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Teor´ıa de conjuntos
→ Un conjunto es una agrupaci´on o colecci´on de objetos. Los objetos susceptibles de pertenecer o no al conjunto se denominan elementos. →Los objetos pueden ser f´ısicos (mesas, personas, manzanas, ...) o abstractos (letras, n´umeros, conjuntos, ...). → Esta definici´on no es rigurosa y en ocasiones conduce a contradicciones, como en la paradoja de Russell. → Normalmente se representa a los conjuntos mediante letras may´usculas (como A, B, C , Ω,.. .) y a los elementos mediante letras min´usculas (como a, b, x, p, v , ω,.. .). → La relaci´on entre un conjunto A y un elemento x puede ser:
pertenencia → x ∈ A no pertenencia → x ∈/ A
Descripci´on de conjuntos
Hay dos maneras de determinar o describir a un conjunto: Indicando uno a uno todos sus elementos, separados por comas y encerrados entre llaves. Ejemplo: A = { 1 , 3 , 7 , 10 , 21 , 34 } Indicando la propiedad o propiedades que identifican a los elementos del conjunto. Ejemplo: B = {x : x es un n´umero par, divisible entre 5}
Tambi´en es habitual representar a los conjuntos mediante unos dibujos conocidos como diagramas de Venn.
Relaciones y operaciones entre conjuntos
Complemento Dados dos conjuntos A y B, el complemento de B en A es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B:
A \ B = {x ∈ A : x ∈/ B}
Uni´on Dados dos conjuntos A y B la uni´on de A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano de A y B es el conjunto de los pares ordenados en los que el primer elemento pertenece a A y el segundo pertenece a B:
A × B = {(x, y ) : x ∈ A, x ∈ B}
Conjuntos de n´umeros
N´umeros naturales: N El conjunto de los n´umeros llamados naturales: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.. .}
→ Permite resolver las ecuaciones de la forma x − 1 = n cuando n ∈ N.
N´umeros enteros: Z La uni´on del conjunto de los n´umeros naturales y el de sus opuestos: {... , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,.. .}
→ Permite resolver las ecuaciones de la forma x + a = b cuando a, b ∈ Z.
N´umeros racionales: Q El conjunto de las fracciones de Z:
Q =
p q : p ∈ Z, q ∈ Z, q 6 = 0
→ Permite resolver las ecuaciones de la forma ax + b = c cuando a, b, c ∈ Z.
Intervalos
En el conjunto R existe un orden natural que permite representar a los n´umeros reales en una recta (llamada recta real) s s − 1 1 y que permite definir unos tipos de conjuntos que tienen una especial relevancia: los intervalos. Existen distintos tipos de intervalos en R:
Notaci´on Definici´on Clasificaci´on [a, b] {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} cerrado y acotado = compacto ]a, b[ {x ∈ R / a < x < b} abierto y acotado [a, b[ {x ∈ R / a ≤ x < b} acotado (ni abierto ni cerrado) ]a, b] {x ∈ R / a < x ≤ b} acotado (ni abierto ni cerrado) [a, +∞[ {x ∈ R / a ≤ x} cerrado y no acotado ]a, +∞[ {x ∈ R / a < x} abierto y no acotado ] − ∞, a] {x ∈ R / x ≤ a} cerrado y no acotado ] − ∞, a[ {x ∈ R / x < a} abierto y no acotado ] − ∞, +∞[ {x ∈ R / x < a} abierto, cerrado y no acotado
donde a y b son n´umeros reales (a ≤ b).
