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TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
ÍNDICE
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
Unidad I
ES ESTTÁÁTTIICCAA DDEE LLAA PPAARRTTÍÍCCUULLAA
1. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE FUERZAS
Las FUERZAS se pueden representar a través de VECTORES los cuáles son entidades matemáticas que poseen:
- Norma o Módulo del Vector: es la magnitud o tamaño de la flecha.
- Dirección: es el ángulo que forma la línea de acción del vector con respecto a un eje de referencia.
- Sentido: es la orientación de la flecha.
Es importante indicar que el punto donde se origina el Vector se llama PUNTO DE APLICACIÓN.
Figura 1.
Las operaciones que se pueden realizar con los Vectores son las siguientes:
- Suma y Resta Vectorial
- Descomposición Vectorial
- Producto de un Escalar por un Vector
- Producto Escalar de Vectores (también llamado producto punto)
- Producto Vectorial de Vectores (también llamado producto cruz)
Todas estas operaciones tienen aplicaciones en la Mecánica. La suma, resta y descomposición vectorial se utilizan al aplicar la primera condición de equilibrio.
5 Kg.
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El producto de un vector por un escalar y el producto cruz se utilizan al aplicar la segunda condición de equilibrio a cuerpos rígidos ósea en estática tridimensional. Y finalmente el producto escalar de vectores se utiliza para determinar el trabajo realizado por una partícula en una trayectoria curvilínea.
Es importante que el alumno aprenda las operaciones vectoriales básicas para poder aplicar estas técnicas en problemas reales. La ventaja de la mecánica vectorial es que es un método generalizado bajo las reglas operativas entre vectores, lo cual puede despojar de los complejos ropajes que un problema puede llevar y permite que veamos la esencia del mismo. Si bien los vectores son entes matemáticos abstractos sus aplicaciones son muy útiles a situaciones prácticas como ya se verá más adelante.
2. OPERACIONES VECTORIALES
2.1. SUMA Y RESTA DE DOS VECTORES
Se define la suma vectorial como el reemplazo de un conjunto de vectores que se están "sumando" por otro único vector al cual se le denomina "resultante" y que físicamente produce el mismo efecto que los vectores sumados. Existen varios métodos para determinar la resultante, geométricos y analíticos.
2.2. MÉTODOS GEOMÉTRICOS
2.2.1. POR TRIANGULACIÓN
a. Suma:
b. Resta:
Figura 1.
A
A
B
A
B
R = A + B
A
B
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2.4. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
La descomposición vectorial es la operación inversa a la suma de dos vectores. Es decir que consiste en separar o descomponer un vector en dos vectores tales que sumados vectorialmente den como resultado el vector que se quiere descomponer. La descomposición de un vector en dos dimensiones se puede realizar sobre cualquier par de rectas no paralelas.
Figura 1.
Pero la descomposición que cobra importancia es aquella cuando entre las rectas de descomposición existe un ángulo recto de separación; a este tipo de descomposición se le llama DESCOMPOSICIÓN EN COMPONENTES RECTANGULARES.
Figura 1.
P = F
Q = F
VECTOR : F = Fx i + Fy j
COMPONENTE EN EL EJE "x": Fx = Fcosθ COMPONENTE EN EL EJE "y": Fy = Fsenθ
MÓDULO: F DIRECCIÓN: θ ( medido siempre desde "+x") VECTOR UNITARIO EN "X": i VECTOR UNITARIO EN "Y": j
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2.5. SUMA DE TRES O MÁS VECTORES
Cuando se suman tres o más vectores se procede de la siguiente manera:
- Se descomponen todos los vectores en sus componentes rectangulares. La dirección siempre se debe tomar respecto al eje "+x".
- Se suman algebraicamente las componentes a lo largo de cada eje. Así se tienen las resultantes a lo largo de cada eje:
- La resultante Vectorialmente es:
- El módulo y dirección de este vector son:
EJEMPLO: Determine la resultante de los siguientes vectores.
Figura 1.
β
α --γ
A B
C
x
y
Rx = ΣVx
Ry = ΣVy
F = Rx i + Ry
R = Rx^2 + Ry^2
Rx
Ry
θ = arctg
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Figura 1.9a Fuerzas Concurrentes Figura 1.9b Fuerzas en el Plano Figura 1.
4. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO- TRIDIMENSIONAL
La forma vectorial de la primera condición de equilibrio es la más apropiada en el caso de problemas tridimensionales. El procedimiento es el siguiente:
Paso 1: determine el vector de dirección de la fuerza. Utilice las medidas de la geometría del problema.
Paso 2: Determine el vector unitario de dirección de la fuerza.
Vector de Dirección AB = dx i + dy j + dz k
Medida en el eje "x": dx
Medida en el eje "y": dy
Medida en el eje "z": dz
Vector Unitario de Dirección μ AB = . AB .
AB
Vector de Dirección: AB Módulo del Vector Dirección: AB= √ dx ² + dy ² + dz ²
RA↑ (^) ↑ RB
A B
L/2 F L/
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Paso 3: La fuerza en forma vectorial será:
Paso 4: Aplique la PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO en forma vectorial.
Normalmente después de aplicar la primera condición de equilibrio, queda un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas el cuál se puede resolver por cualquier método algebraico o matricial.
Problema 01
Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho mostrado en la figura. Sabiendo que P tiene un valor de 60 libras y Q tiene un valor de 25 libras, determine gráficamente la magnitud y dirección de su resultante usando:
- la ley del paralelogramo.
- la regla del triangulo.
Figura 1.
Σ F = 0
Fuerza Vector: F = F μ AB
Módulo de la Fuerza: F
Vector Unitario de Dirección: μ AB
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Problema 04
Los elementos estructurales A y B están remachados al apoyo mostrado en la figura. Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el elemento A es de 15 kN, y en el elemento B es de 15kN, determine por trigonometría la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B.
Figura 1. Problema 05
Determine las componentes x y y de acuerdo a la figura mostrada.
Figura 1.
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Problema 06
Determine las componentes x y y de acuerdo a la figura mostrada.
Figura 1.
Problema 07
El elemento CB de la prensa de banco mostrada en la figura, reejerce sobre el bloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente horizontal de P tiene una magnitud de 1200 N, determinar:
- La magnitud de la fuerza P.
- La componente vertical.
Figura 1.
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Problema 10
Sabiendo que α tiene un valor de 40º, determinar la resultante de las tres fuerzas mostradas
Figura 1.
Problema 11
Sabiendo que αtiene un valor de 20º, determinar:
- La pensión en el cable AC.
- La cuerda BC.
Figura 1.
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Problema 12
Sabiendo que αtiene un valor de 55º y que el mástil AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determinar:
- la magnitud de esta fuerza.
- la tensión en el cable BC.
Figura 1.
Problema 13
La conexión soldada de la figura se encuentra en equilibrio sometida a la acción de cuatro fuerzas. Sabiendo que Fa tiene un valor de 8kN y Fb tiene un valor de 16kN, determinar la magnitud de las otras fuerzas.
Figura 1.
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Figura 1.
Problema 18
Dos cables se amarran en C y se cargan como se muestra en la figura. Sabiendo que la pensión máxima permisible en cada cable es 800N, determine:
- la magnitud de la máxima fuerza P que puede ser aplicada en C.
- el valor correspondiente de α.
Figura 1.
Problema 19
El collarín A esta conectado a una carga de 50 libras y se puede deslizar sin fricción sobre la barra horizontal, de acuerdo a la figura adjunta. Determine la magnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarín en equilibrio cuando x tiene un valor de 4.5 pulgadas y cuando x tiene un valor de 15 pulgadas.
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Figura 1.
Problema 20
Una carga de 160 kilogramos esta sostenida por el sistema de poleas y cuerdas mostradas en la figura. Sabiendo que βtiene un valor de 20º, determine la magnitud y la dirección de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.
Figura 1.
Problema 21
Una caja de madera de 600 libras esta sostenida por varios arreglos de poleas y cuerdas, como se muestra en la figura. Determinar para cada arreglo la pensión en la cuerda.
