Conjuntos y funciones en matemáticas: dominios, imágenes, gráficas, operaciones y límites, Ejercicios de Matemáticas

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NOTAS DE

MATEM ´ATICAS PARA BIOLOG´IA

Facultad de Biolog´ıa

Universidad de Santiago de Compostela

Curso 2017-

iv

Tema 1

FUNCIONES REALES DE UNA

Y VARIAS VARIABLES REALES

1.1. GENERALIDADES (UNA VARIABLE REAL)

Sean A y B dos subconjuntos de n´umeros reales.

DEFINICI ´ON: Una funci´on f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x del conjunto A un ´unico elemento y del conjunto B. El elemento y se denomina imagen de x mediante f , y se denota por f (x). El conjunto A se denomina dominio (o conjunto de definici´on, o conjunto de partida) de f y el conjunto B conjunto de llegada (o codominio) de f.

Para definir tal funci´on se suele emplear la notaci´on:

f : x ∈ A ⊂ R −→ f (x) ∈ B ⊂ R,

aunque es frecuente escribir simplemente y = f (x), denominando a x variable independiente y a y variable dependiente.

Puesto que tanto A como B son subconjuntos de R, dicha funci´on se denomina funci´on real de una variable real; habitualmente, el conjunto de definici´on A ser´a un intervalo y el conjunto de llegada B ser´a el conjunto de los n´umeros reales R.

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on f de A en R se define la imagen o el conjunto imagen de f , que se denota por f (A) o Im(f ), como sigue:

f (A) = {f (x)/ x ∈ A} = {y ∈ R/ y = f (x) para alg´un x ∈ A} ⊂ R.

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on f de A en R se define la gr´afica de f como el siguiente subconjunto de R^2 :

{(x, f (x))/ x ∈ A} = {(x, y) ∈ R^2 / x ∈ A, y = f (x)} ⊂ R^2.

1.1.1. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Sea F = {f / f : A ⊂ R −→ R} el conjunto de todas las funciones reales de variable real definidas en un mismo subconjunto A. Sean f y g dos elementos de F y α un n´umero real. Se definen:

a) Suma de funciones:

f + g : x ∈ A ⊂ R −→ (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∈ R.

1.1.2. FUNCIONES EXPONENCIALES

A continuaci´on, se consideran unas funciones particularmente importantes en la Biolog´ıa.

DEFINICI ´ON: Dada a > 0, a ̸= 1, una funci´on f se denomina exponencial de base a si:

f (x) = ax,

siendo su dominio R.

PROPIEDADES:

1. ax^ > 0 , ∀x ∈ R.

2. a−x^ =

ax^

, ∀x ∈ R.

1. ax+y^ = axay^ , ∀x, y ∈ R.

2. (ax)y^ = axy^ , ∀x, y ∈ R.

3. La gr´afica de la funci´on exponencial de base a es la siguiente:

Figura 1.1: Gr´afica de la funci´on exponencial.

1. Si a > 1, la funci´on exponencial de base a es una funci´on mon´otona estrictamente cre- ciente.

2. Si 0 < a < 1, la funci´on exponencial de base a es una funci´on mon´otona estrictamente decreciente.

3. Si b > 0, b ̸= 1, entonces: (ab)x^ = axbx, ∀x ∈ R. ( (^) a b

)x

ax bx^

, ∀x ∈ R.

1.1.3. FUNCIONES LOGAR´ITMICAS

Puesto que la funci´on exponencial de base a > 0, a ̸= 1, es inyectiva, tiene funci´on inversa que se analiza a continuaci´on.

DEFINICION: Dada a > 0 , a ̸= 1, se denomina funci´on logaritmo en base a, y se denota por loga, a la inversa de la funci´on f (x) = ax, siendo su dominio el intervalo (0, +∞). Entonces:

loga y = x ⇐⇒ ax^ = y.

El logaritmo m´as utilizado es el logaritmo neperiano o natural, cuya base es el n´umero e = 2, 718281... y se denota usualmente por ln en lugar de loge. Tambi´en tiene su relevancia el logaritmo decimal o com´un, que corresponde al logaritmo en base a = 10.

PROPIEDADES:

1. loga 1 = 0.

2. loga a = 1.

3. loga(xy) = loga x + loga y, ∀x, y ∈ (0, +∞).

4. loga

x y

= loga x − loga y, ∀x, y ∈ (0, +∞).

1. loga (xy^ ) = y loga x, ∀x ∈ (0, +∞) , ∀y ∈ R.

2. La gr´afica de la funci´on logaritmo en base a es la siguiente:

Figura 1.2: Gr´afica de la funci´on logaritmo.

1. Si a > 1, la funci´on logaritmo en base a es una funci´on mon´otona estrictamente crecien- te.

2. Si 0 < a < 1, la funci´on logaritmo en base a es una funci´on mon´otona estrictamente decreciente.

Desde luego, se verifica la siguiente igualdad:

sen^2 θ + cos^2 θ = 1. Las razones trigonom´etricas m´as comunes se recogen en la tabla 1.1; n´otese que la forma de construir la tabla hace m´as f´acil su reconstrucci´on en caso de olvido.

Tabla 1.1: Algunos valores trigonom´etricos Angulo´ θ 0 π 6

π 4

π 3

π 2 sen θ (^12)

cos θ (^12)

Recordemos tambi´en que los ´angulos positivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj a partir del eje x positivo, y los ´angulos negativos se miden en el sentido de las agujas del reloj.

En tal caso, se pueden considerar las funciones trigonom´etricas, seno, coseno y tangente, con el ´angulo x medido en radianes.

La figura 1.5 muestra la gr´afica de las funciones seno y coseno en [− 2 π, 2 π].

Figura 1.5: Gr´aficas de las funciones seno y coseno.

N´otese que ambas funciones son peri´odicas de per´ıodo 2π:

sen x = sen(x + 2π), ∀x ∈ R,

cos x = cos(x + 2π), ∀x ∈ R.

Adem´as, la funci´on seno es una funci´on impar:

sen x = −sen(−x),

mientras que la funci´on coseno es una funci´on par:

cos x = cos(−x). La figura 1.6 muestra la gr´afica de la funci´on tangente en el intervalo (− π 2 , π 2 ). N´otese que la funci´on tangente es peri´odica de per´ıodo π e impar:

tg x = tg(x + π),

tg x = −tg(−x).

Figura 1.6: Gr´afica de la funci´on tangente. Figura 1.7: Gr´afica de la funci´on arco tangente.

1.1.6. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS INVERSAS

La funci´on seno es inyectiva en el intervalo [− π 2 , π 2 ], por tanto posee funci´on inversa, denominada funci´on arco seno, definida en el intervalo [− 1 , 1] como sigue (v´ease la figura 1.8):

y = arc sen x ⇐⇒ x = sen y.

Figura 1.8: Gr´afica de la funci´on arco seno. Figura 1.9: Gr´afica de la funci´on arco coseno.

La funci´on coseno es inyectiva en el intervalo [0, π], por tanto posee funci´on inversa, denominada funci´on arco coseno, definida en el intervalo [− 1 , 1] como sigue (v´ease la figura 1.9):

y = arc cos x ⇐⇒ x = cos y.

Por ´ultimo, dado que la funci´on tangente es inyectiva en el intervalo (− π 2 , π 2 ), posee funci´on inversa, denominada funci´on arco tangente, definida en R como sigue (v´ease la figura 1.7):

y = arc tg x ⇐⇒ x = tg y.

Varios ejemplos de gr´aficas de funciones reales de dos variables reales son:

Paraboloide: z = x^2 + y^2 , corresponde a F (x, y) = x^2 + y^2 (v´ease la figura 1.11).

Cono: z =

x^2 + y^2 , corresponde a F (x, y) =

x^2 + y^2 (v´ease la figura 1.12).

Silla de montar: z = x^2 − y^2 , corresponde a F (x, y) = x^2 − y^2 (v´ease la figura 1.13).

Semiesfera: z =

1 − x^2 − y^2 , corresponde a F (x, y) =

1 − x^2 − y^2 (v´ease la figura 1.14).

Figura 1.11: Paraboloide z = x^2 + y^2. Figura 1.12: Cono z =

x^2 + y^2.

Figura 1.13: Silla de montar z = x^2 − y^2. Figura 1.14: Semiesfera z =

1 − x^2 − y^2.

Para visualizar una funci´on de dos variables se puede proceder de dos modos, lo cual se ilustra,

a continuaci´on, para la funci´on F (x, y) =

1 + x^2 + y^2

1. Representar la superficie z = F (x, y) (v´ease la figura 1.15); para ello suele ser de gran ayuda obtener las l´ıneas de contorno de la superficie z = F (x, y), que son las curvas que se obtienen al cortarla por los planos z = c, donde c es una constante real (v´ease la figura 1.16). El resultado es una representaci´on tridimensional de la funci´on.

2. Hallar las curvas de nivel de la funci´on F , que son las curvas en el conjunto de definici´on sobre las que la funci´on F tiene un valor constante:

Lc = {(x, y) ∈ A/ F (x, y) = c} ⊂ A ⊂ R^2.

En este caso, se obtiene una representaci´on bidimensional de la funci´on. N´otese que si las curvas de nivel est´an muy pr´oximas entre s´ı, la funci´on var´ıa r´apidamente, mientras que si est´an muy espaciadas entonces la variaci´on de la funci´on es muy lenta.

Las curvas de nivel son las proyecciones de las l´ıneas de contorno sobre el conjunto de definici´on A y, aunque algunas veces se utilizan los dos t´erminos de forma indistinta, de- be quedar claro que las curvas de nivel est´an en el conjunto de definici´on de la funci´on, y por tanto son curvas en el plano, mientras que las l´ıneas de contorno est´an en la superficie, y por tanto son curvas en el espacio (v´eanse las figuras 1.17 y 1.18).

Figura 1.15: Superficie z = (^) 1+x^32 +y 2. Figura 1.16: Superficie^ z^ =^

3 1+x^2 +y^2 y plano^ z^ = 2 cuya intersecci´on define una l´ınea de contorno.

Figura 1.17: L´ıneas de contorno de la super- ficie z = (^) 1+x^32 +y 2.

Figura 1.18: Curvas de nivel de la funci´on F (x, y) = (^) 1+x^32 +y 2.

Adem´as, son ejemplos muy conocidos de curvas de nivel:

1. Las isotermas o curvas de nivel de la funci´on temperatura. Sobre una isoterma, la tempe- ratura se mantiene constante.

2. Las isobaras o curvas de nivel de la funci´on presi´on atmosf´erica. Sobre una isobara, la presi´on se mantiene constante.

3. Las curvas de los mapas topogr´aficos o curvas de nivel de la funci´on altura sobre el nivel del mar. Sobre cada una de estas curvas, la altura sobre el nivel del mar se mantiene constante.

1.3. L´IMITES Y CONTINUIDAD (UNA VARIABLE REAL)

Las nociones de l´ımite y continuidad son esenciales para comprender los aspectos conceptuales del c´alculo, as´ı como para analizar el comportamiento de las variables que intervienen en el mo- delado de numerosos problemas relacionados con las ciencias; a continuaci´on se establecen algunas definiciones, reglas y propiedades b´asicas relativas a dichas nociones.

Sean f una funci´on definida en un intervalo abierto I = (a, b), c un punto de I y L un n´umero real.

DEFINICI ´ON: El l´ımite de la funci´on f en el punto c es L, y se escribe l´ımx→c f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, entonces |f (x) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I ∩ (c − δ, c + δ), x ̸= c, entonces f (x) ∈ (L − ε, L + ε).

c

L

c-d c+d

L-e

L+e

y=f(x)

x

y

x

e f(x)

Figura 1.19: L´ımite de una funci´on en un punto.

Observaciones:

1. En la anterior definici´on se supone, por comodidad, que c ∈ I aunque tal condici´on no es necesaria. Por ejemplo, c podr´ıa ser uno de los extremos del intervalo.

2. Una manera de leer la definici´on de l´ımite es: para cada intervalo abierto de centro L y radio ε, existe un intervalo abierto de centro c y radio δ de forma que si x es un punto de este intervalo y x no es c, entonces f (x) est´a en el primer intervalo (v´ease la figura 1.19). Lo cual se puede traducir tambi´en en los siguientes t´erminos: la variable dependiente f (x) est´a tan pr´oxima a L como se quiera, sin m´as que tomar la variable independiente x suficientemente pr´oxima a c y distinta de c.

3. Si una funci´on tiene l´ımite en un punto, ´este es ´unico; desde luego, cabe la posibilidad de que el l´ımite no exista, como muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Sea la funci´on definida por:

f (x) =

x, si x < 0 , 1 , si x = 0, x + 2, si x > 0.

N´otese que no existe el l´ımite de la funci´on en el punto c = 0. Figura 1.20: Gr´afica de la funci´on f.

La aproximaci´on al punto c puede hacerse por puntos x mayores que c (por la derecha) o por puntos x menores que c (por la izquierda). Tal consideraci´on motiva las definiciones de l´ımites laterales, por la derecha o por la izquierda, de una funci´on f en un punto.

DEFINICIONES:

a) El l´ımite por la derecha de la funci´on f en el punto c es L, y se escribe l´ımx→c+ f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, x > c, entonces |f (x) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I ∩ (c, c + δ), entonces f (x) ∈ (L − ε, L + ε).

b) El l´ımite por la izquierda de la funci´on f en el punto c es L, y se escribe l´ımx→c− f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, x < c, entonces |f (x) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I ∩ (c − δ, c), entonces f (x) ∈ (L − ε, L + ε).

Resulta obvio, de las definiciones anteriores, que el l´ımite de una funci´on f en el punto c existe si y s´olo si existen los l´ımites laterales de dicha funci´on en el punto c y ´estos coinciden.

DEFINICIONES:

a) El l´ımite de la funci´on f en el punto c es +∞, y se escribe l´ımx→c f (x) = +∞, si:

∀M > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) > M.

b) El l´ımite de la funci´on f en el punto c es −∞, y se escribe l´ımx→c f (x) = −∞, si:

∀M > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) < −M.

c) Si el intervalo I es de la forma (a, +∞), el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a +∞ es L, y se escribe l´ımx→+∞ f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃m > 0 tal que si x ∈ I y x > m, entonces |f (x) − L| < ε.

d) Si el intervalo I es de la forma (−∞, b), el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a −∞ es L, y se escribe l´ımx→−∞ f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃m > 0 tal que si x ∈ I y x < −m, entonces |f (x) − L| < ε.

Ejemplos de funciones continuas en su conjunto de definici´on son las polin´omicas, las racionales, la funci´on valor absoluto, las exponenciales, las logar´ıtmicas, las potenciales, las trigonom´etricas y sus inversas.

PROPIEDADES:

1. La suma, el producto y el cociente (si la funci´on divisor no se anula en el punto) de dos funciones continuas en un punto son funciones continuas en dicho punto.

2. Sea J un intervalo abierto de R:

2.1) Si f : I → R es continua en c ∈ I y g : J → R es continua en f (c) ∈ J, entonces la composici´on g ◦ f es continua en c. 2.2) Si f : I → R tiene l´ımite L en el punto c ∈ I y g : J → R es continua en dicho l´ımite L ∈ J, entonces:

l´ım x→c (g ◦ f )(x) = l´ım x→c g(f (x)) = g( l´ım x→c f (x)) = g(L),

es decir, pueden intercambiarse la funci´on y el l´ımite.

1.4. L´IMITES Y CONTINUIDAD (DOS VARIABLES REALES)

El concepto de l´ımite de una funci´on F de dos variables reales en un punto (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 es an´alogo al de l´ımite de una funci´on de una variable real, es decir, si el l´ımite L existe: la variable dependiente F (x, y) est´a tan pr´oxima a L como se quiera, sin m´as que tomar el punto (x, y) de R^2 suficientemente pr´oximo a (x 0 , y 0 ) y distinto de (x 0 , y 0 ).

DEFINICI ´ON: Se denomina bola abierta de centro (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 y radio r > 0 al conjunto:

B((x 0 , y 0 ), r) = {(x, y) ∈ R^2 / d((x, y), (x 0 , y 0 )) < r} = {(x, y) ∈ R^2 /

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < r} =

= {(x, y) ∈ R^2 / (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < r^2 },

siendo d la distancia euclidiana en R^2.

Sean F una funci´on definida en un rect´angulo abierto A = (a, b) × (c, d) ⊂ R^2 , (x 0 , y 0 ) un punto de A y L un n´umero real.

DEFINICI ´ON: El l´ımite de la funci´on F en el punto (x 0 , y 0 ) es L, y se escribe l´ım(x,y)→(x 0 ,y 0 ) F (x, y) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si (x, y) ∈ A y 0 <

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < δ, entonces |F (x, y) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si (x, y) ∈ A ∩ B((x 0 , y 0 ), δ), (x, y) ̸= (x 0 , y 0 ), entonces F (x, y) ∈ (L−ε, L+ε).

Observaciones:

1. Utilizando la definici´on, se prueba inmediatamente que:

l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 ) x = x 0 , l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 ) y = y 0.

1. Las observaciones hechas en el caso de una variable real, as´ı como las reglas para el c´alculo de l´ımites, pueden adaptarse a funciones de dos variables.

2. Para funciones de dos variables reales no tiene sentido considerar l´ımites laterales. Sin em- bargo, s´ı tiene sentido aproximarse al punto (x 0 , y 0 ) por distintas curvas pasando por ´el, lo que conduce a considerar l´ımites direccionales; en particular, tienen especial relevancia los l´ımites en las direcciones x = x 0 e y = y 0.

Sean F una funci´on definida en un rect´angulo abierto A = (a, b) × (c, d) ⊂ R^2 y (x 0 , y 0 ) un punto de A.

DEFINICIONES:

a) La funci´on F es continua en (x 0 , y 0 ) si existe l´ım(x,y)→(x 0 ,y 0 ) F (x, y) y ´este coincide con F (x 0 , y 0 ).

b) La funci´on F es discontinua en (x 0 , y 0 ) si no es continua en el punto (x 0 , y 0 ).

c) La funci´on F es continua en el rect´angulo (a, b) × (c, d) si es continua en cada punto de dicho rect´angulo.

Ejemplos de funciones continuas en su conjunto de definici´on son las polin´omicas y las racio- nales.

PROPIEDADES:

1. La suma, el producto y el cociente (si la funci´on divisor no se anula en el punto) de dos funciones continuas en un punto son funciones continuas en dicho punto.

2. Sea I un intervalo abierto de R:

2.1) Si F : A ⊂ R^2 → R es continua en (x 0 , y 0 ) ∈ A y f : I → R es continua en F (x 0 , y 0 ) ∈ I, entonces la composici´on f ◦ F es continua en (x 0 , y 0 ). 2.2) Si F : A → R tiene l´ımite L en el punto (x 0 , y 0 ) ∈ A y f : I → R es continua en dicho l´ımite L ∈ I, entonces:

l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

(f ◦ F )(x, y) = l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

f (F (x, y)) = f ( l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

F (x, y)) = f (L),

es decir, pueden intercambiarse la funci´on y el l´ımite.