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Facultad de Ingeniería Álgebra Lineal MAT- 103
CAPITULO 1
MATRICES Y DETERMINANTES
1.1 Definición de Matriz:
Una matriz es un arreglo (ordenamiento) rectangular de elementos dispuestos en filas y
columnas.
Para su nomenclatura s emplean letras mayúsculas con dos subíndices que indican la
cantidad de filas y columnas de la misma.
𝑚×𝑛
= [𝑎
𝑖𝑗
]
Donde:
𝑚 × 𝑛: Orden de la matriz ; 𝑚: Número de filas ; 𝑛: Número de columnas
𝑖𝑗
: elemento de la matriz ubicado en la fila "𝑖", columna "𝑗".
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n m n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a a A
a a a a
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n m n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a a A
a a a a
El arreglo puede estar contenido dentro de un corchete o un paréntesis.
1.2 Generación de Matrices
Para generar los elementos de una matriz generalmente se establece un regla en base al
valor de sus subíndices que identifican la posición de fila y columna.
Ejemplo: Generar la Matriz 𝑀 3 × 4
= [𝑎
𝑖𝑗
] tal que 𝑎
𝑖𝑗
( 𝑖+𝑗
) !
2 𝑖
11
12
21
22
31
32
13
14
23
24
33
34
11
( 1 + 1 )!
2 ⋅ 1
2!
2
12
( 1 + 2 )!
2 ⋅ 1
3!
2
13
( 1 + 3 )!
2 ⋅ 1
4!
2
14
( 1 + 4 )!
2 ⋅ 1
3!
2
21
( 2 + 1
) !
2 ⋅ 2
3!
4
3
2
22
( 2 + 2
) !
2 ⋅ 2
4!
4
23
( 2 + 3
) !
2 ⋅ 2
5!
4
24
( 2 + 4
) !
2 ⋅ 2
3!
2
31
( 3 + 1 )!
2 ⋅ 3
4!
6
32
( 3 + 2 )!
2 ⋅ 3
5!
6
33
( 3 + 3 )!
2 ⋅ 3
6!
6
34
( 3 + 4 )!
2 ⋅ 3
7!
6
3
2
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1.3 Operaciones con Matrices
1.3.1 Producto de una matriz con un escalar
Se multiplica a todos los elementos de la matriz por el escalar.
Sea la matriz 𝐴 𝑚×𝑛
= [𝑎
𝑖𝑗
] y el escalar "𝑘", el escalar pre multiplica a la matriz.
𝑚×𝑛
= [𝑘𝑎
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
1.3.2 Igualdad de Matrices
Dos matrices son iguales si son del mismo orden y todos sus elementos correspondientes
son iguales.
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
[𝑎
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
= [𝑏
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
𝑖𝑗
𝑖𝑗
1.3.3 Suma de matrices
La suma de matrices es conformable solamente si las matrices son del mismo orden, y la
suma se efectúa componente a componente.
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
[𝑎
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
+ [𝑏
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
= [𝑐
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
= [𝑎
𝑖𝑗
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
Propiedades: Sean las matrices conformables A, B, C ∈ K
𝑚×𝑛
, donde K = {ℝ, ℂ} y "𝛼, 𝛽"
escalares.
P1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
P2. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
P3. 𝐴
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
Donde la matriz 𝜃
𝑚×𝑛
es la matriz nula, cuyos elementos son cero.
𝑚×𝑛
= [
]
𝑚×𝑛
P4. 𝐴
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
P5. 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵
P6. (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴
P7. (𝛼𝛽)𝐴 = 𝛼(𝛽𝐴) = 𝛽(𝛼𝐴)
Nota: (𝐴 𝑚×𝑛
; +) establecen una estructura de grupo abeliano, en consecuencia es posible
realizar opresiones algebraicas.
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Donde 𝐴
𝑛×𝑛
− 1
es la matriz inversa de 𝐴
𝑛×𝑛
Para el caso de una matriz rectangular 𝐴 𝑚×𝑛
𝑛×𝑚
− 1
𝑚×𝑚
, la matriz 𝐴
𝑛×𝑚
− 1
se denomina
pseudoinversa.
P6. Potencia de una matriz
2
3
𝑛
"𝑛" 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
Consideraciones:
- 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 no necesariamente implica que 𝐵 = 𝐶
2
2
2
(generalmente)
2
2
≠ (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) (generalmente)
- Si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 la matrices se denominan conmutables o permutables.
- 𝐴𝐵 = 0 no implica necesariamente que 𝐴 = 𝟎 ∨ 𝐵 = 𝟎
Nota:
𝑚×𝑛
forman una estructura de anillo con divisores de cero, lo que indica que:
Es decir que existen matrices distintas a la matriz nula, pero que sin embargo su producto
resulta la matriz nula, en consecuencia, la operación de división entre matrices no existe.
1.4 Matrices Especiales
𝑛×𝑛
𝑛×𝑛
2
𝑛×𝑛
𝑛×𝑛
2
𝑛×𝑛
𝑛×𝑛
𝑘
𝑛×𝑛
(donde 𝑘 es el índice de nilpotencia)
𝑛×𝑛
𝑘+ 1
𝑛×𝑛
(donde 𝑘 es el periodo de la matriz)
𝑚×𝑛
= [𝑎
𝑖𝑗
] → 𝐴
𝑛×𝑚
𝑡
= [𝑎
𝑗𝑖
]
Resulta de cambiar filas por columnas
Propiedades:
A
𝑡
𝑡
= A
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑛×𝑛
𝑡
𝑛×𝑛
𝑛×𝑛
𝑡
𝑛×𝑛
(También denominada Matriz
Hemisimétrica )
Nota: Los elementos de la diagonal principal de toda matriz antisimétrica son nulos.
- Matriz Conjugada: Para A = [
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
→ A
[
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
Propiedades:
1) A
= A
2) (𝑘 ⋅ A
⋅ A
(Donde 𝑘 es un escalar cualquiera)
3) (A + B
) = A
+ B
A ⋅ B
= A
⋅ B
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A
𝑡 ̅̅̅̅̅̅
A
𝑡
𝑛×𝑛
𝑡
𝑛×𝑛
Nota: (A
𝑡
= (A
𝑡
𝑡
= −A (También matriz antihermítica)
𝑛×𝑛
− 1
𝑛×𝑛
𝑡
- Matriz Triangular Superior: Matriz cuadrada 𝐴
𝑛×𝑛
[
𝑖𝑗
]
tal que:
𝑖𝑗
𝑖𝑗
11 12 13 1
22 23 2
33 3
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a
Nota: La multiplicación de dos matrices triangulares superiores genera como
producto otra matriz triangular superior.
- Matriz Triangular Inferior: Matriz cuadrada 𝐴
𝑛×𝑛
= [𝑎
𝑖𝑗
] tal que:
𝑖𝑗
𝑖𝑗
11
21 22
31 32 33
1 2 3
n n n nn
a
a a
a a a
a a a a
Nota: La multiplicación de dos matrices triangulares inferiores genera como
producto otra matriz triangular inferior.
- Matriz Diagonal: Matriz cuadrada 𝐴
𝑛×𝑛
= [𝑎
𝑖𝑗
] tal que:
𝑖𝑗
𝑖𝑗
11
22
33
nn
a
a
a D
a
También se denota como 𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑔
11
22
33
44
𝑛𝑛
Propiedades:
P1. Potencia P2. Inversa
11
22
33
r
r
r r
r
nn
a
a
D
a
a
11
22
33
1
1
1
1
1
nn
a
a
a
a
D
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1
2
𝑡
1
2
[(
)] =
1
2
1
2
1
2
Prueba:
Teorema: Toda matriz cuadrada "𝐴" cuyos elementos son números complejos se pueden
descomponer como la suma de una matriz hermítica más otra hemihermítica.
1
2
𝑡 ̅̅̅
1
2
𝑡 ̅̅̅
1.5 Diagonal Principal y Traza de una Matriz Cuadrada
En una matriz cuadrada la diagonal principal es la línea formada por los elementos 𝑎 𝑖𝑗
tal
que 𝑖 = 𝑗, es decir por los elementos 𝑎 11
22
33
𝑛𝑛
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal:
𝑛×𝑛
𝑖𝑖
𝑛
𝑖= 1
11
22
33
𝑛𝑛
Propiedades:
P1. 𝑡𝑟
𝑡
P2. 𝑡𝑟
P3. 𝑡𝑟
P4. 𝑡𝑟
P5. 𝑡𝑟
P6. 𝑡𝑟
𝑛×𝑛
P7. 𝑡𝑟(𝐴 ⋅ 𝐴
𝑡
𝑖𝑗
𝑛 2
𝑗= 1
𝑛
𝑖= 1
Problema 1. Efectúa las siguientes verificaciones:
i) Demuestre que la matriz 𝑀 = [
] es idempotente.
2
= [
] ⋅ [
] = [
] = 𝐴
ii) Demuestre que 𝐴 = [
] es una matriz periódica de periodo 𝑘 = 2.
Sabemos que una matriz periódica cumple 𝐴
𝑘+ 1
= 𝐴, donde 𝑘: periodo
𝟐+ 1
= 𝐴 por demostrar.
2
= [
] ⋅ [
] = [
]
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3
[
]
[
]
[
]
iii) Demuestre que 𝐵 = [
] es hermítica.
= [
] →
𝑡
= [
] = 𝐵
iv) Demuestre que 𝐶 = [
] es hemihermítica.
𝑡
= [
] → (𝐶
𝑡 ̅̅̅
) = [
]
𝑡 ̅̅̅
) = − [
] = −𝐶
v) Halle el índice de nilpotencia de la matriz 𝐴 = [
]
Una matriz nilpotente de índice "𝑘" cumple: 𝐴
𝑘
2
= [
] ⋅ [
] = [
] → 𝒌 = 𝟐
Problema 2. Efectúe las siguientes demostraciones:
a) (𝑨 ⋅ 𝑩)
𝒕
𝒕
𝒕
Sean 𝐴 = [𝑎
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
, 𝐵 = [𝑏
𝑖𝑗
]
𝑛×𝑝
, 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 = [𝑐
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑝
El elemento de la fila "𝑖" y columna "𝑗" de 𝐴 ⋅ 𝐵 es:
𝑖𝑗
𝑖𝑘
𝑘𝑗
𝑛
𝑘= 1
Que también pertenece a la fila "𝑗" y columna "𝑖" de
𝑡
, los elementos de la fila "𝑗"
de 𝐵
𝑡
son 𝑏
1 𝑗
2 𝑗
3 𝑗
𝑛𝑗
y los elementos de la columna "𝑖" de la matriz 𝐴
𝑡
son
𝑖 1
𝑖 2
𝑖 3
𝑖𝑛
En consecuencia el elemento de la fila "𝑗" columna "𝑖" del producto 𝐵
𝑡
𝑡
es:
1 𝑗
2 𝑗
3 𝑗
𝑛𝑗
𝑖 1
𝑖 2
𝑖 3
𝑖𝑛 )
𝑘𝑗
𝑖𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑖𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑘𝑗
𝑖𝑗
Comparando
y
𝑡
𝑡
𝑡
b)
𝒕
𝒕
𝒕
𝒕
𝑡
[(
]
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
c) Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que una matriz 𝑨 sea
involutiva es que
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𝑆 = (
) ⋅
(
2
𝑛+ 1
− 1
2 − 1
0 0
0
3
𝑛+ 1
− 1
3 − 1
0
0 0
4
𝑛+ 1
− 1
4 − 1
)
→ 𝑺 = (
𝟐
𝒏+𝟏
− 𝟏
𝟏
𝟐
( 𝟑
𝒏+𝟏
− 𝟏
)
𝟏
𝟑
( 𝟒
𝒏+𝟏
− 𝟏
)
𝟎 𝟑
𝒏+𝟏
− 𝟏
𝟏
𝟑
( 𝟒
𝒏+𝟏
− 𝟏
)
𝟎 𝟎 𝟒
𝒏+𝟏
− 𝟏
)
1.6 Matriz Escalonada y Matriz Escalonada Reducida
Se dice que una matriz es escalonada si el número de ceros que precede al primer
elemento diferente de cero de una fila aumenta fila por fila hasta tener posiblemente
filas de ceros.
- Matriz Escalonada Reducida
Una matriz se dice escalonada reducida cumple las siguientes condiciones:
✓ Es matriz escalonada
✓ El primer elemento no nulo (por la izquierda) de cada fila no nula es un 1 y
este es el único elemento diferente de cero que se encuentra en la respectiva
columna.
✓ Las filas nulas si existen están en la parte inferior de la matriz.
1.7 Transformaciones elementales
Son operaciones denominadas operaciones elementales con matrices que no modifican ni
el orden ni Característica (Rango) de la matriz, pueden efectuarse 3 operaciones
elementales sobre filas (renglón
1
) y las mismas 3 equivalentes sobre columnas.
i) Multiplicar por un escalar 𝑘 ≠ 0 distinto de cero a una fila: 𝑘𝑓 𝑖
𝑖
ii) Intercambiar una filas o renglones: 𝑓 𝑖
𝑗
iii) Sumar el múltiplo de una fila a otra fila: 𝑘𝑓
𝑖
𝑗
𝑗
Para las columnas las operaciones son equivalentes:
i) Multiplicar por un escalar 𝑘 ≠ 0 distinto de cero a una columna: 𝑘𝐶 𝑖
𝑖
ii) Intercambiar columnas: 𝐶 𝑖
𝑗
iii) Sumar el múltiplo de una columna a otra columna: 𝑘𝐶 𝑖
𝑗
𝑗
1
Renglón: Relativo a línea horizontal, se emplea como sinónimo de fila.
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Teorema: Toda matriz es susceptible de transformase en una matriz escalonada o
escalonada reducida por medio de operaciones elementales, utilizando el método del pivote.
1.7.1 Método del Pivote:
Secuencia de pasos que permite transformar a una matriz a las formas escalonadas.
Paso1: Generar un 1 principal (pivote) en la primera columna y llevarla a la posición 𝑎 11
Paso2: Con operaciones elementales hacer cero los elementos debajo del 1 principal del
paso anterior.
Paso 3: Generar el segundo pivote ( 1 principal) en la segunda columna y llevar a la posición
22
, luego hacer cero los elementos que se encuentran sobre y debajo de este elemento.
Paso 4: Repetir el proceso hasta transforma a la matriz a la forma escalonada.
1.7.2 Matriz Elemental
Una matriz 𝐸 𝑚×𝑚
𝑛×𝑛
se denomina matriz elemental si es el resultado de aplicar una
operación elemental sobre la matriz identidad 𝐼 𝑚×𝑚
𝑛×𝑛
Realizar una operación elemental en una fila de la matriz 𝐴 𝑚×𝑛
es equivalente a
premultiplicar (multiplicar por izquierda) a 𝐴 𝑚×𝑛
por la matriz elemental 𝐸
𝑚×𝑚
generada
por la misma operación elemental.
Realizar una operación elemental en una columna de la matriz 𝐴 𝑚×𝑛
es equivalente a
posmultiplicar (multiplicar por derecha) a 𝐴 𝑚×𝑛
por la matriz elemental 𝐹
𝑛×𝑛
generada por
la misma operación elemental.
Ejemplo: Sea la matriz 𝐴 3 × 4
= [
]
Efectúe las siguientes operaciones elementales sobre ella.
O1. 𝑓
1
2
O2. − 2 𝑓
3
2
2
O3. 4 𝐶
2
2
O4.
1
2
3
3
O5. 𝐶
1
4
1
1 2 3 2 2 2 2 3 3 1 4 2
5 3
2 2
2 4
f f f f f C C f f C C
3 5
2 2
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1.8 Matrices Equivalentes
Dos matrices 𝐴 y 𝐵 se denominan equivalentes 𝑨 ∼ 𝑩 si una de ellas se deduce de la otra
como consecuencia de transformaciones elementales, dos matrices equivalentes deberán
tener el mismo orden y misma característica ( rango ).
𝑜𝑝. 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
Sabemos que el cambio que genera una operación elemental de fila sobre una matriz 𝐴 es
el mismo que genera el premultiplicar a la matriz inicial por la matriz elemental de fila y el
cambio que genera una operación elemental de columna es el mismo que genera el
postmultiplicar (multiplicar por derecha) la matriz elemental de columna a la matriz inicial.
Problema 5. Dadas las matrices:
A
y
B
encuentre las matrices P
y Q provenientes de realizar operaciones elementales de modo que se cumpla que PAQ = B
Solución:
Convirtiendo a la matriz A mediante operaciones elementales:
1
1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 11
2 4
f f f f f f f f f f f C C C f f
A
− + → − + → − + → + → − →
2 3 3
C C C
B
Como se puede ver se realizaron 5 operaciones elementales de fila y 2 de columna, en
consecuencia, existen 5 matrices elementales, 5 de fila y 2 de columna, entonces se tiene:
1 1 2
1 2
5 4 3 2 1
5 4 3 2
E E E E E
E E F F Q
P
E E E A B PA B
Q F F
Mediante este procedimiento obtenemos una manera de obtener las matrices solicitadas,
calculemos las matrices elementales:
1 2 2 1 2 1 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 3
2
f f f f f f f f
I E I E I E
− + → − + →
1
2 1 1 2 2
11
2 2 4 1 2 2 5
11
4
f f f f f
I E I E
− + → − →
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1 3 3 2 3 3
3 3 1 3 3 2
C C C C C C
I F I F
Hallando las matrices P y Q
4
11
5 4 3 2 1 1 1
11 11
4 1 3
11 11 11
1 3 2
11 11 11
P E E E E E
P
1 2
Q F F
→ Rpta.:
1 3
11 11
3 2
11 11
P Q
Verificando:
1 3 1 3
11 11 11 11
3 2 3 2
11 11 11 11
PAQ B verifica
Para evitar el tedioso procedimiento al no ser operativo en ordenador (multiplicación) se
puede obtener las matrices partiendo del siguiente esquema (el tamaño de las elementales
de fila y columna se definen de acuerdo al tamaño de la matriz A de tal manera que el
producto sea conformable):
columna
fila
op elemetal I
I A
Las operaciones elementales de fila solo afectan a la identidad (elemental de fila) y las
operaciones elementales de columna solo a la identidad (elemental de columna).
1 2 1 2 1 2 2
2
− f + f f f − f + f → f
