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ECONOMÍA APLICADA III^1
TEMA 4: PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA CON RESTRICCIONES.
1. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD. FUNCIÓN DE LAGRANGE.
2. CONDICIONES NECESARIAS Y CONDICIONES SUFICIENTES DE OPTIMALIDAD.
3. INTERPRETACIÓN ECONOMICA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
4. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD.
1. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD. FUNCIÓN DE LAGRANGE
La formulación general del problema con restricciones de igualdad es
s.a. g(x) b
Opt f(x)
donde f :Rn^ → R , g :Rn^ → Rm,g (x) = (g 1 (x),g 2 (x),...,gm(x)) , g (^) j :Rn → R,j = 1 ,...,m , b ∈ Rm.
Supondremos que tanto la función objetivo como las funciones que determinan las restricciones son
de clase dos, f ∈ C^2 (Rn) , g ∈ C^2 (Rn) , pues las condiciones de optimalidad que vamos a
desarrollar requieren la existencia y continuidad de las derivadas de primer o segundo orden de todas las funciones.
Definición: La función de Lagrange o lagrangiana del problema es la función de n + m variables
L( x,λ) = f(x) − λt^ (g(x) − b), x ∈ Rn, λ ∈ R^ m
es decir, ∑
=
m
j
L(x,...,xn ,λ,...,λm) f(x ,...,xn) λj(gj(x,...,xn) bj) 1
1 1 1 1
Las variables λ (^) j ∀ j = 1 ,...,m se denominan multiplicadores de Lagrange.
Ejemplo: Para el problema
x z
s.a. x y
Opt x y z
la función lagrangiana es L( x,y,z;λ 1 ,λ 2 ) = x + y − z − λ 1 (x^2 + y^2 − 2 ) − λ 2 (x + 3 z − 4 ).
Propiedades:
- En las soluciones factibles coinciden los valores de la función objetivo con los valores de la
función lagrangiana, es decir, L( x, λ ) = f(x), ∀ x ∈ X , ∀λ ∈ Rm.
- El gradiente de la función lagrangiana puede expresarse en función de los gradientes de las funciones f y de (^) g (^) j , j = 1 ,...,m , como
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= (g(x) b )
f(x) λ g (x) L(x,λ)
L(x,λ) L(x,λ)
m
j
j j λ
x 1
- Si ( x,λ) es un punto crítico de L( x,λ) , entonces x * pertenece al conjunto de soluciones factibles y el gradiente de la función objetivo en x * es combinación lineal de los gradientes de las funciones restricción en ese punto.
Si θ (g(x*) b )
f(x) λ g (x) L(x,λ)
m
j
j
* j (^) =
= 1
, entonces ∑
=
m
j
j
* f(x) λj g (x) 1
y x* ∈ X.
2. CONDICIONES NECESARIAS Y CONDICIONES SUFICIENTES DE OPTIMALIDAD
Teorema: (Condición necesaria de primer orden). Si x * es un óptimo local del problema, y Jg (x*) ≠ θ , entonces existe λ* ∈ Rm , tal que ( x,λ) es un punto crítico de la Lagrangiana.
Ejemplo:
2 2
− =
s.a. x y
Opt x y
La función de Lagrange es L( x,y;λ) = x^2 + y^2 − λ(x − y − 4 ). Los puntos críticos de la lagrangiana
son aquellos tales que θ (x y )
y λ
x λ L( x,y;λ) =
. En este caso, sólo hay un punto crítico
( 2 , − 2 ; 4 ). Por tanto ( 2 , − 2 ) es un posible óptimo del problema.
A continuación se establecen condiciones necesarias y condiciones suficientes de optimalidad que están basadas en las derivadas de segundo orden de la función lagrangiana. Denotaremos por H (^) x L(x*,λ *) a la matriz de las derivadas de segundo orden de la función lagrangiana con respecto a las variables principales x.
Teorema: (Condición necesaria de segundo orden).
Sea ( x,λ) un punto crítico de la lagrangiana, y rg( Jg(x*)) = m. a) Si x * es un mínimo local del problema, entonces la forma cuadrática p t^ HxL(x*, λ *) p es D.P. o
S.D.P. en el subespacio de vectores { p ∈ Rn^ / ∇ gj(x*)tp = 0 ,j = 1 ,...,m}. b) Si x * es un máximo local del problema, entonces la forma cuadrática p t^ HxL(x*, λ *) p es D.N. o
S.D.N. en el subespacio de vectores { p ∈ Rn^ / ∇ gj(x*)tp = 0 ,j = 1 ,...,m}.
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La función de Lagrange es L( x,y;λ) = x^2 − y^2 − λ(x^2 + y^2 − 4 ). Los puntos críticos de la
lagrangiana son aquellos que θ (x y )
y λy
x λx L( x,y;λ) =
2 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos los puntos críticos ( 0 , 2 ;− 1 ), ( 0 ,− 2 ;− 1 ), ( 2 , 0 ; 1 ), ( − 2 , 0 ; 1 ).
Se verifica el Teorema de Weierstrass, por tanto el problema tiene máximos y mínimos globales. Para determinarlos, basta con evaluar la función objetivo en cada punto obtenido:
f( 0 , 2 ) = f( 0 , − 2 ) =− 4 f( 2 , 0 ) = f( − 2 , 0 ) = 4
Por tanto, los puntos ( 0 , 2 ) y ( 0 , − 2 ) son mínimos globales y los puntos ( 2 , 0 ) y ( − 2 , 0 ) son máximos globales.
Teorema: Si X es un conjunto convexo, y f es cóncava (convexa) en X , entonces x * es máximo (mínimo) global si y solo si ∃ λ * ∈ Rm tal que ( x*, λ *) es un punto crítico de la Lagrangiana.
Ejemplo: Para el problema
s.a.x y
Minx x y
Estudiamos la convexidad:
⇒^ =
Hf(x,y) y
x f (x,y) es D.P., luego la función objetivo es estrictamente
convexa. El conjunto factible es convexo ya que representa a un hiperplano. Por tanto problema convexo, luego si existe punto crítico será único y obtendremos un mínimo global único. La función de Lagrange es L( x,y;λ) = x^2 − 2 x + y^2 − λ(x + y). Los puntos críticos de la
lagrangiana son aquellos que θ (x y )
y λ
x λ L( x,y;λ) =
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos el punto crítico ( , ; 1 ) 2
. Luego el punto
es mínimo global único.
ECONOMÍA APLICADA III^5
3. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Cuando se resuelve un problema de la forma
s.a. g(x) b
Opt f(x)
se obtiene la solución óptima, x * , el valor óptimo de la función objetivo f (x*) = f* , y un vector
de multiplicadores λ. Todos estos valores dependen de las constantes de las restricciones, b. Al variar estas cantidades, la solución varía. Podemos, por tanto, considerar la solución óptima, el valor objetivo óptimo y el valor de los multiplicadores en el óptimo como función de las constantes de las restricciones, es decir, _x (b),f(x(b)),λ(b)_.
El multiplicador de Lagrange asociado a la restricción j-ésima en el óptimo, λ* (^) j , representa la
variación del valor óptimo de la función objetivo producida por una variación infinitesimal del segundo miembro de la j-ésima restricción. Es decir, es la tasa de variación del valor óptimo de la función objetivo con respecto a la constante del lado derecho de la restricción
(x *) b
f λ j
* j ∂
Ejemplo: En el ejemplo anterior, el punto crítico de la lagrangiana, ( , ; 1 ) 2
proporciona un
mínimo global del problema. Que el valor del multiplicador en el óptimo sea λ* =− 1 significa que si aumentamos (disminuimos) el término independiente de la restricción, el valor óptimo de la función objetivo disminuye (aumenta) aproximadamente en la misma cuantía.
4. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD
En este apartado tratamos problemas de optimización con restricciones de desigualdad, este tipo de problemas es más representativo de las circunstancias en que se desenvuelve normalmente la actividad económica que los problemas con restricciones de igualdad, ya que, normalmente, se dispone de cantidades limitadas de recursos sin la obligación de emplearlos en su totalidad si no resultase adecuado.
Formalmente, analizamos problemas de la forma
sa g x b
Opt f x
.. ( ) ≤
donde f : Rn^ → R , g :Rn^ → Rm, y el conjunto factible es X = { x ∈ Rn^ / g ( x )≤ b }
Supondremos que el problema verifica las denominadas hipótesis de cualificación de restricciones (h.c.r.). Esta condición es difícil de comprobar en la práctica, no obstante, existen condiciones suficientes más operativas que permiten determinar la presencia de esta hipótesis.
Condiciones suficientes para que todas las soluciones factibles cumplan hipótesis de cualificación de restricciones.
- Todas las funciones g (^) j ( x ) que definen las restricciones g (^) j ( x )≤ bj son convexas, y X tiene
interior no vacío.
- Todas las restricciones del problema son lineales.
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Se verifica h.c.r. pues g 1 (x,y) = − x + y^2 y g 2 (x,y) = x son funciones convexas, y el interior del
conjunto X es no vacío.
Función lagrangiana del problema: L ( x , y ;λ 1 ,λ 2 )= x^2 + y^2 −λ 1 (− x + y^2 )− λ 2 ( x − 1 )⇒
y y
x xyLx y 1
1 2 ( ,) (^1222)
λ
λ λ λ λ
Las condiciones de Kuhn y Tucker son en este caso:
1) 2 x + λ 1 − λ 2 = 0 2) λ 1 ( − x + y^2 )= 0 3) λ 1 , λ 2 ≥ 0 4) − x + y^2 ≤ 0
2 y − 2 λ 1 y = 0 λ 2 ( x − 1 )= 0 x ≤ 1
Los puntos que cumplen estas condiciones son: (0,0;0,0), (1,0;0,2), (1,1;1,3), (1,-1;1,3). Por otra parte, el conjunto factible es cerrado y acotado, y la función objetivo es continua y, por tanto, el teorema de Weierstrass asegura la existencia de máximo global del problema. Para determinarlo basta con evaluar la función objetivo en los puntos de Kuhn y Tucker:
f f
f
f
luego (1,1) y (1,-1) son los máximos globales del problema.
El siguiente resultado establece la suficiencia de las condiciones de Kuhn y Tucker cuando el problema cumple condiciones de convexidad.
Teorema: (Condición suficiente de optimalidad global)
Sea f cóncava en el conjunto factible X , y g j , j = 1 ,..., m convexas. Si ( x , λ) cumple las
condiciones de Kuhn y Tucker entonces x * es máximo global.
Análogamente, si el problema es de minimizar se exige a la función objetivo que sea convexa para establecer la suficiencia de las condiciones de Kuhn y Tucker.
Problemas con condiciones de no negatividad.
En el caso en que las variables están sujetas a condiciones de no negatividad, es decir, para problemas de la forma:
x
sa g x b
Max f x
.. ( )
Los puntos de Kuhn y Tucker, ( x , λ), son los puntos que cumplen
- (^) x i n x
L i
( *^ , *)≤ 0 ∀ = 1 ,..., ∂
∂ λ 2) (^) x i n x
L
x i
i (^ , )^01 ,...,
λ 3)^ x *≥^ θ
4)λ* ≥ θ 5) λ* J ^ ( g j ( x *)− bj )= 0 ∀ j = 1 ,..., m 6) g j ( x *)≤ bj ∀ j = 1 ,..., m
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Para el problema de minimizar:
x
sa g x b
Min f x
.. ( )
Los puntos de Kuhn y Tucker, ( x , λ), son los puntos que cumplen
- (^) x i n x
L i
( *^ , *)≥ 0 ∀ = 1 ,..., ∂
∂ λ 2)^ x i n x
L
x i
i (^ , )^01 ,...,
λ 3) x *≥ θ
4)λ* ≤ θ 5) λ* J ^ ( g j ( x *)− bj )= 0 ∀ j = 1 ,..., m 6) g j ( x *)≤ bj ∀ j = 1 ,..., m
Ejemplo:
( 1 )^2 ( 2 )^2
x y
sa x y
Max x y
La función lagrangiana es L ( x , y ;λ)= ( x − 1 )^2 +( y − 2 )^2 − λ( x + y − 2 )⇒
( ,) (^ , ; 1 , 2 )
y
x xyLx y
Las condiciones de Kuhn y Tucker son:
1) 2 ( x − 1 )− λ≤ 0 2) x ( 2 ( x − 1 )− λ)= 0 3) x,y ≥ 0
2 ( y − 2 )− λ≤ 0 y ( 2 ( y − 2 )− λ)= 0
- λ ≥ 0 5) λ ( x + y − 2 ) = 0 6) x + y ≤ 2
En este caso, los puntos de Kuhn y Tucker son (2,0;2), (0,0;0), (0,2;0) y (1,0;0). Todos los puntos del conjunto factible verifican h.c.r., al ser todas las funciones que definen las restricciones lineales. Por otra parte, como consecuencia del carácter cerrado y acotado del conjunto factible y de la continuidad de la función objetivo, se sigue que el problema tiene máximo global. Puede comprobarse que los máximos globales del problema son los puntos (2,0) y (0,0) donde la función objetivo alcanza el valor f ( 2 , 0 )= f ( 0 , 0 )= 5.
Un caso particular interesante es cuando las únicas restricciones sobre los valores de las variables del problema son referentes al signo. En este caso, las condiciones de Kuhn y Tucker para los problemas de maximización y minimización se obtienen a partir de las condiciones de Kuhn y
Tucker para el problema con la función lagrangiana L ( x ,λ )= f ( x )−λ t^ (− x ), λ∈ R y son,
respectivamente,
sa x ≥ θ
Max f x
..
sa x ≥ θ
Min f x
..
1) ∇ f ( x *)≤ θ 1) ∇ f ( x *)≥ θ
- ∇ f ( x *^ ) t^ x *= 0 2) ∇ f ( x *^ ) tx *= 0
3) x *≥ θ 3) x *≥ θ
