Igualdad de Matrices: Definición, Propiedades y Cálculo de Matrices, Diapositivas de Matemáticas

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UNIDAD 1

Matrices y Determinantes

Definición de matríz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij

dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =( aij ), con i =1, 2, ..., m,

j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz,

el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el

elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se

representa por m x n.

                n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a          1 2 3

A = (a

i,j

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden

agrupar en una matriz

          1 2 4

          0 2 -

 Matriz fila: (^) A = (1 3 5 7 9 )

 Matriz columna: A =

2  4 6 aij a ji  Diagonal secundaria Diagonal principal

 Matriz cuadrada: A=

1 3 5  2 4 6 1 1 1

• (^) Matriz simétrica: es una matriz cuadrada

que verifica que:

• (^) Matriz antisimétrica: es una matriz

cuadrada que verifica que:

Clasificación de matrices: Forma

aij -a ji 

 A = AT

 A = –A

T

Clasificación de matrices: Elementos

• (^) Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.
  • (^) Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.
    • (^) Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.
• (^) Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.
• (^) Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
• (^) Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1. 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O             3 2 0 0 0 0 0 0 O                         0 0 4 0 2 3 1 3 6 T             0 0 1 0 3 0 2 0 0 D            0 0 1 0 1 0 1 0 0 I 3            0 0 2 0 2 0 2 0 0 A             3 5 4 3 2 0 1 0 0 T

Operaciones con matrices I

1.- Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = ( aij ), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A.  (At)t^ = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades

I. Para la matriz A, (At)t^ = A II. Para las matrices A y B, (A + B)t^ = At^ + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k.^ A)t^ = k.^ At IV. Para las matrices A y B, (A.^ B)t^ = Bt^.^ At V. Si A es una matriz simétrica, At^ = A Propiedades: La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At^ = (aji). Si A es mxn, entonces At^ es nxm.

Ejemplo: Si A =

        1 2 3 4 5 6 entonces A t =

1 4  2 5 3 6

Suma de matrices: ej de orden 3

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij) A + B = (aij ) + (bij ) =        a^  11 a 12 a 13 a^14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34

       b^  11 b 12 b 13 b^14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34 = =

a^  11 +^ b 11 a 12 +^ b 12 a 13 +^ b 13 a 14 +^ b 14 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 24 + b 24 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 a 34 + b 34 = (aij + bij )

Propiedades de la adición de matrices

• (^) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• (^) Conmutativa: A + B = B + A
• (^) Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
• (^) Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A ( opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Propiedades con la suma y el producto por un número

• (^) Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• (^) Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• (^) Elemento neutro: 1 · A = A
• (^) Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto

por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Operaciones con matrices IV

4.- Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B , su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B****. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p , no se pueden multiplicar Ejemplos: Pij =  aik · bkj con k=1,….n

Producto de matrices: Desarrollo

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:

cij = ai

.

b1j + ai

.

b2j + ... + ain

.

bnj

El producto de la matriz

A = (aij) =

           a 11 a 12 a 13 ...... a1n  a 21 a 22 a 23 ...... a2n a 31 a 32 a 33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (bij) =

n 1 n 2 n 3 np 31 32 33 3 p 21 22 23 2 p 11 12 13 1 p

b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

Ejemplo: producto de matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij ) 2 ,3.^ (bij) 3, 3 = producto posible (cij) 2 , (^3)

A · B =

       

       