Definiciones y solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones y desigualdades, Apuntes de Matemática Empresarial

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Ecuaciones e inecuaciones. Sistemas de

ecuaciones e inecuaciones

Alvarez S., Caballero M.V. y S´^ ´ anchez M.aM.

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´Indice

• 1. Definiciones
• 2. Herramientas
  • 2.1. Factorizaci´on de polinomios: Regla de Ruffini
  • 2.2. Ecuaciones lineales
  • 2.3. Ecuaciones de segundo grado
  • 2.4. Ecuaciones polin´omicas de grado mayor que
  • 2.5. Inecuaciones
  • 2.6. Sistemas de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas
    • inc´ognitas 2.7. Sistemas de ecuaciones no lineales de dos ecuaciones con dos
  • 2.8. Sistemas de inecuaciones
• 3. Ejercicios resueltos
• 4. Ejercicios propuestos

Soluci´on de un sistema de ecuaciones: Conjunto de valores num´eri- cos de las inc´ognitas para los que se verifican las igualdades que definen el sistema de ecuaciones.

Inecuaci´on: Es una desigualdad (del tipo ≤, ≥, <, >) entre dos expre- siones algebraicas donde aparecen valores conocidos y desconocidos o inc´ognitas que se relacionan mediante operaciones matem´aticas.

Ejemplo 1.6 2 x − 2 y ≤ 5 es una inecuaci´on con dos inc´ognitas.

Sistemas de m inecuaciones con n inc´ognitas: Se trata de m inecuaciones con n inc´ognitas.

Soluci´on de una inecuaci´on o de un sistema de inecuaciones: Conjunto de valores num´ericos de las inc´ognitas para los que se verifican las desigualdades.

Puede ocurrir que una inecuaci´on no tenga soluci´on.

Ejemplo 1.7 La inecuaci´on

x^2 + 1 < 0

no tiene soluci´on.

Diferencia entre ecuaci´on e identidad: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas se verifica para cualquier valor num´erico de las inc´ognitas se llama identidad, en caso contrario se tiene una ecuaci´on.

Ejemplo 1.8 La expresi´on x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 es una identidad puesto que si sustituimos x por cualquier n´umero real se verifica siem- pre.

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones equivalentes: Dos ecuacio- nes se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. An´alogamente dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Inecuaciones o sistemas de inecuaciones equivalentes: Dos ine- cuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Igualmente dos sistemas de inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

2. Herramientas

2.1. Factorizaci´on de polinomios: Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un procedimiento ´util para obtener el cociente y el resto de dividir un polinomio de grado n,

P (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0

entre (x − α) con α ∈ R. Para ello se construye una tabla con tres filas y n + 2 columnas donde

En la primer fila se colocan los coeficientes del polinomio an, an− 1 , · · · , a 1 y a 0 en este orden, dejando un hueco en la primera columna.

En la segunda fila, primera columna se coloca α y esta segunda fila y la tercera se completan simult´aneamente. Debajo del coeficiente an no se coloca ning´un n´umero, mientras que en la tercera fila, segunda columna, se vuelve a poner el coeficiente an seg´un se observa a continuaci´on

an an− 1 · · · a 1 a 0 α an

A continuaci´on se multiplica α por el elemento que est´a bajo la l´ınea en la segunda columna, an, este producto se coloca debajo de an− 1 , en la segunda fila, y la suma de ambos se escribe debajo de la l´ınea en esa columna. Se repite este proceso con la segunda columna y as´ı sucesiva- mente, hasta completar la segunda y tercera filas.

El cociente, C(x), es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo, cuyos coeficientes son los n−1 primeros valores que aparecen bajo la l´ınea, y el ´ultimo coeficiente es el resto, R, de la divisi´on, luego P (x) = C(x)(x−α)+R. El resto es igual al valor que toma el polinomio cuando x = α.

Ejemplo 2.1 Dividir el polinomio P (x) = 3x^3 − x + 2 entre x + 1 utilizando la regla de Ruffini.

a) − 5 x = 10 ⇔ − 5 x − 10 ⇔ x = − 2. b) 3 x − 6 = − 4 x + 8 (agrupando) ⇔ 7 x − 14 = 0 ⇔ x = 2.

c)

3 x 5

− 2 x + 5 =

x 2

(agrupando)

3 x 5

− 2 x +

x 2

− 9 x 10

⇔ x =

d) 4(2 − x) = 8 + 2(3 − x) − 6 (aprupando) ⇔ 0 = 0 no se trata de una ecuacion sino de una identidad.

Gr´aficamente la soluci´on de una ecuaci´on lineal con una inc´ognita se representa por un punto en la recta real.

Una ecuaci´on lineal con dos inc´ognitas adopta la forma reducida ax + by = c

con a 6 = 0 o b 6 = 0. Si la ecuaci´on no adopta esta forma se procede a agrupar los t´erminos que tienen la inc´ognita x, los t´erminos con la inc´ognita y y los t´erminos independientes (t´erminos sin inc´ognita), pasando de la ecuaci´on dada a otra equivalente expresada de forma reducida. Puede ocurrir que se llegue a una contradicci´on si la ecuaci´on no tiene soluci´on o bien es una identidad. Gr´aficamente, si una ecuaci´on lineal con dos inc´ognitas tiene soluci´on, ´esta es una recta.

Ejemplo 2.3 El conjunto de soluciones de la ecuaci´on 3 x + 5 = y + 2x − 1 ⇔ x − y + 6 = 0 ⇔ y = x + 6

es la recta y = x + 6 con x ∈ R.

2.3. Ecuaciones de segundo grado

a) Una ecuaci´on de segundo grado con una inc´ognita adopta la forma reducida: ax^2 + bx + c = 0 con a 6 = 0

Estas ecuaciones se resuelven utilizando la siguiente expresi´on:

x =

−b ±

b^2 − 4 ac 2 a

de modo que:

1. Si b^2 − 4 ac > 0 la ecuaci´on tendr´a dos soluciones reales distintas que son:

x =

−b +

b^2 − 4 ac 2 a

x =

−b −

b^2 − 4 ac 2 a

2. Si b^2 − 4 ac = 0, entonces se dice que la ecuaci´on tiene una soluci´on real doble que es: x =

−b 2 a

3. Cuando b^2 − 4 ac < 0, la ecuaci´on no tiene soluci´on real.

Casos sencillos

Dentro de las ecuaciones de segundo grado, las m´as sencillas son aque- llas en las que falta alg´un t´ermino.

• Si c = 0, entonces ax^2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ x = 0, ax + b = 0 luego las soluciones de esta ecuaci´on de segundo grado son x = 0 y x = −

b a

• Si b = 0, entonces ax^2 + c = 0 que tendr´a soluci´on si c ≤ 0.

Ejemplo 2.4 Para resolver la ecuaci´on x^2 − 4 x + 4 = 0 se aplica la expresi´on (1), con a = 1, b = − 4 y c = 4 y se tiene:

x =

donde la soluci´on de esta ecuaci´on es x = 2 (doble).

Ejemplo 2.5 Para resolver la ecuaci´on 3 x^2 − 6 = 2x^2 + 3 se agrupan los t´erminos de igual grado 3 x^2 − 6 = 2x^2 + 3 ⇔ x^2 = 9 ⇔ x = 3, x = − 3

b) Las ecuaciones de segundo grado con dos inc´ognitas que se estudian aqu´ı adoptan la forma reducida: ax^2 + bx + c − y = 0 con a 6 = 0. El conjunto de soluciones es la par´abola vertical: { (x, y) ∈ R^2 : y = ax^2 + bx + c

Soluci´on

Primero se busca alguna ra´ız entera del polinomio, para lo cual se prueba con los divisores del t´ermino independiente, 4, que son:

2 , − 2 , 1 , − 1 , 4 y − 4.

Es f´acil observar que 2 es una ra´ız de este polinomio (basta sustituir en el polinomio, P (2) = 0). Esto implica que P (x) = 3x^3 − 7 x^2 + 4 es divisible por x − 2. A continuaci´on, se divide P (x) = 3x^3 − 7 x^2 + 4 entre x − 2, para lo cual es ´util aplicar la regla de Ruffini. En este caso α = 2 y los coeficientes del polinomio dividendo son a 3 = 3, a 2 = − 7 , a 1 = 0 y a 0 = 4 y se procede tal como se ha descrito anteriormente:

3 − 7 0 4 2 3

Por tanto, 3x^3 − 7 x^2 + 4 = (x − 2)(3x^2 − x^2 − 2). Si el polinomio tiene dos ra´ıces reales m´as, ´estas son las ra´ıces del poli- nomio de segundo grado: 3 x^2 − x^2 − 2

Sus ra´ıces se calculan utilizando la f´ormula dada anteriormente y se obtienen

los valores 1 y −

Luego las ra´ıces de P (x) = 3x^3 − 7 x^2 + 4 son 2, 1 y −

2.5. Inecuaciones

La inecuaciones que se estudian adoptan la forma reducida:

f (x) ≤ 0 o f (x) ≥ 0, o bien con desigualdades estrictas (<, >), donde f (x) es un polinomio de grado 1 o 2 en la inc´ognita x en forma reducida.

f (x, y) ≤ 0 o f (x, y) ≥ 0, o bien con desigualdades estrictas, donde f (x, y) es un polinomio de grado 1 en las inc´ognitas x e y en forma reducida o bien f (x, y) = ax^2 + bx + c − y con a 6 = 0.

Nota: Determinar el signo de una funci´on f (x) o f (x, y) es resolver una inecuaci´on f (x) ≤ 0, f (x, y) ≤ 0, f (x) ≥ 0 o f (x, y) ≥ 0, o bien con de- sigualdades estrictas.

Si una inecuaci´on no adopta la forma reducida se agrupar´an las inc´ognitas y los t´erminos sin inc´ognitas hasta obtenerla.

Inecuaciones con una inc´ognita

Para resolver una inecuaci´on una vez expresada de forma reducida se procede de la siguiente manera:

Se resuelve la ecuaci´on polin´omica f (x) = 0.

Las ra´ıces del polinomio dividen el dominio de la funci´on, que es R, en intervalos. En cada uno de estos intervalos el signo de la funci´on permanece constante.

Para saber el signo que tiene f (x) en uno de estos intervalos, bas- tar´a evaluar la funci´on en un punto del interior del intervalo.

Gr´aficamente la soluci´on de una inecuaci´on de este tipo, si la tiene, es un intervalo, la uni´on de varios intervalos, todo el conjunto de los n´umeros reales o bien un n´umero finito de n´umeros reales.

Ejemplo 2.7 Resolver 1 − 4 x ≤ 0.

Soluci´on

1 − 4 x = 0 ⇔ x =

Luego en la recta real se distinguen dos intervalos

y

Si x ∈

, 1 − 4 x > 0.

Si x ∈

, 1 − 4 x < 0.

Luego la soluci´on de la inecuaci´on es

[

donde se incluye el n´umero

real x = 1/4, que es donde la expresi´on 1 − 4 x vale 0.

Figura 2: La zona sombreada es la soluci´on de la inecuaci´on del ejemplo 2.

Soluci´on

Se representa la par´abola −x^2 − 2 x − y = 0. La soluci´on de la inecuaci´on es la zona sombreada, sin incluir la par´abola (l´ınea discontinua) como se observa en la figura 2

IMPORTANTE:

Para resolver cualquier inecuaci´on donde f (x) 0 f (x, y) no sea un polino- mio se produce de la mima manera. En el Dom(f ) consideran los puntos que resuelven la ecuaci´on f (x) = 0 o f (x, y) = 0, que lo dividiran en intervalos de la recta real o regiones del plano y an´alogamente se obtiene la soluci´on.

2.6. Sistemas de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas

Distinguimos si el sistema tiene dos o tres ecuaciones.

a) Con dos ecuaciones

Adopta la forma reducida:

ax + by = c a′x + b′y = c′

Se resuelve por cualquiera de los procedimientos conocidos: despejando en ambas ecuaciones la misma inc´ognita e igualando; despejando una inc´ogni- ta en una ecuaci´on y sustituyendo en la otra o bien multiplicando ambas ecuaciones por el n´umero real conveniente de modo que al sumar ambas ecuaciones una inc´ognita desaparezca.

Gr´aficamente: La soluci´on de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas puede visualizarse representado ambas ecuaciones, que son las rectas ax + by = c y a′x + b′y = c′, en el plano de modo que:

Si las dos rectas se cortan en un punto, ese punto es la soluci´on del sistema lineal.

Si las dos rectas son paralelas, el sistema no tiene soluci´on.

Si las dos rectas son coincidentes, el sistema tiene muchas soluciones, que son todos los puntos de la recta.

Por tanto, el sistema puede tener una soluci´on ´unica, m´ultiples soluciones o bien ninguna soluci´on (seg´un sea la posici´on de las rectas que representa cada ecuaci´on).

Ejemplo 2.10 Resolver el sistema de ecuaciones:

x + y = − 1 2 x − y = 4

Soluci´on

Si se suman ambas ecuaciones, la inc´ognita y desaparece, obteni´endose la ecuaci´on 3x = 3, luego x = 1. Sustituyendo el valor de esta inc´ognita en una de la ecuaciones del sistema se tiene que y = −2. La soluci´on del sistema es x = 1 e y = −2. Las rectas que representan cada una de las ecuaciones se cortan en el punto del plano de coordenadas (1, −2).

b) Con tres ecuaciones

Adopta la forma reducida:

ax + by = c a′x + b′y = c′ a′′x + b′′y = c′′

Para resolverlo, se toman dos ecuaciones cualquiera y se resuelve el siste- ma formado por ellas, por cualquiera de los m´etodos dichos en el apartado anterior.

Si ese sistema no tiene soluci´on, el sistema formado por las tres ecua- ciones no tiene soluci´on.

2. Sistema no lineal de dos ecuaciones con dos inc´ognitas de la forma: ax^2 + bx + y = c a′x^2 + b′x + y = c′

Ambas ecuaciones representan par´abolas en el plano. Para resolver el sistema se despeja la inc´ognita y en una de las par´abolas y se sustituyen en la otra y se resuelve la ecuaci´on resultante de modo que:

El sistema tendr´a soluci´on si ambas par´abolas intersectan en dos puntos (dos soluciones), intersectan o son tangentes en un punto (que es la soluci´on del sistema). Si las par´abolas no se cortan, el sistema no tiene soluci´on.

Ejemplo 2.12 Resolver el sistema

x^2 + 2x + y = − 1 x^2 + 4x − y + 3 = 0

Soluci´on

Se despeja la inc´ognita y en la segunda ecuaci´on y = x^2 + 4x + 3 y se sustituye en la primera ecuaci´on:

x^2 + 2x + (x^2 + 4x + 3) = − 1 ⇔ 2 x^2 + 6x + 4 = 0

Aplicando la f´ormula para resolver ecuaciones de segundo grado se obtiene: x = −2 y x = −1, cuyos correspondientes valores de y, sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del sistema, son y = −1 y y = 0. Luego este sistema tiene dos soluciones x = − 2 , y = −1 y x = − 1 , y = 0 (es decir, las par´abolas se cortan en dos puntos:(− 2 , −1) y (− 1 , 0)).

2.8. Sistemas de inecuaciones

Solamente se estudian sistemas de dos inecuaciones con una inc´ognita y sistemas de dos inecuaciones con dos inc´ognitas. El resultado se puede generalizar a m´as inecuaciones con el mismo n´umero de inc´ognitas.

Sistemas de dos inecuaciones con una inc´ognita

El procedimiento general consiste en resolver cada una de las inecuaciones y una vez resueltas, el conjunto de n´umeros reales com´un que verifica ambas inecuaciones es la soluci´on del sistema. La soluci´on del sistema puede ser un intervalo de la recta real, un conjunto finito de puntos o bien puede que no tenga soluci´on.

Ejemplo 2.13 Resolver el sistema de inecuaciones

4 x − 8 ≤ 0 3 2

x + 2 < 2 x +

Soluci´on

Se resuelven ambas inecuaciones: 4 x − 8 = 0 ⇔ x = 2. Entonces:

• Si x ∈ (−∞, 2), 4x − 8 < 0.
• Si x ∈ (2, +∞), 4x − 8 > 0.

Luego la soluci´on de la primera inecuaci´on es (−∞, 2].

Agrupando los t´erminos con la inc´ognita x y los t´erminos independien- tes se obtiene la inecuaci´on equivalente a la dada en forma reducida 3 2

x + 2 < 2 x +

−x 2

Se resuelve la inecuaci´on

−x 2

−x 2

= 0 ⇔ x = − 1

Entonces:

• Si x ∈ (−∞, −1),

−x 2

0 es decir,

x + 2 > 2 x +

• Si x ∈ (− 1 , +∞),

−x 2

< 0 es decir,

x + 2 < 2 x +

Luego la soluci´on de la segunda inecuaci´on es (− 1 , +∞).

Por tanto, la soluci´on del sistema de inecuaciones dado es

(− 1 , +∞) ∩ (−∞, 2] = (− 1 , 2]

Ejemplo 2.14 Resolver el sistema de inecuaciones:

4 x − 8 ≤ 0

3 2

x + 2 > 2 x +

Figura 3: La zona sombreada, incluyendo las rectas, corresponde a la soluci´on del sistema del ejemplo 2.

• Si x ∈ (−∞, 3 /2), 2x − 3 < 0.
• Si x ∈ (3/ 2 , +∞), 2x − 3 > 0.

Luego la soluci´on de esta inecuaci´on es (−∞, 3 /2].

Por tanto, la soluci´on del sistema de inecuaciones es (−∞, 3 /2] − { 0 }.

Sistemas de dos inecuaciones con dos inc´ognitas

Se resuelve cada una de las inecuaciones que forman el sistema y se re- presenta su soluci´on. La intersecci´on del conjunto de soluciones de cada una de las inecuaciones es la soluci´on del sistema.

Ejemplo 2.17 Representar el conjunto de soluciones del sistema de inecua- ciones: 2 x − y + 3 ≥ 0 −x + 3y ≥ 0

Soluci´on

Se representan las rectas 2x − y + 3 = 0 y −x + 3y = 0 y se calcula, si existe, la soluci´on del sistema lineal formado por estas dos ecuaciones, que es (− 9 / 5 , − 3 /5). En la figura 3 se observa el subconjunto de R^2 que verifica el sistema del ejemplo 2.17.

Ejemplo 2.18 Representar la soluci´on del sistema de inecuaciones:

2 x − y + 3 ≤ 0 −x + 3y ≥ 0

Figura 4: La zona sombreada corresponde a la soluci´on del sistema del ejemplo

Figura 5: La zona sombreada junto con las semirectas que lo limitan corresponde a la soluci´on del sistema del ejemplo 2.

Soluci´on

En la figura 4 se observa el subconjunto de R^2 que verifica el sistema de este ejemplo.

Ejemplo 2.19 Representar la soluci´on del sistema de inecuaciones:

2 x − y + 3 ≤ 0 −x + 3y ≤ 0

Soluci´on

La figura 5 representa el subconjunto de R^2 que verifica este sistema de inecuaciones.