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Matriz (matemáticas)
En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Historia
Cronología[]
Año Acontecimiento 200 a.C. En China los matemáticos usan series de números. 1848 d.C. J. J. Sylvester introduce el término " matriz ". 1858 Cayley publica Memorias sobre la teoría de matrices. 1878 Frobenius demuestra resultados fundamentales en álgebra matricial. 1925 Werner Heisenberg utiliza la teoría matricial en la mecánica cuántica
El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.[1]
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas ( Jiu Zhang Suan Shu ), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.[2] En el capítulo séptimo, " Ni mucho ni poco ", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza ( Rasa'il Ihkwan al-Safa ).[1]
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
Leibniz(1646-1716), uno de los dos fundadores del análisis, desarrolló la teoría de los determinantes en 1693 para facilitar la Resolución de las ecuaciones lineales. Gabriel Cramer tuvo que profundizar esta teoría, presentando el método de Cramer en 1750. En los años 1800, el método de eliminación de Gauss-Jordan se puso a punto.
Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en1848/1850.
En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial , como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.
Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.
Definiciones y notaciones
Una matriz es una arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones ) y columnas , donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n -por- m (escrito ) donde. El conjunto de las matrices de tamaño se representa como ,
donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas. A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le llama entrada o entrada -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las
columnas. Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le denota como , donde y. Cuando se
va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un o un con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz de tamaño se representa como mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así es una matriz, mientras que es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.
Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. o incluso
. Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño.
Finalmente a las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, i.e. , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota o alternativamente.
Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que
debido a que para todo.
- • Existencia del elemento neutro aditivo
Existe tal que
Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el
elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se
sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en
un campo.
- • Existencia del inverso aditivo
Existe tal que
a esta matriz se le denota por.
Demostración Dada tómese tal que. Entonces
; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier. En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números complejos).
Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrinsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene
que es un grupo abeliano.
En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo , la operación de
adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo
se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo
abeliano a.
Producto por un escalar
Sean y. Se define la operación de producto por un escalar como una función
tal que y donde en donde el producto es
la operación binaria correspondiente pero en el campo. Por ejemplo, la entrada es igual al producto. Veamos un ejemplo más explícito. Sea y
También es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades
para la operación producto por un escalar
Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que
para todo.
- • Distributividad respecto de la suma de matrices
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que
debido a que para todo.
- • Distributividad respecto de la suma en el campo
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido
a que para todo.
- • Producto por el neutro multiplicativo del campo
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que
para todo. Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que es cerrado bajo producto por
escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que es un espacio vectorial con las
operaciones de suma y producto por escalares definidas antes. En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno , se dice que es un módulo sobre.
Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para
todo.
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para todo
debido a que para todo.
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces para todo implica que o para todo , i.e..
No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para
todo.
Propiedades
Sean matrices con entradas en , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan)
Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si ,
y por lo que
donde debido a que
para todo. Aquí estamos considerando que es , es y es
.
- • Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que
debido a que para
todo. Aquí estamos considerando que es , es y es.
- • Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que
debido a que para
todo. Aquí estamos considerando que es , es y es.
El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos tendremos que el producto entre matrices en
también está en. En ese caso además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el
caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces además
de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún con el producto de matrices es un anillo.
Rango
El rango de una matriz es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por , que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de.
Traspuesta
La traspuesta de una matriz , donde no es necesariamente un campo, es una matriz
tal que. Por ejemplo la entrada. Veamos un ejemplo más explícito. Sea
entonces su traspuesta es
Así, informalmente podríamos decir que la traspuesta es aquella matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. Las notaciones usuales para denotar la traspuesta de una matriz son.
La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades (donde ahora si el conjunto de entradas debe ser al menos un anillo conmutativo):
Si representa una aplicación lineal, entonces la matriz describe la traspuesta de la
aplicación lineal.
Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n -por- n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.
M( n , R ), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M( n , C ), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.
La matriz identidad I n de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MI n = M y I n N = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:
La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles o matrices no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que
AB = I n = BA.
En este caso, B es la matriz inversa de A , identificada por A -1^. El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.
Si λ es un número y v es un vector no nulo tal que Av = λ v , entonces se dice que v es un vector propio de A y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo si A −λ I n no es invertible, lo que sucede si y sólo si p A (λ) = 0, donde p A ( x ) es el polinomio característico de A. p A ( x ) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.
El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero también puede ser definida por la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.
El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus n valores propios.
Referencias
- Beezer, Rob , Un primer curso en álgebra lineal [3], licencia bajo GFDL. (En inglés)
- Jim Hefferon : Álgebra lineal [4]^ (Libros de texto en línea) (En inglés)
Enlaces externos
- Una breve historia del álgebra lineal y de la teoría de matrices lineal [5]^ (En inglés)
- Matemáticas/Matrices [6](En Wikilibros)
Notas
[1] Swaney, Mark. History of Magic Squares (http:/ / www. arthurmag. com/ magpie/ ?p=449). [2][2] cited by [3] http:/ / linear. ups. edu/ index. html [4] http:/ / joshua. smcvt. edu/ linalg. html/ [5] http:/ / darkwing. uoregon. edu/ ~vitulli/ 441. sp04/ LinAlgHistory. html [6] http:/ / es. wikibooks. org/ wiki/ Matem%C3%A1ticas/ Matrices
Fuentes y contribuyentes del artículo (^11)
Fuentes y contribuyentes del artículo
Matriz (matemáticas) Fuente : http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=65079500 Contribuyentes : 2orejas1boca, 3coma14, Adrruiz, Af3, Airunp, Alberto Salguero, Alexandrosas, Alhen, Amadís, Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Astroza, Açipni-Lovrij, Baiji, BlackBeast, CHV, CaStarCo, Casary, CayoMarcio, Chewie, Cinabrium, Creosota, Danicm, Danielba894, Davidsevilla, Davius, DefLog, Diegusjaimes, Dnu72, Eduardo Lima, El Hoy, Elessar.telkontarg, Emijrp, Epnob, Esceptic0, Euclides, Eudescontreras, Euratom, Ezequieldiazbarral, Farisori, Franco68, FrancoGG, Fsd141, Gaius iulius caesar, Gengiskanhg, GermanX, HUB, Halfdrag, Hprmedina, Humberto, Igna, Inajle, Ingenioso Hidalgo, Isha, IvanStepaniuk, J. A. Gélvez, J.delanoy, JMPerez, Jatt, Javierito92, Jcaraballo, Jecanre, Jjafjjaf, Jkbw, Jlbezares, Jorge 2701, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Mayordomo, Julinspi, Julio Isaac Moreno Díaz, Kender00, Komputisto, Kved, L&T2, La Maga, Lampsako, Leonpolanco, Lourdes Cardenal, Macalla, Malguzt, Manwë, Marcodallacamina, Matdrodes, MatemáticaAlejandra, Mcapdevila, Mgallege, Moriel, Mortadelo2005, Mpinomej, Mushii, Nodulation, Numbo3, Paintman, Pieter, Proferichardperez, Pólux, QFI.RICRADO, Queninosta, Rastrojo, Rdaneel, Retama, Ricard Delgado Gonzalo, Ricardogpn, Roberto Fiadone, Rojasyesid, Romero Schmidtke, RoyFocker, Rubpe19, Sabbut, Sanbec, Santiago Hernández, Sebanievas87, Sheldonspock, Steve.jaramillov, SuperBraulio13, Tano4595, Technopat, Tigerfenix, Tostadora, Triku, Umburi, Veltys, Veon, Vitamine, Waka Waka, Will vm, Yeza, Yopohari, Zorosandro, 408 ediciones anónimas
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