Mg. NOLAN JARA JARA
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERIA
ELECTRONICA Y ELECTRICA
CURSO: ALGEBRA LINEAL
TEMAS: MATRICES
DETERMINANTES
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: Mg. NOLAN JARA JARA
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El documento trata sobre la igualdad de matrices, definiendo que dos matrices a = [aij] y b = [bij] de orden mxn son iguales si son idénticas, es decir, si son del mismo orden y sus respectivos elementos son iguales (aij = bij para cada i y para cada j). También se presentan propiedades de las operaciones con matrices, como la suma, el producto por un escalar y el producto de matrices. Además, se explica el producto de una matriz fila por una matriz columna y se detallan varias propiedades de este producto. El documento también aborda la resolución de sistemas de ecuaciones lineales a través de matrices y la aplicación de transformaciones lineales a vectores.
Tipo: Diapositivas
2021/2022
1 / 215
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERIA
ELECTRONICA Y ELECTRICA
CURSO: ALGEBRA LINEAL
TEMAS: MATRICES
DETERMINANTES
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: Mg. NOLAN JARA JARA
MATRICES
Un arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas, que tiene la forma siguiente: Se denomina matriz, y se denota por una letra mayúscula (A, B, C , D, etc.).
IGUALDAD DE MATRICES
⚫ Se dice que dos matrices A = a
ij
y
B = b
ij
de orden mxn son iguales si
son idénticas; es decir, si son del
mismo orden y sus respectivos
elementos son iguales
⚫ A = B a
ij
= b
ij
para cada i y para
cada j.
MATRICES ESPECIALES MATRIZ CUADRADA (A n ) :Es una matriz en la cual m = n; numero de filas es igual al número de columnas. MATRIZ DIAGONAL (D) : La matriz cuadrada A n en la cual los elementos fuera de la diagonal principal son ceros, es llamada matriz diagonal D. MATRIAZ ESCALAR (E) : Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a una constante k.
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
La transpuesta de la matriz A
mxn
la
cual se representa por A
t
es la
matriz construida a partir de la
matriz A, colocando la i – ésima fila
de A en la i - ésima columna de A
t
Si A = a
ij
mxn
A
t
= a
t ij
nxm
MATRIZ SIMETRICA :La matriz
cuadrada A
n
es simétrica ,si
A = A
t
MATRIZ ANTISIMETRICA: La matriz
cuadrada A
n
es antisimétrica,
Si A = - A
t
; los elementos de la
diagonal principal resultan ser
cero
MULTIPLICACION DE UNA
MATRIZ POR UN ESCALAR
Sea A = [a ij ] una matriz de orden mxn y k є R kA = [ka ij ] i, j.
PRODUCTO DE MATRICES El producto de una matriz A = [a ij ] de orden mxn y una matriz B = [b jk ] de orden nxp es otra matriz C = [c ik ] de orden mxp; donde c ik es el producto escalar de la i – ésima fila de la matriz A por la k – ésima columna de la matriz B.
Tres empresas A, B y C comparten este año el mercado de un cierto bien. La empresa A tiene el 20 % del mercado, B tiene el 60 % y C el 20 %. A lo largo del año siguiente ocurren los siguientes cambios: A conserva el 85 % de sus clientes, cediendo a B el 5 % y a C el 10 %. B conserva el 55% de sus clientes, cediendo a A el 10% y a C el 35%. C conserva el 85% de sus clientes, cediendo a A el 10% y a B el 5 %. Hallar el vector de cuotas de mercado después de un año.
11 ° ) El producto de dos matrices diagonales es una matriz diagonal 12 ° ) Si A es de orden mxn, entonces: AI = A , con I nxn IA = A, con I mxm Si A es de orden nxn AI = IA = A. 13 ° ) Si A es una matriz cuadrada, entonces ( A + A t ) es una matriz simétrica y ( A - A t ) es antisimétrica 14 ° ) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica A = ½ (A + A t ) + ½(A - A t )
15 ° ) Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA + bI; a, bR, entonces A y B conmutan; es decir, AB = BA 16 º ) si A es una Matriz cuadrada , entonces A 0 = I; A 2 = AA; A 3 = AA 2 = A 2 A, ..., A n = AA n – 1 = A n – 1 A, n N 17º) Si A es una matriz cuadrada, entonces A m A n = A n A m ; m, n N
PROPIEDADES 1 ° ) Traz(A + B) = traz(A) + traz(B) 2 ° ) Traz(kA) = ktraz(A); K R 3 ° ) Traz(AB) = traz(BA)
MATRIZ IDEMPOTENTE: Una matriz cuadrada A es idempotente si y solo si A 2 = A MATRIZ NILPOTENTE: Una matriz cuadrada A es nilpotente, si A k = 0 para algún k 2, 0: matriz nula MATRIZ INVOLUTIVA: Una matriz cuadrada A es involutiva si y solo si A 2 = I