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Guía de Prá ti a de Álgebra y Geometría
Por lo tanto, para determinar la matriz del osto en dólares de ingredientes para
pro du ir ada tip o de dul e en ada iudad, será su iente multipli ar A p or B:
BA =
^ C. Cherry^ M. M ocha^ A. Delight
Lima Arequipa T rujillo
) La matriz de la orden esp e ial es: C =
, enton es multipli amos matri es,
esto es:
(BA)C =
^ $
Lima Arequipa T rujillo
Por lo tanto, la ompañía deb e pro du ir en Trujillo, pues el osto sería $1200 para
500kg.
1.5. Ejer i ios Propuestos
1. Dado las matri es:
A =
, B =
, C =
, D =
E =
y F =
Deasarrolle los siguientes ál ulos siempre que sean p osibles:
a ) T raz(E + D)
b ) T raz(2(D + 4E))
) T raz (A(BC) + CD)
d ) T raz ((AC)T^ − 3 E)
e ) (−AC)T^ + 3DT
f ) BT^ ( 2 CCT^ − AT^ A)
g ) (F T^ ET^ )T^ − (CT^ ( 2 AT^ ))T^ F
h ) (DE − 3 CT^ AT^ − AT^ )T^ + A
i ) T raz(DDT^ )
j ) 2 CF − 3 BDF
k ) 4 BAT^ + 5 (CT^ BT^ )T
l ) (AB)T^ − (AT^ + B)T^ A + A.A
m ) ((AT^ )^ B − CT^ )T
2. Estable er si las siguientes a rma iones son verdaderas o falsas:
Matri es y determinantes
a ) Las expresiones T raz (AAT^ )y T raz (AT^ A)^ están siempre de nidas indep endiente-
mente del tamaño de A.
b ) T raz (AAT^ )^ = T raz (AT^ A)^ para ualquier matriz A.
) Si en la primera olumna de A son to dos eros, enton es lo mismo o urre on la
primera olumna de AB.
d ) Si la segunda la de A son to dos eros, enton es lo mismo o urre on la segunda la
de AB.
e ) Si A es una matriz uadrada on dos las idénti as, enton es AA tiene dos las
idénti as.
f ) Si A es una matriz uadrada y AA tiene una olumna donde to dos son eros, enton es
ne esariamente A tiene una olumna donde to dos son eros.
g ) Si B es una matriz de orden n × n uyas entradas son enteros pares p ositivos y si A
es una matriz n × n uyas entradas son enteros p ositivos, enton es las entradas de
AB y de BA son enteros pares p ositivos.
h ) Si la suma de matri es AB + BA estuviera bien de nida, enton es A y B deb en ser
matri es uadradas.
Rptas.: V, V, F, V, V, F, p or ejemplo
, V, V.
3. Determine la verdad o falsedad de los enun iados:
a ) Si A y B son matri es uadradas de orden n, enton es (A + B)^2 − (A − B)^2 = 4AB
b ) Si A y B son matri es uadradas de orden n, enton es (A − B)^2 + (A + B)^2 =
2 (A^2 + B^2 )
) Si( A es una matriz de orden 3 × 6 , B es una matriz uadrad de orden 6, enton es
2 I 6 + BT^ )^ AT^ es una matriz uadrada de orden 3.
d ) Si [ C es una matriz de orden 3 × 3 y D es una matriz de orden 3 × 1 enton es
(C + I 3 )T^ D
]T
es una matriz uadrada de orden 3.
e ) La matriz A = (aij ) de orden 3 × 3 talque aij =
i + 2j ; i > j i − 2 j ; i = j 2 i − j ; i < j
es simétri a.
f ) Sea C una matriz idemp otente de orden 5 y D una matriz de orden 5 × 2 enton es
DT^ (I + I^3 C^2 )T^ es una matriz e orden 2 × 5.
g ) Sea la matriz A =
1 x + 2 x 2 y 4 2 y − 1 2 x
, una matriz simétri a, enton es (y −x)x^ =
h ) Si
( (^) x + 1 z + 1 y + 1 w + 1
)T
( (^2) x z y + 2 w − 1
( (^4) x + 3 z + 2 3 y + 6 2 w − 3
, enton es
(x + y) (z − w) = 6
i ) Si 4
( (^) −x −y z − 1 w + 2
( (^) x + 1 y + 4 −z −w + 3
( (^) x + 1 −y z − 4 w + 5
, enton es
x − y w − z = 1
Matri es y determinantes
n 2 − 1 p 0 2 q r n
es antisimétri a. Cal ular to das las entradas de la matriz E, si se sa-
b e que: E = AT^ D − C.
Rpta.: E =
9. Determine la matriz A de orden 3 × 3 , si A = BC; B =
4 x + y 5 − x x^2 − y 2 2 y^2 + y 4 x y^3 − 1
es simétri a y C =
6 − a 5 c − 5 a^2 − 12 b 8 − 3 d a + c d 0
es antisimétri a.
Rpta.: A =
10. Dadas las matri es F =
2 r − m m m^2 − 2 m 1 r 2 0 r^2 − 2 r − 8 − 2
que es triangular sup e-
rior,
E = (eij ) 3 × 3 =
{ (^) (−2)i (^) + j ; i ≤ j
max (2j − 3 i , 3 j − i) ; i > j ,^ D^ =
0 a + 1 b −b 1 a − b − 1 a 0
, B =
y R =
( (^) − 1 b a 3 a 2 b
tal que RB − 2 I =
. Determine la
matriz ET^ D + F
11. Determine la matriz L =
m − 2 n 1 0 m −n − 1 0 n
si se sab e que las matri es M =
( (^) m 1 − 2 2 n n
y A =
umplen M A − I 2 =
n^2 + 4n 1
on n > 0. Además si la ma-
triz Q =
x y 0 x y 0 x + 1 − 2 0
es una matriz nilp otente de orden 2 on x, y 6 = 0 y la
matriz N se de ne p or N = (nij ) 3 × 3 talque nij =
{ (^) m´ın (2i − 1 , j − 1) ; i ≤ j
(−1)i^ + j ; i > j.
Hallar LN T^ − Q
12. Dadas las matri es A =
a 0 b − 1 b 1 1 1 − 2
, B =
a 0 b
, K =
tal
que BK− 3 I =
; Si C = (cij ) 3 x 3 =
3 i − 2 j ; i < j − 1 ; i = j i^2 − 2 j ; i > j
y D =
n − 2 1 P 0 − 1 q r n
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es antisimétri a. Cal ular to das las entradas de la matriz E = AT^ D − C
13. Si las matri es A =
9 a 2 9 b 1 18 a − 18 b 1 − 1 9 a
, B =
( (^) b 1 a 1 − 1 0
y K =
umplen que BK + 2I =
; al ule la matriz (AT^ D − C)^ si C = (cij ) 3 × 3 =
2 i − j ; i < j 1 ; i = j i^2 + j ; i > j
y D =
r p q 2 0 t − 1 4 r
es antisimétri a.
Rpta.:
14. Dada la matriz A =
, determine la matriz A^39 y A^44.
Rpta.:
; I.
15. Dada la matriz A =
, determine la matriz A^1000 (A − 4 I).
Rpta.:
16. Dadas las matri es: A = (aij ) 3 × 3 , donde aij =
2 i − 3 j ; i > j 2 i ; i = j 3 i − j ; i < j
; B = (bij ) 3 × 3 , donde
bij =
i − 2 j ; i ≤ j
3 i − 2 j ; i > j y^ C^ =
, determine la traza de la matriz X,
donde:
a ) 4 (XT^ + B)T^ = 3 (A + B + XT^ )T^ − (CT^ B + 3A)T
b ) (XT^ − CT^ B)T^ + (X − 2 AT^ )T^ C + (CX)T^ = 2 (XT^ )T^ + (A + 2BT^ − 2 (CT^ AT^ ))T
17. Determine la matriz triangular sup erior A y al ule mn + pq − rs, si:
A =
1 3 n 4 r m + n r − 5 2 3 q + 4p − 3 n − 8 m + n − 1 3 1 q − n 2 p + 2r + 2 s − n 5
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22. Demostrar que las matri es: A =
y B =
son
idemp otentes y p ermutables.
23. Demostrar que:
a ) La matriz A =
es nilp otente de índi e 2.
b ) Las matri es A =
y B =
son involutivas.
24. Si A y B son matri es involutivas y AB = BA =
, halle la traza de
la matriz N = (A + B)^2.
25. En una página deteriorada de un antiguo texto se en uentra la matriz A =
1 x 0 0 0 y 0 0 z
y del pro du to A^2 AT^ sólo se puede leer la última olumna
. Halle el valor
de x + y + z.
Rpta.: − 2
26. Hallar las matri es de orden 4 × 4 que sean onmutables on la matriz:
A =
27. (Cien ias Naturales) Al prin ipio de un exp erimento en lab oratorio, in o ratas jóvenes
midieron 5.6, 6.4, 6.9, 7.6 y 6.1 entímetros de longitud y p esaron 144, 138, 149, 152 y
146 gramos resp e tivamente.
a ) Es riba una matriz 2 × 5 usando esta informa ión.
b ) Al nal de dos semanas sus longitudes eran de 10.2, 11.4, 11.4, 12.7, y 10.8 entí-
metros y p esaron 196, 196, 225, 250 y 230 gramos. Es riba una matriz de 2 × 5 on
esta informa ión.
) De a) y b), determine la matriz que dé la antidad de ambio en longitud y p eso
para ada rata.
