolo xn^ se llama la potencia
n−´esima de x, y representa el producto n veces de x. As´ı
x
n
n veces x ︷ ︸︸ ︷ x· x · · · x
donde x es la base y n es el exponente. Se lee usualmente como ((x elevado a la n))
Algunos casos particulares son: cuando n = 2, se lee elevado al cuadrado y cuando n = 3 se dice que est´a
elevado al cubo.
Ejemplo 1.2 1. 7
5 = 7 ∗ 7 ∗ 7 ∗ 7 ∗ 7 = 16807
4 = (−6) ∗ (−6) ∗ (−6) ∗ (−6) = 1296
4 = − 6 ∗ 6 ∗ 6 ∗ 6 = − 1296
- (5x)
3 = (5x) ∗ (5x) ∗ (5x)
- (x − y)
2 = (x − y) ∗ (x − y)
Observaci´on: CUIDADO De los ejemplos 2. y 3. se nota que (−x)
n 6 = −x
n en algunos casos
A continuaci´on damos la definici´on de potencia n−´esima de x para n en los enteros
Definici´on 1.3 Para un n´umero real x que no sea cero y un entero positivo n, el s´ımbolo x
−n representa
el rec´ıproco de xn, es decir,
x
−n
xn^
, para x 6 = 0
Para n = 0, se define x
n = x
0 = 1
Ejemplo 1.4 1. 3
− 4
− 5
(−2)^5
- (7y)−^3 =
(7y)^3
- (3z − w)
− 2
(3z − w)^2
Leyes de los exponentes. Se han establecido varias reglas para combinar potencias, llamadas leyes
de los exponentes
Sean x y y n´umeros reales, m y n enteros, se tienen las siguientes leyes para los exponentes
- x
m x
n = x
m+n
- (x
m )
n = x
mn
xm
xn^
= xm−n
- (xy)n^ = xnyn
x
y
)n
=
x
n
yn
Otras leyes que se concluyen de las anteriores son:
x
y
)−n
=
y
x
)n
x−n
y−m^
ym
xn^
x
n
y−m^
= x
n y
m
x−n
ym^
xnym
Observaci´on: CUIDADO (x ± y)n^6 = xn^ ± yn, por ejemplo para x = 3, y = 4, n = 2, se tiene
(3 + 4)^2 = 49 6 = 25 = 3^2 + 4^2
Ejemplo 1.5 Simplificar y expresar con exponentes positivos:
1. 3 −^732 = 3−7+2^ = 3−^5 =
3
(−2)^5
3 − 5 = (−2)
− 2
(6x)
− 3
= (6x)
− 12
(6x)^12
−xy^2 z^3
(x^3 y^5 z^2 )−^2
= (−xy
2 z
3 )(x
3 y
5 z
2 )
2 = −xy
2 z
3 x
6 y
10 z
4 = −x
7 y
12 z
7
x−^1 + y−^1
(x + y)−^1
x
y
1
x + y
y + x
xy
1
x + y
(x + y)(x + y)
xy
(x + y)^2
xy
1.2. Radicaci´on
Sabemos lo que 3
n significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una potencia cuyo
exponente es un n´umero racional, por ejemplo 3
2 / 7 , necesitamos estudiar radicales
Definici´on 1.6 Sean x un n´umero real y n entero positivo mayor que 2 , entonces la ra´ız n−´esima
principal de x se define como el n´umero r que cumple:
√ n x = rsignifica que r
n = x
donde x se llama el radicando o subradical y n el ´ındice.
Observaci´on: Con la definici´on anterior, las leyes de los exponentes para exponentes enteros, se
cumplen para exponentes racionales.
Ejemplo 1.10 Simplificar y expresar con exponentes positivos:
- 3 x^7 /^3 5(xy)^8 /^3 y^2 /^3 = 15x^7 /3+8/^3 y^8 /3+2/^3 = 15x^15 /^3 y^10 /^3 = 15x^5 y^10 /^3
2 x
9 / 5 y
− 7 / 2
43 x−^4 /^3 y−^5 /^2
64 x
9 /5+4/ 3 y
− 7 /2+5/ 2
= x^47 /^15 y−^1 =
x
47 / 15
y
(xy)^7 /^8
x^2 y−^9 /^8
((xy)^7 /^8 )^4
(x^2 y−^9 /^8 )^4
(xy)^28 /^8
x^8 y−^36 /^8
(xy)^7 /^2
x^8 y−^9 /^2
x^7 /^2 y^7 /^2
x^8 y−^9 /^2
= x^7 /^2 −^8 y^7 /2+9/^2 = x−^9 /^2 y^8 =
y
8
x^9 /^2
