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134 CAPÍTULO 2 Vectores y matrices
format short e para el despliegue en pantalla. Repita para otros tres pares de x y y. ¿Cuál es su conclusión al comparar el producto escalar de x y y con el producto escalar de Q x y Q y? b) Pruebe su conclusión del inciso a ). Genere tres matrices ortogonales Q de diferentes tamaños (usando el comando orth) y al menos dos pares de vectores x y y por cada Q. Genere cuando menos una matriz compleja Q. Para cada Q y par x y y , compare el producto escalar de Q x y Q y. Escriba una descripción de su proceso y sus respectivos resultados. c) Para cada Q generada demuestre que la longitud de cada columna de Q es igual a 1 y que cualesquiera dos columnas diferentes de Q son perpendiculares entre sí (la longitud de un vector está dada por la raíz cuadrada del producto escalar de un vector consigo mismo: longitud 5 sqrt(x’*x) puede utilizar el comando norm en MATLAB (doc norm). Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero. d) Para cada Q explore la relación entre Q,Q’ e inv(Q). Formule una conclusión sobre esta relación. Describa su investigación y su proceso de pensamiento. Genere otras dos matrices aleatorias ortogonales de tamaños más grandes y pruebe su conclusión. e) ( Lápiz y papel ) Utilice la conclusión resultante del inciso d ) (y otras propiedades cono- cidas) para probar la conclusión del inciso b ). Utilice la conclusión del inciso b ) para probar la observación del inciso c ). [ Suge- rencia: Dada la columna de Q seleccione un vector adecuado x tal que Q x sea igual a la columna dada.]
2.6 Matrices elementales y matrices inversas
Considere que A es una matriz de m 3 n. Entonces, como se muestra a continuación, se pueden realizar operaciones elementales con renglones en A multiplicando A por la izquierda por una matriz adecuada. Recordando de la sección 1.2, las operaciones elementales con renglones son:
iii) Multiplicar el renglón i por un número c diferente de cero Ri S cRi
iii) Sumar un múltiplo del renglón i al renglón j Rj S Rj 1 cRi
iii) Permutar (intercambiar) los renglones i y j Ri N Rj
D^ Definición 2.6.
Matriz elemental
Una matriz (cuadrada) E de n 3 n se denomina una matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad, In , de n 3 n mediante una sola operación elemental con renglones.
Notación. Una matriz elemental se denota por E , o por cRi , Rj 1 cRi , o por Pij de acuerdo con la forma en que se obtuvo de I. En este caso, Pij (la matriz de permutación) es la matriz obtenida a partir del intercambio de los renglones de i y j de I.
Tres matrices elementales
Obtenga tres matrices elementales de 3 3 3.
EJEMPLO 2.6.
Matriz elemental
2.6 Matrices elementales y matrices inversas 135
iii)
R
R R
P
2
3 1
23
q
q
q
TT
qq
qq 22
R R
R R
R R R
5
3
2 3
2 2
3 3 1
Matriz obtenida multiplicando el segundo renglón de I por 5
iii)
Matriz obtenida multiplicando el primer renglón de I por 2 3 y sumándolo al tercer renglón
iii)
Matriz obtenida permutando el segundo y tercer renglones de I
La prueba del siguiente teorema se deja como ejercicio (vea los problemas 2.6.79 a 2.6.81).
T Teorema 2.6.
Para realizar una operación elemental por renglón en una matriz A se multiplica A por la izquierda por la matriz elemental adecuada.
Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales
Sea
A 5
. Realice las siguientes operaciones elementales con los renglones de
A multiplicando A por la izquierda por una matriz elemental adecuada.
iii) Multiplique el segundo renglón por 5.
iii) Multiplique el primer renglón por 2 3 y súmelo al tercer renglón.
iii) Permute el segundo y tercer renglones.
Solución Como A es una matriz de 3 3 4, cada matriz elemental E debe ser de 3 3 3,
ya que E debe ser cuadrada y multiplica a A por la izquierda. Se usan aquí los resultados del ejemplo 2.6.1.
iii) (5 R 2 ) A
iii) ( R 3 2 3 R 1 ) A
iii) ( P 23 ) A (^) 5
EJEMPLO 2.6.
2.6 Matrices elementales y matrices inversas 137
T Teorema 2.6.
Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es una matriz del mismo tipo.
T Teorema 2.6.
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices elementales.
Demostración
Sea A 5 E 1 , E 2 ,... , Em donde cada Ei es una matriz elemental. Por el teorema 2.6.2, cada Ei es invertible. Más aún, por el teorema 2.4.3, página 104, A es invertible^10 y
A^21 5 Em^21 Em^2121...^ E 221 E 121
En forma inversa, suponga que A es invertible. De acuerdo con el teorema 2.4.6 (teorema de resumen), A es equivalente por renglones a la matriz identidad, lo que significa que A se puede reducir a I mediante un número finito de operaciones elementales. Para el teo- rema 2.6.1 cada operación de este tipo se logra multiplicando A por la izquierda por una matriz elemental y, por consiguiente, existen matrices elementales E 1 , E 2 ,... , Em tales que
Em,Em 21 ,... , E 2 E 1 A 5 I
Así, del teorema 2.4.7 en la página 114,
Em,Em 21 ,... , E 2 E 1 5 A^21
y como cada Ei , es invertible por el teorema 2.6.2,
A 5 ( A^21 )^21 5 ( EmEm 21...^ E 2 E 1 )^21 5 E 121 E 221...^ Em^2211 Em^21 (2.6.7)
Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental, se ha escrito A como el producto de matrices elementales y esto completa la prueba.
Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales
Demuestre que la matriz
A 5
es invertible y escríbala como un producto de ma- trices elementales.
Solución Ya se ha trabajado con esta matriz, en el ejemplo 1.2.1 en la página 8. Para
resolver el problema se reduce A a I y se registran las operaciones elementales con renglones. En el ejemplo 2.4.6 en la página 109 se redujo A a I haciendo uso de las siguientes operaciones:
3 1
R 1 R 2 R 1 R 3 R R
R R R R R R R
R R
1 2 1
1 3 2
1 2 3 2 3
2 3
EJEMPLO 2.6.
N Nota
El inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspección. No es necesario realizar cálculos.
(^10) Aquí se usó la generalización del teorema 2.4.3 para más de dos matrices. Vea, por ejemplo, el problema 2.4.23 en
la página 118.
138 CAPÍTULO 2 Vectores y matrices
A^21 se obtuvo comenzando con I y aplicando estas nueve operaciones elementales. De este modo, A^21 es el producto de nueve matrices elementales:
A 5 2
2
1
R (^) 2 22 2 R (^) 3 R (^) 1 1 R (^) 3 22 R (^) 3 R (^) 3 1 5 R (^) 2 R (^) 2 22 2 R 2
1 3
1 2
2^13 R (^) 2 R^ 3^22 3 R^ 1 R^ 2^22^4 R^ 1^2^12 R 1
Por lo que A 5 ( A^21 )^21 5 producto de las inversas de las nueve matrices en orden opuesto:
2 R 1 (^) R 2 (^) 1 4 R (^) 1 R (^) 3 1 3 R (^) 1 22 3 R 2 (^) R 1 (^) 1 2 R 2
R 3 (^) 2 5 R (^) 2 22 R 3 R (^) 1 2 R (^) 3 R 2 (^) 1 2 R 3
Se puede hacer uso del teorema 2.6.3 para extender el teorema de resumen, cuya última versión se presentó en la página 114.
T Teorema 2.6.4^ Teorema de resumen (punto de vista 3)
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces las siguientes siete afirmaciones son equivalentes. Es decir, cada una implica a las otras seis (de manera que si una afirmación es cierta, todas son ciertas, y si una es falsa, todas son falsas).
iii) A es invertible.
iii) La única solución al sistema homogéneo A x 5 0 es la solución trivial ( x 5 0 ).
iii) El sistema A x 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
iiv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n 3 n , In ; es decir, la forma escalonada reducida por renglones de A es In.
iiv) A se puede escribir como el producto de matrices elementales.
ivi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii) det A Z 0 (por ahora, det A está definido sólo si A es una matriz de 2 3 2).
Existe un resultado adicional que será útil en la sección 3.5. En primera instancia se necesita una definición (dada antes en el problema 2.4.35, página 119).
140 CAPÍTULO 2 Vectores y matrices
Solución Se reduce A por renglones para obtener la forma escalonada por renglones:
q
R 1 qq^13 R 1
R R q
q
U
R (^) 2 qq R (^) 2 22 2 R 1 R 3 qq R 3 22 R 1 3 qq (^) 3 21 R 2
Después, al trabajar hacia atrás, se ve que
U
R 3 21 R 2 R 3 qq R (^) 3 22 R 1
1 3
R 2 q q R (^) 2 22 2 R 1 R^1^ qq^13 R 1 A
y tomando las inversas de las cuatro matrices elementales se obtiene
R R
A 5 2 5 11
R 1 q 3 R 1 2 q 2 21 2 R 1
R 3 qq R (^) 3 21 R 1 R 3 qq R (^) 3 22 R 2 U
R Resumen 2.
- Una matriz elemental es una matriz cuadrada que se obtiene llevando a cabo exactamente una operación con renglones sobre la matriz identidad. Los tres tipos de matrices elementales son: (p. 134)
cRi se multiplica el renglón i de I por c : c Z 0.
Rj 1 cRi se multiplica el renglón i de I por c y se suma al renglón j : c Z 0.
Pij se permutan los renglones i y j.
- Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices elementales. (p. 137)
- Cualquier matriz cuadrada se puede escribir como el producto de matrices elementales y una ma- triz triangular superior. (p. 139)
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