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Matem´aticas I. Grupo 1o^ C. Curso 2013/14. Tema 4: C´alculo integral en una variable. 7 problemas resueltos y 45 propuestos.
Problema resuelto 42.- Calcula las siguientes integrales
(a)
2 x^3 − 3 x + 5 x dx =
x^3 − 3 x + 5L|x| + C
(b)
sin^2 (x)dx =
1 − cos 2x 2
dx = x 2
sin 2x 4
(c)
cos^2 (x)dx =
1 + cos 2x 2
dx = x 2
sin 2x 4
(d)
tan^2 (x)dx =
sin^2 x cos^2 x dx =
1 − cos^2 x cos^2 x dx =
cos^2 x − xdx = tan x − x + c
(e)
dx sin^2 (x) cos^2 (x)
( dx 1 −cos 2x 2
) (1+cos 2x 2
4 dx 1 − cos^2 2 x
4 dx sen^2 2 x = −2 cot 2x + c
Problema resuelto 43.- Calcula las siguientes integrales
(a)
(u(x))au′(x)dx = u(x)a+ a + 1
(b)
sen^3 (x) cos(x)dx = sen^4 (x) 4
(c)
1 − x^2 dx
En
1 − x^2 dx hacemos el cambio x = sen t, de manera que dx = cos tdt. Finalmente deshacemos el cambio. Esto es: ∫ (^) √ 1 − x^2 dx =
cos^2 tdt =
1 + cos 2t 2 dt =
t 2
sen 2t 4
arcsin x 2
x
1 − x^2 2
Problema resuelto 44.- Calcula la siguiente integral ∫ dx 3 + 5 cos(x)
Soluci ´on: Importante Un cambio muy habitual y que suele resolver integrales trigonom´etricas es
t = tan x 2
en este caso tenemos que
x = 2 arctan t, dx =
1 + t^2 dt sen x = 2 t 1 + t^2 cos x = 1 − t^2 1 + t^2
Entonces ∫ dx 3 + 5 cos(x)
1+t^2 dt 3 + 5^1 1+−tt^22
4 − t^2 dt =
dt 2 − t
dt 2 + t
(− ln | 2 − t| + ln |2 + t|) + c =
ln 2 + t 2 − t
2 + t 2 − t
Deshaciendo el cambio (^) ∫ dx 3 + 5 cos(x)
= ln 4
2 + tan x 2 2 − tan x 2
Problema resuelto 45.- Calcula las siguientes integrales
(a)
sin^5 (x) cos(x)dx, (b)
tan(x)dx, (c)
x log(x) dx,
(d)
x 1 + x^2 dx, (e)
√e^2 x ex^ + 1
dx, (f )
1 − x^2 dx,
Soluci ´on: (a)
sen^5 (x) cos(x)dx = sen^6 x 6
+ C
(b)
tan(x)dx =
sen x cos x dx = − ln cos x + C
Para resolver (c) hacemos el cambio t = log(x), de manera que dt = dxx ∫ 1 x log(x) dx =
dt t = log t + C = log(log x) + C
(d)
x 1 + x^2 dx =
2 x 1 + x^2 dx =
ln(1 + x^2 ) + C
Para resolver (e) hacemos el cambio t =
ex^ + 1, de manera que t^2 = ex^ + 1, ex^ = t^2 − 1 , x = ln(t^2 − 1), dx = (^) t^22 tdt− 1 y e^2 x^ = (t^2 − 1)^2. Entonces
(e)
e^2 x √ ex^ + 1
dx =
(t^2 − 1)^2 t
2 tdt t^2 − 1
2(t^2 −1)dt = 2 t^3 3 − 2 t+C =
ex^ + 1)^3 3
ex^ + 1+C
Para resolver (f ) hacemos el cambio x = cos t, , de manera que dx = − sen tdt, x^2 = cos^2 t, 1 − x^2 = sen^2 t, sen t =
1 − x^2
(f )
1 − x^2 dx = −
1 − cos^2 t sen tdt = −
sen^2 tdt =
cos 2t − 1 2 dt =
sen 2t 4
t 2
+ C =
sen t cos t − t 2
+ C =
x
1 − x^2 − arc cos x 2
+ C
Problema resuelto 46.- Calcula las siguientes integrales
(a)
log(x)dx (b)
x sin(x)dx
Problema 109.- Calcula las siguientes integrales
(a)
xexdx, (b)
x sin(x)dx, (c)
log(x)dx,
(d)
log(x) x dx, (e)
ex^ sin(x)dx, (f )
log^2 (x)dx,
Problema resuelto 48.- Calcula las siguientes integrales
(a)
(3x^2 − 2 x^4 )e^3 xdx, (b)
ekx^ sin axdx, (c)
x^5 + 4x^3 + 2x^2 + 2x − 6 x^3 − 1 dx
Soluci ´on:
(c)
x^5 + 4x^3 + 2x^2 + 2x − 6 x^3 − 1 dx =
x^2 + 4 +
x − 1
3 + 2x x^2 + x + 1 dx = ∫ x^2 dx +
4 dx +
x − 1 dx +
2 x + 1 x^2 + x + 1 dx +
x^2 + x + 1 dx =
x^3 3
- 4x + ln |x − 1 | + ln(x^2 + x + 1) + 2
x + (^12)
dx = (∗)
Hacemos esta ´ultima integral aparte ∫ 1 ( x + (^12)
dx =
√^2 3
x + (^12)
))^2
dx =
√^2 x 3 +^ √^1 3
dx =
(^3
√ 3 3 (2x^ + 1)
dx =
arctan
(2x + 1)
finalmente
(∗) =
x^3 3
- 4x + ln |x − 1 | + ln(x^2 + x + 1) +
arctan
(2x + 1)
+ C
Problema 110.- Calcula las siguientes integrales ∫ (^) dx (sen x)^2 ·(cos x)^2
∫ (^3) x+ 9 x− 4 dx^
e
√x dx ∫ (^) dx sinh x + 2 cosh x
∫ (^2) x− 3 (x−1)(x+7) dx^
x(log x)^7 dx ∫ ex^ sen ex^ dx
ex^ sen x dx
∫ (^) x (3x^2 +5)^2 dx ∫ x arc cos x dx
sen^4 x dx
sen^2 x · cos^3 x dx ∫ (^) dx √ 9 −x 2
1 + ex^ dx
1+ex^ dx ∫ (^2) x (^3) − 3 x+ x dx^
∫ (^) x (x+1)^2 dx^
∫ (^2) x− 3 (x^2 +1)^2 dx ∫ (^) dx (x+1)(x^2 +1)
∫ (^) x (^2) − 2 x+ x^3 − 1 dx^
xex^2 dx
Problema 111.- Calcula las siguientes integrales
(a)
1 − 3 x ((x + 3)^2 + 1)^2 dx, (b)
x + 52 (x + 2)(x^2 − 2 x + 2)^2 dx
Problema 112.- Sea f : (0, ∞) → R una funci ´on cuya primera derivada es f ′(x) = (^) x (^2) (x^12 +1). Halla f sabiendo que f (1) = 0.
Problema 113.- Decide cu´ales de las siguientes funciones son integrables sobre [0, 2] y calcula el valor de la integral cuando ´esta exista:
f (x) =
x 0 ≤ x < 1 x − 2 1 ≤ x ≤ 2
g(x) =
x 0 ≤ x ≤ 1 x − 2 1 < x ≤ 2
h(x) = x + [x] l(x) =
x + [x] x ∈ Q 0 x ̸∈ Q
Problema 114.- Dar un ejemplo de funci ´on f definida en un intervalo [a, b], no integrable y tal que f 2 sea integrable.
Problema 115.- a) Demuestra que si f : [a, b] −→ R es integrable y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces (^) ∫ (^) b
a
f (x) dx ≥ 0.
b) Demuestra que si f, g : [a, b] −→ R son integrables y f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces ∫ (^) b
a
f (x) dx ≥
∫ (^) b
a
g(x) dx.
c) Si f : [a, b] −→ R es integrable, f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y
∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ = 0, ¿es^ f^ ≡^0? d) Si f : [a, b] −→ R es continua, f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y
∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ = 0, ¿es^ f^ ≡^0?
Problema 116.- Comprueba que
0
1 + x^2 dx 6
sin calcular la integral.
Problema 117.- Expresa como integrales los siguientes l´ımites:
n^ l´→∞ım
∑^ n
k=
2 n + k nl´→∞ım
∑^ n
k=
(n − k)k n^3
Problema 118.- Calcula los siguientes l´ımites expres´andolos como l´ımites de suma de Riemann:
n^ l´→∞ım
1 r^ + 2r^ + · · · + nr nr+^ , r > (^0) nl´→∞ım(
n^2
n(n + 1)
n(n + n)
Problema 130.- a) Comprueba que para cada valor de p > 0 ∫ (^) ∞
1
sen x xp^ dx es convergente.
b) Comprueba que si α ∈ (− 2 , 0), ∫ (^) ∞
0
xα^ sen x dx es convergente.
Problema 131.- Calcula
x^ l´→∞ım x^2
∫ (^1) x
0
sen(
3 t)e−t 2 dt.
Problema 132.- Dada la funci ´on f (x) = (^) x^12
∫ √x 0 s^ log(s
(^2) + 1) ds,
a) calcula l´ımx→∞ f (x).
b) encuentra f (1).
Problema 133.- Sea A el ´area entre la gr´afica de f (x) =
x y el intervalo [0, 1] y B el ´area entre la gr´afica de f (x) = x^2 y el intervalo [0, 1]. Explica geom´etricamente porqu´e A + B = 1.
Problema 134.- Sea A el ´area entre la gr´afica f (x) = (^1) x y el intervalo [1, 2], y sea B el ´area entre la gr´afica de f y el intervalo [^12 , 1]. Explica geom´etricamente porqu´e A = B.
Problema 135.- Halla el ´area encerrada por
(1) y = x^2 , x = 1, x = 3, y = 0.
(2) 2 − y − y^2 = x y x = 0.
(3) f 1 (x) = 2 − x^2 y f 2 (x) = x (^23) .
(4) y^2 = 2px y x^2 = 2py con p ∈ R.
(5) y = x 2 3 e^ y^ = 4^ −^
2 3 x
(6) y = ex^ e y = x, x = 0 y x = 1.
(7) y = x^2 e y = 2x − x^2.
(8) y = x − 1 e y^2 = 2x + 6.
Problema 136.- Halla el ´area de la elipse dada por x = a cos t, y = b sen t, t ∈ [0, 2 π].
Problema 137.- Halla el ´area de un arco del cicloide x = r(t − sen t), y = r(1 − cos t), t ∈ [0, 2 π].
Problema 138.- Halla el ´area encerrada por x = t^2 e y = t^3 − 3 t. Lo mismo para x = t − (^1) t , y = t + (^1) t e y = 52.
Problema 139.- Halla el ´area de la curva dada en coordenadas polares r^2 = a^2 cos 2t (lemmiascata de Bernouilli).
Problema 140.- Halla las siguientes ´areas dadas en coordenadas polares:
(1) r = (^1) t , π 6 ≤ 56 π.
(2) r^2 = 4 cos(2t).
(3) r = sen(3t).
(4) r = 3 + sen t y r = 1 + sen t.
Problema 141.- Encontrar las f ´ormulas para la posici ´on y la velocidad para el caso de una part´ıcu- la en movimiento rectil´ıneo que tiene una aceleraci ´on constante a, y de la que sabemos que en el tiempo t = 0, s(0) = s 0 y v(0) = v 0.
Problema 142.- Un autob ´us ha parado para recoger a un pasajero y una mujer esta corriendo a una velocidad constante de 5 m/s para cogerlo. Cuando ella est´a a 11m detr´as de la puerta delantera, el autob ´us arranca con una aceleraci ´on constante de 1 m/s^2. Desde ese punto en el tiempo ¿Cu´anto tardar´a la mujer en alcanzar la puerta frontal del autob ´us si ella sigue corriendo a una velocidad constante de 5 m/s? Explica los resultados.
Problema 143.- Un coche rojo y otro azul salen juntos de Madrid, por la misma carretera, a la 1
de la tarde. La funci ´on de la velocidad para el coche rojo es de vr(t) = 320 ln(x) x km/h y para el
azul es de va(t) = 280 ln(x) x km/h. Esboza las gr´aficas de vr y va. ¿Qu´e representa el ´area de entre
las dos curvas? Calcula dicha ´area pasadas las 2 primeras horas. Comprueba que tu resultado es adecuado calculando la distancia que ha recorrido cada coche durante las dos primeras horas.
Problema 144.- Describe el problema anterior si en lugar de salir por la misma carretera uno se dirige al norte y otro al sur.
Problema 145.- Demuestra que la velocidad promedio de un autom ´ovil en un periodo [t 1 , t 2 ] es la misma que el promedio de sus velocidades durante el viaje.
Problema 146.- El valor promedio de una funci ´on sobre un intervalo no acotado I = [a, ∞) se
puede definir como (^) xl´→∞ım
∫ (^) x a f^ (s)ds x − a en el caso de que exista. Halla el valor promedio de la funci ´on
f (x) = log(x) x sobre el intervalo I = [1, ∞).
Problema 147.- ¿Qu´e hay mal en la siguiente cadena de igualdades?
− 1
1 x^2 =^
[
− (^1) x
] 1
− 1 =^ −(1^ −
Problema 148.- Supongamos que soltamos un c´entimo (2.3 g) desde la terraza de la Torre Picasso (157 m de altura) Utilizando la constante gravitacional como g = 9, 8 m/s^2. (ignoramos el viento, la resistencia del aire, etc.) ¿Cu´anto tarda en caer el c´entimo hasta el suelo? ¿Con qu´e energ´ıa llega?.
Problema 149.- (a) Encuentra el volumen del s ´olido que se obtiene al girar la regi ´on delimitada por y = 2x − x^3 y el eje x, alrededor del eje y. (b) Encuentra el volumen del s ´olido que se obtiene al girar la regi ´on delimitada por y = x^3 , y = 8 y x = 0 alrededor del eje y.
