¡Descarga Matlab-Ejercicios resueltos y más Ejercicios en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity!
Objetivos
Estudiar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos utilizando
distintos criterios combinando las conclusiones experimentales (el ordenador) con el
rigor matemático (resultados teóricos).
Comandos de Matlab
Para calcular la suma entre dos valores de una expresión simbólica
symsum(f,a,b)
symsum(f,s,a,b)
Ejemplo:
syms n
symsum(1/n,1,inf)
Para calcular la suma de las componentes de un vector
sum(vector)
Ejemplo:
vector=1:100; sum(vector) sum(vector(20:30)
Ejercicios resueltos
Cálculo de sumas finitas y sumas infinitas de forma simbólica con symsum.
(a) Calcular la suma de los primeros K números naturales y
comprobar que
1 1 2 ... 2
k k k
(b) Calcular la suma de los cuadrados de los primeros k números
naturales y comprobar que
2 2 ^1 1 2 ... 2
k k k
Prácticas Matlab
P R Á C T I C A S E R I E S
Práctica 7: Convergencia Series de
Términos Positivos
PÁGINA 2 MATLAB: SERIES
(c) Comprobar que
1
n n
2
2 1
n n^6
1
n n
1
n n
Solución:
Comandos Matlab syms k %Apartado a symsum(k,1,k) %Apartado b symsum(k^2,1,k) %Apartado c symsum(1/(2^k),1,Inf) symsum(1/k^2,1,Inf) symsum(1/k,1,Inf) double(symsum(1/(k^(1.1)),1,Inf))
Observación: El comando symsum no funciona con el factorial. Puedes verlo escribiendo:
syms k
symsum(factorial(k),1,Inf)
Para calcular series que contengan el factorial se deberá invocar al núcleo Maple que tendrá
que estar instalado.
En el siguiente ejercicio se trabajará con las series armónicas generalizadas
Series armónicas generalizada : Son de la forma 1
p n n
para^ p>0.
Estas series son divergentes para 0 p 1 y convergentes para p 1
Se consideran las series armónicas para los valores de
p 0.5 , 0.9, 1.0 , 1.1 , 2.
y, fijado un valor de p, la sucesión de sumas parciales:
S n (^) p p n
Se pide:
(a) Rellenar la siguiente tabla
PÁGINA 4 MATLAB: SERIES
Se consideran las siguientes series
2 1
n
n n
n
n
(2)^
2
(^2 ) 1
n
n n n
^
(a) Comprobar si cumplen la condición necesaria de convergencia.
(b) Aplicar el criterio del cociente a las series anteriores para determinar
su carácter.
Criterio del cociente : Se considera la serie de términos positivos
1
n n
a
cumpliendo
1
lim n n n
a L (^) a
ó 1 lim n n n
a L a
entonces
Si L 1 la serie 1
n n
a
es^ convergente
Si L 1 la serie 1
n n
a
es^ divergente
Solución:
(a) Puedes utilizar el siguiente código para ver si el término general de una serie tiende a cero
(condición necesaria de convergencia).
Código Matlab syms n an=(n+1)(5^n)/(n3^(2*n)); limit(an,n,Inf)
Nota: La serie del apartado (1) cumple la condición necesaria de convergencia pero la (2) no.
Esto significa, al ser una serie de términos positivos, que la serie del apartado (2) es divergente
mientras que para la serie del apartado (1) la condición necesaria no aporta información sobre
su convergencia o divergencia.
(b)
Código Matlab syms n an=(n+1)(5^n)/(n3^(2*n)); an1=subs(an,n,n+1); L=limit(an1/an,n,Inf) %Un valor aproximado de la suma puede ser sumaaprox=double(symsum(an,1,inf))
MATLAB: SERIES PÁGINA 5
Nota: Observamos que el criterio del cociente da información sobre la convergencia de la serie
del apartado (1) y que permite concluir también que la serie del apartado (2) es divergente.
Se consideran las siguientes series
(a)
2 1
n
n n
n
n
(b)^
2
(^2 ) 1
n
n n n
Aplicar el criterio de la raíz a las series anteriores para determinar su
carácter.
Criterio de la raíz : Se considera la serie de términos positivos
1
n n
a
cumpliendo
lim n^ n n
a L
entonces
Si L 1 la serie 1
n n
a
es^ convergente
Si L 1 la serie 1
n n
a
es^ divergente
Solución
Código Matlab syms n an=(n+1)(5^n)/(n3^(2*n)); L=limit(an^(1/n),n,Inf) %Un valor aproximado de la suma puede ser sumaaprox=double(symsum(an,1,inf))
Nota: Observamos que el criterio de la raíz da información sobre la convergencia de la serie
del apartado (1) y que permite concluir también que la serie del apartado (2) es divergente.
