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Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y
Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matem·ticas Aplicadas a
las Ciencias Sociales II
Antonio Francisco Rold·n LÛpez de Hierro *
Convocatoria de 2008
Las siguientes p·ginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en AndalucÌa de la asignatura Matem·ticas aplicadas a las Ciencias Sociales II sobre Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales. Cada uno lleva un cÛdigo como el siguiente: 2008-6-B-1, que signiÖca ejercicio 1 de la opciÛn B del modelo 6 de la convocatoria de 2008.
Ejercicio 1 (2008-1-A-1) (a) (1 punto) Dada la matriz A = a 1 a 0
, calcule el valor de a para que A^2 sea la matriz nula.
(b) (2 puntos) Dada la matriz M =
calcule la matriz
M ^1 M t
SoluciÛn : Apartado (a). Calculamos la matriz A^2 :
A^2 = A A =
a 1 a 0
a 1 a 0
a^2 + a a a^2 a
Para que esta matriz sea la matriz nula, todos sus elementos deben ser cero, es decir, debemos buscar los n˙meros que cumplen: (^8)
<
:
a^2 + a = 0; a^2 = 0; a = 0:
Evidentemente, la ˙nica soluciÛn de este sistema es:
- (^) Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html
Selectividad Matem·ticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
a = 0: Apartado (b). El determinante de la matriz M es:
det M = 1 2 1 1
Como este determinante es distinto de cero, sabemos que M posee inversa, y Èsta es:
M ^1 =
det M ^ adj^ M^
t (^) = 1 1
La matriz traspuesta de M es:
M t^ = 1 2 1 1
!t = 1 1 2 1
El producto de la matriz inversa de M por su traspuesta es:
M ^1 M t^ =
Y el cuadrado de Èsta ˙ltima es:
M ^1 M t
Por tanto, M ^1 M t
Ejercicio 2 (2008-2-A-1) a) (1í5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: 1 + 3x 2 x 1
y
b) (1í5 puntos) Calcule la matriz inversa de
B@
CA.
SoluciÛn : Apartado (a). Multiplicando las matrices obtenemos:
1 + 3x 2 x 1
y
3 (1 + 3x) + 2y 3 x y
9 x + 2y + 3 3 x y
AndalucÌa 2 Antonio Rold·n
Selectividad Matem·ticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Por consiguiente, la matriz inversa de la matriz dada es: 0 B@
CA
1
B@
CA :
Ejercicio 3 (2008-3-A-1) Sean las matrices A = 0 2 3 0
y B = a^ b 6 1
a) (1í5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A B = B A.
b) (1í5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuaciÛn matricial X B A = I 2.
SoluciÛn : Apartado (a). Calculemos los productos A B y B A:
A B = 0 2 3 0
a^ b 6 1
3 a 3 b
B A = a^ b 6 1
= 3 b^2 a 3 12
Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrir· ˙nicamente si 3 a = 3 y 3 b = 12, de donde concluimos que A y B conmutan si, y sÛlo si, a = 1 y b = 4.
Apartado (b). Por otro lado, si a = 1 y b = 0, la matriz B es
B = 1 0 6 1
De esta forma, el determinante de la matriz B es distinto de cero (de hecho, det B = 1), lo que signiÖca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:
B ^1 =
det B ^ BeT^ =^1 1 ^
AsÌ, la ecuaciÛn matricial se resuelve despejando la matrix X:
X B A = I 2 , X B = A + I 2 , X = (A + I 2 ) B ^1 ,
, X =
B ^1 = 1 2
AndalucÌa 4 Antonio Rold·n
Selectividad Matem·ticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
La matriz
X =
es la ˙nica soluciÛn de la ecuaciÛn matricial dada.
Ejercicio 4 (2008-4-B-1) (a) (1 punto) Dadas las matrices F =
y C = 0 B@
CA, calcule los productos C F y F C.
(b) (2 puntos) Dadas las matrices A =
, B =
y C =
calcule la matriz X que veriÖque la ecuaciÛn X A ^1 B = C.
SoluciÛn : Apartado (a). Los productos que se piden son:
C F =
B@
CA ^ 2 1 3 =
B@
CA ;
F C =
B@
CA =^ 9 :
C F =
B@
CA y F C =^ 9
Apartado (b). Despejamos la matriz X observando que la matriz A tiene inversa ya que su determinante es distinto de cero (es importante el lado por el que multiplicamos por A para que se obtenga la matriz identidad):
X A ^1 B = C , X A ^1 = B + C , X A ^1 A = (B + C) A ,
, X I 2 = (B + C) A , X = (B + C) A:
Como:
B + C =
obtenemos:
X = (B + C) A = 2 ^4 1 1
AndalucÌa 5 Antonio Rold·n
Selectividad Matem·ticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Si los igualamos, tenemos el sistema: ( x = 3; 3 x y = y x
x = 3; 4 x = 2y
x = 3; y = 2x
x = 3; y = 6:
Por consiguiente, los n˙meros buscados son:
x = 3; y = 6:
Ejercicio 6 (2008-6-B-1) Sean A y B las matrices siguientes:
A =
; B =
(a) (1 punto) Calcule (A + B) (A B).
(b) (2 puntos) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuaciÛn matricial
(A + 2B) X = 3I 2 :
SoluciÛn : Apartado (a). Es inmediato que:
(A + B) (A B) =
Apartado (b). Calculamos la matriz:
A + 2B = 1 2 0 1
+ 2 0 ^1
+ 0 ^2
El determinante de esta matriz es 9 (distinto de cero), por lo que posee inversa, y Èsta es:
(A + 2B) ^1 = 1 0
=^1
Podemos entonces despejar X como:
(A + 2B)X = 3I 2 , X = (A + 2B) ^1 (3I 2 ) , X = 3 (A + 2B) ^1 I 2 = 3 (A + 2B) ^1 :
Por tanto:
X = 3 (A + 2B) ^1 = 3 1 9
=^1
AndalucÌa 7 Antonio Rold·n
Selectividad Matem·ticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
AsÌ, la matriz buscada es:
X =
AndalucÌa 8 Antonio Rold·n
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R E S O L U C I Ó N
a)
2
A X A t^ I a^ b
c d
a c
a c b d a c
a b c d
a c b d b d
b d
⎝ −^ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −^ − ⎠
⎛ −^ −^ ⎞ ⎛ −^ ⎞ −^ = ⎪⎪
⎝ −^ −^ ⎠ ⎝ ⎠ −^ = − ⎪
Luego, la matriz es
X
b) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 filas, es decir, de orden (2,m).
c) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 columnas, es decir, de orden (m,2).
Sea la matriz
A
a) Resuelva la ecuación matricial A X ⋅ + A t = I 2.
b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el
producto A ⋅ B ?.
c) ¿Y para el producto 3 ⋅ B ⋅ A ?.
SOCIALES II. 2012 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION B
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Sean las matrices ; y C.
A
B
a
b
a) Halle los valores de a y b para que se verifique B ⋅ C t = A.
b) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X − A^2 = I 2.
SOCIALES II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
a)
t
a
B C A
b
a
a b b
a b
a b a
b
⎛ −^ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ −^ − ⎞
⎛ −^ +^ −^ −^ +^ ⎞ ⎛ −^ −^ ⎞ −^ +^ = − ⎪
b)
2 2
a b
A X A I
c d
a c
a c b d a c
a b c d
a c b d b d
b d
⎛ −^ −^ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −^ −^ ⎞ ⎛ −^ − ⎞ ⎛ ⎞
⎛ −^ −^ −^ −^ ⎞ ⎛ −^ −^ ⎞ ⎛ ⎞ +^ = ⎪⎪
⎝ +^ +^ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −^ −^ = − ⎪
Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial A^2 ⋅ X = A − B C ⋅ , siendo A , B y C las
matrices:
A
; y.
B
C
= ⎜^ − ⎟
SOCIALES II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
2
a b
A X A B C
c d
a c
a c b d c
a b c d
c d b d
d
⎛ +^ +^ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎪⎪
⎝ ⎠ ⎝ −^ ⎠ +^ = ⎪
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Una empresa vende tres artículos diferentes A , B y C , cada uno de ellos en dos formatos,
grande y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de
los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las
ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo
en cada formato.
A B C A B C
grande grande
F G
normal normal
a) Efectúe los productos F t ⋅ G y F ⋅ Gt
b) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese
mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles
son esas ganancias.
c) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese
mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles
son esas ganancias y halle la ganancia total.
SOCIALES II. 2012 RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos los productos:
F t G
⎜ ⎟ ⎛^ ⎞ ⎜
⎜ ⎟ ⎝^ ⎠ ⎜
F G^ t
b) Las ganancias de cada uno de los tres artículos es la diagonal de la matriz F t ⋅ G
1400 € del artículo A
2450 € del artículo B
820 € del artículo C
c) Las ganancias de cada uno de los formatos es la diagonal de la matriz F G ⋅ t
2200 € del formato grande
2470 € del formato normal
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