¡Descarga Fundamentos de la Optimización: Con restricciones y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity!
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA OPTIMIZACIÓN
(CON RESTRICCIONES):
- Función objetivo. Aquella función objeto de optimización (maximización/minimización).
- Restricciones. Son ecuaciones (si son de igualdad) o inecuaciones (si son desigualdades) que
condicionan la función objectivo.
- Conjunto factible/admisible/o de oportunitades. Son los puntos del dominio de la función
objectivo que cumplen las restricciones
- Óptimo (o punto óptimo) global (CONDICIONADO). És el punto del dominio de la función
objectivo que maximiza/minimiza la función objectivo (y forma parte del conjunto factible)
- Valor óptimo. Es el valor que toma la función objetivo en el óptimo.
BLOQUE I: OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD.
PROGRAMACIÓN CLÁSICA es el tipo de optimización con restricciones de igualdad (se dice
que las restricciones están saturadas).
PLANTEAMIENTO FORMAL DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN CLÁSICO
Un programa clásico tiene esta estructura:
Opt. (Máx./Mín) z = f(x1, x2, x3, …,xn)
s.a. h1(x1,x2, x3,…,xn) = b
h2(x1,x2,x3,….,xn) = b
h3(x1,x2,x3,….,xn) = b
hm(x1,x2,x3,….,xn) = bm
O bien esquemáticamente:
Opt. (Máx/Mín) z = f(x)
hi(x) = bi , i= 1,2,….m
donde x = (x1, x2, x3, …,xn), las variables de decisión, f(x) es la función objetivo y h(x) son
las restricciones de igualdad (ecuaciones).
Tanto la función objetivo como las ecuaciones de las restricciones pueden ser lineales o no.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE
IGUALDAD.
- RESOLUCIÓN GRÁFICA (Caso de 2 variables instrumentales o de decisión y una
ecuación de restricción queda):
Opt. (Máx./Mín) z = f(x1, x2)
s.a. h1(x1,x2) = b
El óptimo es el (único) punto de contacto o tangencia entre la curva asociada a la ecuación de la
restricción h1(x1,x2) = b1 y
una de las curvas de nivel de la función objetivo.
2) RESOLUCIÓN ANALÍTICA:
- 2.1) MÉTODO DIRECTO O DE SUSTITUCIÓN.
- 2.2) MÉTODO DE (LOS MULTIPLICADORES DE) LAGRANGE.
ANÁLISIS GRÁFICO DE UN PROGRAMA DE ÓPTIMOS RESTRINGIDOS POR IGUALDADES
O DESIGUALDADES CON 2 VARIABLES INSTRUMENTALES:
A) Representación gráfica del conjunto factible asociado al programa. En general, se trata de
un conjunto cerrado y convexo sobre el plano.
B) Representación gráfica de (algunas) curvas de nivel de la función objetivo, sobre el
conjunto factible.
C) Detectar la tangencia.
(Puede haber más de una solución si el programa tiene restricciones con desigualdad, o
inecuaciones).
FUNCIONES FRECUENTES EN OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD O
DESIGUALDAD (2 VARIABLES INSTRUMENTALES O DE DECISIÓN):
- RECTA.
Ecuación general: y = mx + n.
La pendiente de la recta es m y la ordenada en el origen es n.
- PARÁBOLA.
Ecuación general:
El vértice de la parábola se encuentra en el punto de abscisa x* = -b/2a
- CIRCUNFERENCIA. Ecuación general:
Con el punto (a,b) como centro y r como radio de la circunferencia.
- HIPÉRBOLA.
Ecuación general:
con el vértice en el punto (h,k)
2.1. EL MÉTODO DIRECTO (O DE SUSTITUCIÓN).
Este método implica aislar una variable (o variables) de un ecuación (o sistema de
ecuaciones) y sustituir a continuación en la función objetivo.
- Si la función objetivo “final” depende sólo de una variable.
La 1ª derivada permite obtener los puntos críticos (aquellos “candidatos a óptimo”, cuya condición
es la anulación de la primera derivada).
La 2ª derivada confirma los óptimos, según su signo.
- Si la función objetivo “final” depende de 2 o más variables.
El vector gradiente permite el cálculo de los puntos críticos (aquellos que anulan el vector
gradiente).
(El signo de) la matriz hessiana determina la existencia de óptimos
- CASOS QUE NO ES APLICABLE (O CONVENIENTE) ESTE MÉTODO:
- Restricciones con funciones implícitas.
- Restricciones con funciones no lineales.
- Gran número de restricciones (resolución compleja sistema)
2.2. MÉTODO DE LAGRANGE (O DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE).
- Se puede aplicar a cualquier problema de programación clásica (restricciones de igualdad).
- Origen: Derivación de la función implícita.
- Se basa en la construcción de la función de Lagrange (con dos expresiones posibles).
Los cálculos más complejos que con el método directo en los casos que se pueda aplicar.
CONDICIÓN SUFICIENTE ÓPTIMO EN EL MÉTODO DE LAGRANGE:
- SI LA MATRIZ HESSIANA RESTRINGIDA DE LAGRANGE ES DEFINIDA NEGATIVA en un
punto y éste ANULA EL VECTOR GRADIENTE de la función lagrangiana, es MÁXIMO LOCAL
y GLOBAL (si el conjunto factible convexo).
- SI LA MATRIZ HESSIANA RESTRINGIDA DE LAGRANGE ES DEFINIDA POSITIVA en un
punto y éste ANULA EL VECTOR GRADIENTE de la función lagrangiana, es MÍNIMO LOCAL
y GLOBAL (si el conjunto factible convexo).
- EN PUNTOS CRÍTICOS/estacionarios de la función lagrangiana CON LA MATRIZ HESSIANA
RESTRINGIDA DE LAGRANGE SEMIDEFINIDA POSITIVA/NEGATIVA O INDEFINIDA hay que
estudiar el signo de la forma cuadrática de la función de Lagrange restringida en las
direcciones factibles con el apoyo de la MATRIZ JACOBIANA para confirmar óptimos.
OBTENCIÓN DE LOS MULTIPLICADORS DE LAGRANGE
El multiplicador de Lagrange es la derivada parcial de la función lagrangiana respecto al
parámetro de la restricción correspondiente. (Tantos multiplicadores como restricciones).
Por eso, la Variación de la Función Objetivo es aproximadamente el producto del
multiplicador de Lagrange por la variación experimentada del término independiente “b” de la
restricción i.
NTERPRETACIONES DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
A) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
Los multiplicadores indican la proporción entre el vector gradiente de la función objectivo y el
vector gradiente de la restricción en el óptimo.
B) INTERPRETACIÓN ANALÍTICA:
Los multiplicadores expresan la VARIACIÓN APROXIMADA DE LA FUNCIÓN OBJECTIVO si se
modifica (en pequeñas proporciones, variaciones infinitesimales) el/los “parámetros” de los
términos independientes (bi) de la/les restricciones del programa. Es decir:
m
i
L x y z λ i f x y z λ i hi x y z bi
0 0 0 0 0
∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y.
Δ f ( x , y , z ) ≅ λ i • Δ bi
C) INTERPRETACIÓN ECONÓMICA.
(Derivada de la interpretación analítica).
EL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE COMO PRECIO – SOMBRA DEL PARÁMETRO (b) DE
LA RESTRICCIÓN ASOCIADA.
Ejemplo de precio - sombra:
Un programa de maximización de beneficios tiene un multiplicador asociado a la restricción (de
igualdad) de las horas de trabajo con un valor de 30.
Esto indica que si la empresa desea disponer de más horas de trabajo pagará un máximo de 30
euros por hora extra (o contratará trabajadores adicionales con un sueldo máximo de 30 euros/
hora).
También puede haber precios – sombra por disponibilidad de espacio (alquileres), materias
primas, etc.
LA MATRIZ JACOBIANA (“PARA SABER MÁS”)
Se usa si la matriz hessiana restringida de Lagrange no plenamente definida.
(Ver ejercicios 2 y 3 del método de Lagrange y ejercicio 2 de la práctica 2, del método de
Lagrange).
LA MATRIZ JACOBIANA se conforma amb las derivadas parciales de las variables
instrumentales (x, y, z) de la/las restricción/es del programa.
Se multiplica la matriz jacobina por un vector columna de las variables instrumentales (o de
diferenciales de las variables instrumentales) y se iguala a 0, después se resuelve la ecuación
que relacionará una variable con las otras.
Si hay 2 o más restricciones quedarán tantas ecuaciones como restricciones del programa.
(Cada ecuación resultante se igualaria a 0 y se resuelve el sistema para saber la relación entre
variables).
Después se construye la FORMA CUADRÁTICA RESTRINGIDA (con el producto del vector fila
de las variables instrumentales por la matriz hessiana de Lagrange y por el vector columna del los
diferenciales de variables)
Esto permite analizar el signo de la forma cuadrática restringida.
- Si la expresión es positiva, MÍNIMO GLOBAL.
- Si la expresión es negativa, MÁXIMO GLOBAL.
TEMA 2. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD (INECUACIONES
ESTRICTAS O NO).
PLANTEAMIENTO FORMAL DEL PROBLEMA
(PROGRAMACIÓN CANÓNICA).
Máx z = f(x1, x2, x3, …,xn)
s.a. h1(x1,x2, x3,…,xn) ≤ b
h2(x1,x2,x3,….,xn) ≤ b
h3(x1,x2,x3,….,xn) ≤ b
hm(x1,x2,x3,….,xn) ≤ bm
O bien esquemáticamente:
Máx z = f(x)
hi(x) ≤ bi , i= 1,2,….m
Donde x = (x1, x2, x3, …,xn) son las variables instrumentales, o de decisión, f(x) la función
objetivo y h(x) son las restricciones de desigualdad (inecuaciones).
-Resolución analítica. Estudio de las Condiciones y puntos (críticos) de Kuhn – Tucker (K-T)
PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)
Son aquellos problemas de optimización con LA FUNCIÓN OBJETIVO Y LAS RESTRICCIONES
DE DESIGUALDAD (INECUACIONES) LINEALES.
Planteamiento formal del programa lineal, EN FORMA CANÓNICA:
Programa de maximización:
Máx z = f(x1, x2, x3, …,xn) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + …+cnxn
s.a. a11x1+a12x2 + a13x3 + ---a1nxn ≤ b
a21x1+a22x2 + a23x3 + ---a2nxn ≤ b
a31x1+a32x2 + a33x3 + ---a3nxn ≤ b
am1x1+am2x2 + am3x3 + ---amnxn ≤ bm
Con c1,c2,…. como coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo.
Los términos a como coeficientes de las variables en las m restricciones de desigualdad.
Los términos b como constantes de las m restricciones (inecuaciones).
Programa de minimización
Mín z = f(x1, x2, x3, …,xn) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + …+cnxn
s.a. a11x1+a12x2 + a13x3 + ---a1nxn ≥ b
a21x1+a22x2 + a23x3 + ---a2nxn ≥ b
a31x1+a32x2 + a33x3 + ---a3nxn ≥ b
am1x1+am2x2 + am3x3 + ---amnxn ≥ bm
Con c1,c2,….cn como coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo.
Los términos a como coeficientes de las variables en las m restricciones de desigualdad.
Los términos b como constantes (parámetros)de las restricciones.
CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)
- Conjunto factible siempre es convexo, porque es la intersección de los conjuntos convexos
generados por los semiespacios generados por la función objectivo y las restricciones de
desigualdad (todas las funciones son lineales).
- Como la función objetivo es lineal, implica que es contínua, y si el conjunto factible es
acotado (forma un poliedro) se puede garantir la EXISTENCIA DE UN MÁXIMO Y DE UN
MÍNIMO.
(Aplicación del Teorema de Weierstrass).
- Función objetivo lineal y el conjunto factible convexo implica que los ÓPTIMOS SON
SIEMPRE GLOBALES (CONDICIONADOS). (Pueden haber diversos óptimos porque la
función objetivo,lineal, no es estrictamente cóncava ni estrictamente convexa).
- ÓPTIMOS FRONTERA, pero NO ÓPTIMOS INTERIORES.
- Método de RESOLUCIÓ ANALÍTICA: ALGORITMO DEL SÍMPLEX.
CASOS DE RESOLUCIÓN GRÁFICA EN PROGRAMACIÓN LINEAL (CON 2 VARIABLES
INSTRUMENTALES O DE DECISIÓN).
Si las variables de decisión cumplen la condición de no negatividad, el programa lineal se
restringe al 1r cuadrante.
CLASIFICACIÓN DE LOS CASOS:
A) CONJUNTO DE OPORTUNIDADES POLIÉDRICO (ACOTADO).
A.1)Solución única o de vértice. Tangencia de función objetivo y el conjunto factible en un punto
y exclusivamente en ése.
A.2)Solución de arista o solución múltiple. Las curvas de nivel de la función objetivo son
paralelas a una de las restricciones que configuran el conjunto factible. Infinitos óptimos a lo
largo de un segmento.
B) CONJUNTO FACTIBLE NO ACOTADO, POLÍTOPO (“ABIERTO”).
B.1)Solución única o de vértice. (Mismo caso apartado A)
B.2)Solución de arista. (Igual que en apartado A, se trata arista cerrada)
B.3)Solució de arista infinita. (Los infinitos óptimos en la arista “abierta”, óptimos en una
semirrecta).
B.4)Sin solución. No hay tangencia entre alguna de las curvas de la función objetivo y el
conjunto factible determinado por las restricciones.
MÉTODO ALGEBRAICO DE RESOLUCIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL.
- Si el conjunto factible es un POLIEDRO (se encuentra acotado y cerrado) existe óptimo
(máximo y también mínimo) y se encuentra en un vértice (punto extremo del conjunto factible),
punto de corte o bien en una arista (segmento que une dos vértices).
La resolución analítica es CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE (factibles) y EL/LOS
VÉRTICE/S con la resolución de las RESTRICCIONES Y SUSTITUIR(LOS) EN LA FUNCIÓN
OBJETIVO para analizar el óptimo.
En el caso de SOLUCIÓN MÚLTIPLE O DE ARISTA una curva de nivel de la función objetivo
se superpone a una de las restricciones que configuran el conjunto factible.
- Si el conjunto factible es un polítopo (ABIERTO) puede que
no haya algún óptimo (máximo/mínimo), aunque sea conjunto convexo.
Puede haber máximo y no mínimo, o mínimo y no máximo.
LA RESOLUCIÓN ANALÍTICA se complica si el NÚMERO DE VARIABLES (Incógnitas) es
elevado.
Por eso se utilitza el algoritmo símplex (en el cual se basa el aplicativo SOLVER del Excel
para programas lineales).
El algoritmo símplex trata de buscar soluciones mejores a partir de unos pasos hasta encontrar el/
los óptimo/s.
MODELOS ECONÓMICOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL PARA VARIAS VARIABLES (USO
DEL SOLVER)
A) Producción. (Maximizar el beneficio sin exceder la capacidad productiva de la empresa).
B) Dieta. (Minimizar el coste de una alimentación equilibrada según unas necesidades básicas de
nutrientes)
C) Transporte. (Minimizar el coste del transporte según diversos puntos de producción,
NOTA: Pequeño error de traducción de la columna derecha (SE TRATA DE DECRECIMIENTO O
DISMINUCIÓN, NO INCREMENTO).
2 TABLAS DE DATOS DIFERENTES.
La de arriba trata sobre la función objetivo, el óptimo y el valor óptimo.
La de abajo trata las restricciones del programa lineal. (Las restricciones
no siempre tienen el signo esperado según la forma canónica del problema).
INTERPRETACIÓN DE LA TABLA 1.
LA COLUMNA “VALOR IGUAL” NOS INDICA EL ÓPTIMO.
En el ejemplo, menús básicos 0, menús normales 0 y menús de excelencia 20.
(Únicamente se dedica a los menús gourmet ).
EL VALOR ÓPTIMO ÉS EL SUMATORIO de los valores de LA COLUMNA “VALOR IGUAL” por
los valores de la COLUMNA “COEFICIENTES OBJETIVO” (los Cs de las variables
instrumentales que forman la función objetivo).
Así, Beneficio = 0x 2,5 + 0x4 + 20x7,5 = 150 euros diarios
La tabla 1 además muestra los MÁRGENES PERMITIDOS DE CRECIMIENTO/DISMINUCIÓN
DEL COEFICIENTE OBJETIVO de cada variable en la función objetivo para que el ÓPTIMO SEA
EL MISMO.
Así, si el beneficio unitario del menú normal es superior a 4,2 euros, el óptimo será diferente. Eso
también pasa si el beneficio por menú de excelencia es menor que 7,5 – 0,357142857. El óptimo
también será diferente si el menú básico permite un beneficio unitario superior a 3 euros.
EL VALOR ÓPTIMO SIEMPRE CAMBIA CON UNA VARIACIÓN DE UN COEFICIENTE
OBJETIVO DE UNA VARIABLE DENTRO DE MÁRGENES PERMITIDOS
INTERPRETACIÓN DE LA TABLA 2.
La columna “Restricción lado derecho” indica el parámetro (“b”) de cada restricción. Este
valor se compara con el dato de la columna “Valor igual” para comprobar si la restricción
está saturada (se cumple con igualdad) o no está saturada (se cumple con desigualdad
estricta).
En el ejemplo, la restricción de minutos de cocina (horas del cocinero) está saturada y el resto de
restricciones no.
La información clave es LA COLUMNA “SOMBRA PRECIO” (“Ombra preu”) o “Precio
sombra” (“Preu ombra”). Estos valores se pueden consideran como “LOS MULTIPLICADORES
DE LAGRANGE” de cada restricción.
Así, PERMITEN CALCULAR LA VARIACIÓN APROXIMADA del VALOR ÓPTIMO objetivo
ante pequeñas variaciones del parámetro b de cada restricción.
De este modo, variación (APROX.) de beneficios por contratar y disponer 5 minutos más de un
cocinero es 1,5 euros (1,5 = 0,3 · 5)
EL PRECIO SOMBRA en programas de MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS INDICA LA
DISPONIBILIDAD MÁXIMA A PAGAR por disponer de una unidad adicional del parámetro b
de la restricción (recursos productivos, financieros...).
Así, el restaurador pagaría hasta 0,3 euros por un minuto extra de personal de cocina, el
equivalente a 18 euros por hora adicional.
LAS RESTRICCIONES NO SATURADAS SUELEN TENER UN PRECIO SOMBRA 0.
SI EL NUEVO PARÁMETRO (“B”), “EL LADO DERECHO RESTRICCIÓN” NO SE ENCUENTRA
EN LOS MÁRGENES PERMITIDOS, EL PRECIO SOMBRA DE LA RESTRICCIÓN CAMBIA , YA
NO SE MANTIENE.
La interpretación de un informe de sensibilidad del aplicativo Solver para un PROBLEMA
DE TRANSPORTE es análoga, pero en este caso hay que tener en cuenta que la función objetivo
es de costes y por tanto es un PROGRAMA DE MINIMIZACIÓN.
HAY QUE TENER SIEMPRE CLARO EL SIGNO DE LA RESTRICCIÓN PARA INTERPRETAR
BIEN LA TABLA 2.
En el caso de modelos de transporte, el precio sombra no mide la disposición máxima de
pago por una unidad adicional de b, sino que debe entenderse como la variación de la
función objetivo en el óptimo (aumento/disminución de los costes de transporte).
Hay programas de minimización que tienen “precios – sombra” negativos y eso implica que un
incremento de una unidad de “b” de esa restricción representa una reducción de costes.
COMPARACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL (PL) CON PROGRAMACIÓN NO LINEAL (PNL)
Ambos programas son problemas con restricciones de desigualdad (las restricciones son
inecuaciones).
- TIPOS DE FUNCIONES.
Programación lineal. Tanto la función objetivo como todas las restricciones (inecuaciones) son
lineales.
Programación no lineal. La función objetivo o bien alguna de las inecuaciones no son lineales.
-TIPOS DE ÓPTIMOS.
Programación lineal. Siempre óptimos de frontera (vértices o puntos de corte factibles como
soluciones únicas), o bien solución múltiple o de arista,si los vértices de una arista tienen el mismo
valor óptimo.
Programación no lineal. Óptimos de frontera o óptimos interiores. Si dos vértices son óptimos,
los puntos intermedios pueden no serlo e incluso no pertenecer al conjunto de oportunidades o
región factible.
- MÉTODO DE RESOLUCIÓN GRÁFICA.
Programación lineal y programación no lineal se resuelven gráficamente con la representación
del conjunto factible, con 2 variables, y la posterior representación de mapa de curvas de
nivel de la función objetivo.
Confirmación de punto/s de tangencia.
Únicament hi ha funciones lineales o rectas en PL.
Aparición de parábolas, circunferencias, etc en PNL.
- MÉTODO DE RESOLUCIÓN ANALÍTICA.
Programación lineal (PL) con dos variables con la sustitución de puntos de corte y vértices del
conjunto factible en la función objetivo.
Programación lineal (PL) con varias variables se resuelve con ayuda del aplicativo Solver del
Excel.
Programación no lineal (PNL) se resuelve con el método de Kuhn – Tucker (tiene semejanzas
con el método de Lagrange que se aplica en la programación clásica).
MÉTODO DE KUHN – TUCKER
(PROGRAMACIÓN NO LINEAL, PNL).
