¡Descarga Problemas de Algebra Lineal Tardor 2017 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
1. Espais vectorials
1.1 Determineu quins dels seg¨uents conjunts s´on subespais vectorials de Rn, n ≥ 3:
F 1 = Rn^ \ {(2,... , 2)} F 2 = Rn^ \ {(x 1 ,... , xn); x 1 + · · · + xn = 0} F 3 = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; x 1 · x 2 = 1} F 4 = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; x 1 + · · · + xn = 1} F 5 = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; x 1 · x 2 6 = 1} F 6 = {(x 1 , · · · , xn) ∈ Rn; x 1 + 3xn = 0} F 7 = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; x 1 x 2 + x 3 = x 1 } F 8 = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; 2x 1 + x 2 =
2 x 1 }
1.2 Determineu quins dels seg¨uents conjunts s´on subespais vectorials de E = R[x]:
F 1 = { p(x) ∈ E; p(3) = 0 } F 2 = { p(x) ∈ E; p′(3) = 0 } F 3 = { p(x) ∈ E;
0 p(x)dx^ ≤^100 }^ F^4 =^ {^ p(x)^ ∈^ E;^
0 p(x)dx^ = 0^ } F 5 = { p(x) ∈ E; gr(p(x)) ´es parell } F 6 = { p(x) ∈ E; gr(p(x)) > 4 }.
1.3 Determineu quins dels seg¨uents conjunts s´on subespais vectorials de E=Mm×n(R):
F 1 = {A = (aji ) ∈ E; a^11 = 0} F 2 = {A = (aji ) ∈ E; a^11 + a^21 = 0} F 3 = {A = (aji ) ∈ E; tr(A) = 0} F 4 = {A = (aji ) ∈ E; aji = 2π ∀i, j} F 5 = {A ∈ E; A = At} F 6 = {A ∈ E; A = −At}.
1.4 Sigui X un conjunt arbitrari i K un cos. Denotem per F(X, K) el conjunt d’aplicacions de X en K. Si f, g ∈ F(X, K), λ ∈ K, es defineixen la suma de f i g, f + g i el producte de λ per f , λ · f per (f + g)(x) := f (x) + g(x), (λ · f )(x) := λ · (f (x)), per a tot x ∈ X. Proveu que F(X, K) amb aquestes operacions ´es un K-espai vectorial. En el cas en que X = N ´es el conjunt de n´umeros naturals, F(N, K) s’anomena l’espai vectorial de les successions de K.
1.5 Determineu quins dels seg¨uents conjunts s´on subespais vectorials de E = F(R, R):
F 1 = {f ∈ E; f (−x) = f (x) ∀x ∈ R} F 2 = {f ∈ E; f (−x) = −f (x) ∀x ∈ R} F 3 = {f ∈ E; f (x^2 ) = (f (x))^2 ∀x ∈ R} F 4 = {f ∈ E; f (5 − x) = f (x) ∀x ∈ R} F 5 = {f ∈ E; f (π) = 0} F 6 = {f ∈ E; f (π) = π} F 7 = {f ∈ E; f (0) = f (1)} F 8 = {f ∈ E; f (0) 6 = 0, f (x) = 0 ∀x ∈ R \ { 0 }} F 9 = {f ∈ E; f (x) = 0 ∀x ∈ R llevat un n´umero finit} F 10 = {f ∈ E; 0 ≤ f (x) ≤ 1 ∀x ∈ R}.
1.6 Sigui E = F(R, R). Expresseu, si ´es possible, l’element de E com a combinaci´o lineal de la familia corresponent:
sin x; { 1 , x, x^2 ,... } 1; {x + 1, x^2 − 1 , x^3 + 1} x^2 + x − 1; { 1 , x − 1 , (x − 1)^2 } 0; {(x + 1)^2 , x, x^2 + 2,
1.7 Determineu quins dels seg¨uents conjunts de matrius s´on linealment dependents:
S 1 =
; S 2 =
1.8 Determineu quins dels seg¨uents subconjunts de F(R, R) s´on linealment independents:
S 1 = {sin x, cos x, 1 }, S 2 = {ex, ex+1}, S 3 = {ex, e−x, 1 }, S 4 = {eaix; 1 ≤ i ≤ n}.
on a 1 ,... , an ∈ R.
1.9 Sigui E = R[x]. Determineu quins dels seg¨uents subconjunts de E s´on linealment independents i trobeu bases dels subespais 〈Sj 〉 que generen.
S 1 = { 1 , x, x^2 ,... } S 2 = {x − 1 , x^2 − 1 , x − 2 } S 3 = { 1 , x − 1 , x^2 − 2 ,... , xn^ − n} S 4 = {1 + x + x^2 , 1 + x + x^3 , 1 + x} S 5 = { 1 , (x − 1), (x − 1)^2 ,... , (x − 1)n} S 6 = {x^3 − 1 , x^2 , x^4 − 1 , x^4 − x^3 + x^2 }
1.10 Sigui E = R[x]≤ 3. Proveu que el subconjunt F de E de polinomis p(x) tals que
∫ (^1)
− 1
p(x)dx = p(0)
es un subespai vectorial de E. Trobeu una base de F i un sistema d’equacions de F en la base { 1 , x, x^2 , x^3 } de E.
1.11 Considerem a E = R[x]≤ 3 la base B = { 1 , x, x^2 , x^3 }.
(1) Calculeu la dimensi´o, una base i equacions en la base B del subespai
F = 〈x + 1, x − 2 , x^3 + x^2 , 2 x^3 + 2x^2 + x + 3〉
(2) Determineu per a quins valors de α el conjunt G = {p(x) ∈ E; p′(0) = α} ´es un subespai vectorial. Per aquests valors calculeu la dimensi´o, una base i equacions de G. (3) En els casos en que G ´es subespai vectorial, calculeu la dimensi´o, una base i equacions de F ∩G i de F + G.? Es directa la suma´ F + G?
1.12 Demostreu que el conjunts seg¨uents s´on subespais de E = M 2 × 2 (R):
F =
x y z t
∈ E; x + t = 0
G =
x y z t
∈ E; y = −z, x = t
Determineu una base de F ∩ G i amplieu-la a una base de F i a una base de G. Determineu una base de F + G. Comproveu la f´ormula de Grassmann.
1.21 Sigui E = R^4 i siguin
F = 〈(0, 1 , 0 , 0), (1, 0 , 0 , 2)〉 ⊂ E, G = {(x, y, z, t) ∈ E; x − y + z = 0, x − y = 0}.
(1) Calculeu las dimensions de F , G, F ∩ G i de F + G y doneu bases de cadascun del subespais. (2) Determineu una base de cadascun dels espais quocient F/F ∩ G, G/F ∩ G, E/F , E/G, E/(F ∩ G) i E/(F + G).
1.22 Siguin E = R 3 [x] i els subespais
F =< x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2) > G = { p(x) ∈ E | p(−1) = 0 }
(1) Calculeu les dimensions de F ∩ G i de F + G i doneu-ne bases i equacions. (2) Doneu una base de cada un dels espais quocients E/F , E/G, E/F ∩G i E/F +G. Considereu en cadascun la classe del polinomi constant 1 i determineu les seves coordenades en la base que hagueu triat. (3) Doneu una base dels espais quocients F/F ∩ G, G/F ∩ G i F + G/F ∩ G.
1.23 Sigui F el subespai de l’espai vectorial E = M 2 × 2 (R) generat per les matrius ( 1 1 0 1
i sigui G el subespai de E format per les matrius {( x y z t
; tals que x + t = 0
(a) Doneu una base de F , G, F ∩ G i F + G. (b) Doneu bases de E/F , E/G, G/(F ∩ G) i F/(F ∩ G). (c) Doneu les coordenades de la classe de la matriu identitat en E/F en la base que has donat en l’apartat anterior.
