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1 Números racionales
INTRODUCCIÓN
Esta unidad desarrolla conceptos y técnicas ya conocidos de otros cursos. Sin embargo, es conveniente repasar las distintas interpretaciones que ofrecen las fracciones, las diferencias de interpretación de fracciones positivas y negativas, y la diferencia entre fracciones propias e impropias. A lo largo de la unidad se resolverán operaciones tales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y obtención del común denominador de varias fracciones, que pondrán de manifiesto su utilidad para resolver problemas de la vida diaria. Conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos. Además, se trabajará la relación entre los números racionales y los números decimales, aprendiendo a pasar de unos a otros. Se practicará la lectura y escritura de números decimales exactos y su expresión en forma de fracciones decimales.
RESUMEN DE LA UNIDAD
- Dos fracciones sonequivalentes si se cumple quea ⋅ c = b ⋅ d.
- Fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar.
- Paracomparar, sumar y/o restar fracciones, estas deben tener igual denominador.
- Elproducto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y con denominador, el producto de los denominadores.
- Paradividir fracciones se realiza el producto cruzado de los términos de cada una de ellas.
- El conjunto de losnúmeros racionales lo forman los números enteros y los números fraccionarios.
a b
d c
y
1. Reconocer las formas de representación que tiene una fracción. 2. Reconocer y obtener fracciones equivalentes a una dada. 3. Amplificar y simplificar fracciones. 4. Reducir fracciones a común denominador. 5. Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. 6. Obtener la forma decimal de una fracción. 7. Reconocer los diferentes tipos de números decimales. 8. Obtener fracciones a partir de números decimales. - Numerador y denominador. - Representación escrita, numérica, gráfica y en la recta. - Obtención de fracciones equivalentes a una dada. - Amplificación de fracciones. - Simplificación de fracciones. - Fracción irreducible. - Obtención del común denominador de varias fracciones. - Comparación de fracciones. - Suma y resta de fracciones. - Multiplicación y división de fracciones. - Expresión de fracciones en forma decimal. - Decimal exacto. - Decimal periódico puro. - Decimal periódico mixto. - Expresión de números decimales como fracciones. - Utilización de dibujos y expresiones. - Identificación de una fracción. - Representación de una fracción. - Obtención de fracciones equivalentes. - Determinación de si dos fracciones son equivalentes. - Obtener fracciones equivalentes por amplificación y simplificación. - Reconocimiento de la fracción irreducible. - Búsqueda del denominador común de dos fracciones. - Ordenación de un conjunto de fracciones. - Operaciones con fracciones. - Operaciones combinadas. - Obtención de la expresión decimal de una fracción. - Distinción de los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. - Cálculo de la expresión fraccionaria de un número decimal exacto o periódico.
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
ADAPTACIÓN CURRICULAR
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 1
RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA FRACCIÓN
Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador.
- Denominador → Partes en que se divide la unidad.
- Numerador ⎯→ Partes que tomamos de la unidad.
FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA FRACCIÓN
Una fracción se puede representar de distintas formas:
- Representación escrita. • Representación gráfica.
- Representación numérica. • Representación en la recta numérica.
NUMERADOR = 3
Fracción: DENOMINADOR = 4
- Denominador → Dividimos la unidad en cuatro partes iguales.
- Numerador → Tomamos tres partes del total.
3 4
EJEMPLO
F
F F
F
EJEMPLO
REPRESENTACIÓN ESCRITA
REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Dos quintos
Cuatro séptimos
Cuatro tercios
− 1
− 1
− 2 − 1 0 1 2
0 1
0 2 1 5
4 7
4 3
Dos fracciones y son equivalentes cuando el producto cruzado de numeradores y denominadores es igual. a b
c d
= → a ⋅ d = b ⋅ c
c d
a b
Las fracciones y 4 son equivalentes, ya que 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4. 6
EJEMPLO
Dibuja las siguientes fracciones.
a) c) e)
b) d) f) 1 2
1
OBJETIVO 2
RECONOCER Y OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA
Observando el ejercicio anterior vemos que algunas fracciones, a pesar de ser diferentes, nos dan el mismo resultado. Coloca en dos grupos estas fracciones.
Grupo 1
Grupo 2
Fracciones que representan dos tercios de la tarta.
Fracciones que representan la mitad de la tarta.
2
Calcula tres fracciones equivalentes.
a) = = =
b) = = =
c) = = =
d) 6 = = = 12
3
Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes.
a) b) c) x 30
x
= x
4
NOMBRE: CURSO: FECHA:
1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
- Para obtener una fracción equivalente a otra fracción dada multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un número distinto de cero. Este método se llama amplificación.
- Observa que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos.
OBJETIVO 3
AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR FRACCIONES
Obtén una fracción equivalente y amplificada de.
→ Las fracciones son equivalentes, es decir, representan el mismo número.
(^1) y 2
EJEMPLO
F F
Calcula fracciones equivalentes por amplificación.
a)
b) 2 3
1
Halla dos fracciones equivalentes.
a)
b)
c)
d) 22 55 22 =^22 22 55
→ ⋅^22
→ ⋅^22
→ ⋅^22
→ ⋅^22
2
F F
F F
ADAPTACIÓN CURRICULAR
1
Ordena estas fracciones.
COMÚN DENOMINADOR
1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
COMPARAR FRACCIONES
- ¿Qué fracción es mayor, o?
Representamos las fracciones con un dibujo y lo vemos fácilmente:
- El dibujo, sin embargo, no siempre es tan claro. Por tanto, vamos a aprender a hacerlo creando una fracción equivalente de cada fracción, con común denominador , es decir, tenemos que conseguir que el denominador de las dos fracciones sea el mismo.
6 es el común denominador.
- Ahora, en lugar de comparar con , comparamos con.
- Como el denominador es común, comparamos los numeradores de y para saber cuál de las fracciones es mayor:
- Recuerda que, dadas dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.
; por tanto, >
OBJETIVO 4
REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
FF
ADAPTACIÓN CURRICULAR
BUSCAR EL DENOMINADOR COMÚN
Queremos comparar las siguientes fracciones:.
- ¿Cuáles son los denominadores? ……, …… y ……
- El común denominador será un número mayor que 10, 3 y 5, pero que tenga a 10, 3 y 5 como divisores, por ejemplo:
a) El número 12 es mayor que 10, 3 y 5, pero ¿tiene a todos ellos como divisores? 12 = 3 ⋅ 4 12 = 10 ⋅? 12 = 5 ⋅? No tiene a 10 ni a 5 como divisores, solo a 3. Por tanto, 12 no sirve.
b) El número 15 es también mayor que 10, 3 y 5. Pero veamos qué pasa cuando lo utilizamos: 15 = 10 ⋅? 15 = 3 ⋅ 5 15 = 5 ⋅ 3 Tampoco sirve 15, ya que no tiene a 10 como divisor.
c) Probamos con el número 30. 30 = 10 ⋅ 3 30 = 5 ⋅ 6 30 = 3 ⋅ 10 El número 30 sirve como común denominador, aunque no es el único. Si continuásemos buscando encontraríamos más: 60, 90, …
- Vamos a hallar fracciones equivalentes a las dadas, con denominador común 30:
¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos de 10? 10 ⋅? = 30
¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos de 3? 3 ⋅? = 30
¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos 5? 5 ⋅? = 30
Por tanto:
Ahora ordenamos las fracciones de mayor a menor:
21 30
7 F , ,
, y^3 5
F
OBJETIVO 5
NOMBRE: CURSO: FECHA:
SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR FRACCIONES
SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
La suma (o resta) de fracciones con igual denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma (o resta) de los numeradores.
SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, reducimos primero a denominador común y, después, sumamos (o restamos) sus numeradores.
Dibújalas
Un tercio más cuatro tercios son cinco tercios.
EJEMPLO
F F F
Haz esta suma de fracciones:.
Para sumar las fracciones hay que obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador.
Nos interesa obtener el mínimo común denominador de 3 y 5, en este caso 15. Ahora sumamos las fracciones con igual denominador: 1 3
EJEMPLO
Realiza las siguientes operaciones.
a)
b) 10 7
1
F
F
1
EJEMPLO
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores: a b
c d
a c b d
Realiza las multiplicaciones de fracciones.
a) e)
b) f)
c) g)
d) h) 12 5
2
EJEMPLO
DIVISIÓN DE FRACCIONES
La división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda: a b
c d
a d b c
Realiza las siguientes divisiones de fracciones.
a) e)
b) f)
c) g)
d) h) 18 5
3
ADAPTACIÓN CURRICULAR
FF FF
1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Para obtener la forma decimal de una fracción o número racional se divide el numerador entre el denominador.
OBJETIVO 6
OBTENER LA FORMA DECIMAL DE UNA FRACCIÓN
FORMA FRACCIONARIA: FORMA DECIMAL: 0,
FORMA FRACCIONARIA: FORMA DECIMAL: 1,2727… = 1,
FORMA FRACCIONARIA: FORMA DECIMAL: 2,166… = 2,
13 F
(^13) | 6 110 2,166… 0140 00140 00014
13 F
14 F
(^14) | 11 030 1,2727… 0080 00030 000080 000003
14 F
3 F
(^30) | 4 20 0, 020
3 F
EJEMPLO
Expresa en forma decimal estas fracciones y ordénalas.
a) c) e)
b) d) f)
...... < ...... < ...... < ...... < ...... < ...... → ...... < ...... < ...... < ...... < ...... < ......
1
ADAPTACIÓN CURRICULAR
OBJETIVO 7
NOMBRE: CURSO: FECHA:
(^13) → Decimalperiódico mixto 6
Decimal periódico puro
Decimal exacto
RECONOCER LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES
EJEMPLO
Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción para obtener su expresión decimal pueden darse estos casos.
- Si el resto es cero:
- Cuando el cociente no tiene parte decimal, tenemos un número entero.
- Cuando el cociente tiene parte decimal, decimos que es un decimal exacto.
- Si el resto no es cero: las cifras del cociente se repiten, la expresión decimal tiene infinitas cifras. Se obtiene un decimal periódico.
- Cuando la parte que se repite comienza desde la coma, se llama decimal periódico puro.
- Cuando la parte que se repite no comienza desde la coma, se llama decimal periódico mixto.
Completa la tabla, clasificando la expresión decimal de las fracciones en exactas, periódicas puras o periódicas mixtas.
1
FORMA FRACCIONARIA
FORMA DECIMAL
DECIMAL EXACTO
DECIMAL PERIÓDICO PURO
DECIMAL PERIÓDICO MIXTO 5 3
No Sí No
7 6 9 5 31 25 37 30 17 6
Escribe en cada número las cifras necesarias para completar diez cifras decimales. a) 1,347347… e) 3,2666… b) 2,7474… f) 0,25373737… c) 4,357357… g) 1,222… d) 0,1313… h) 43,5111…
2
Expresa mediante un número decimal la parte gris de la figura.
Escribimos de forma fraccionaria Pasamos a la parte gris de la figura. forma decimal.
4
Expresa estos números decimales como fracción.
a) 0,
x = 0,
x =
3
F
¿Por qué valor multiplicamos?
b) 0,
x =
c) 0,
x =
d) 0,
x =
F
F 0 101^
F
F 0 24
F
F 0 7
F
F 0 44^
F
1
NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS PUROS
Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal 2,333… = 2,
- Si 2,333… no tuviera infinitas cifras decimales, podríamos obtener la forma fraccionaria como en el caso de los números decimales exactos.
- Por tanto, no podemos actuar de esta manera.
x = 2,333…
10 x = 10 ⋅ 2,333…
10 x = 23,333…
- Tenemos que eliminar las infinitas cifras decimales.
Multiplicamos por la unidad x = 2,333… seguida de tantos ceros como cifras tiene el período. 10 x = 10 ⋅ 2,333…
10 x = 23,333…
10 x = 23,333… − x = −2,333… 9 x = 21
Simplificamos.
- Siempre hay que simplificar, si se puede, la fracción resultante.
x = 7 3
x = 21 9
F
F
F
F
F
F
Realizando esta resta eliminamos la parte decimal.
ADAPTACIÓN CURRICULAR
F ,^ …^ = , …
F
F
F
x = 23 333 10
F
1
ADAPTACIÓN CURRICULAR
Calcula la forma fraccionaria de los números decimales.
a) 15,474747…
x = 15,474747…
100 x = 100 ⋅ 15,474747…
100 x =
100 x = − x = −15,474747… 99 x =
x =
6
Multiplicamos por 100. (^) F
F
b) 24,
x = 24,353535…
x =
c) 103,251251…
x = 103,251251…
x =
F
F
15,
F
F
24,
F
F
103,
F
F
F
F
NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS
Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal 2,1333… = 2,
- Si actuamos como en el caso de los decimales puros, tenemos que:
x = 2,1333…
10 x = 10 ⋅ 2,1333…
10 x = 21,333…
10 x = 21,333… − x = −2,133… 9 x = 19,
x = No obtenemos una fracción.
- Hay que utilizar otro procedimiento.
Multiplicamos por la unidad x = 2,1333… seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica y no periódica. 100 x = 100 ⋅ 2,1333…
100 x = 213,333…
10 x = 21,333…
100 x = 213,333… − 10 x = −21,333… 90 x = 192
x = 32 15
x = 192 90
F F F F F F
F
F
Realizando esta resta eliminamos los decimales.
Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica.
Simplificamos.^ F
F 2,
