¡Descarga Matrices: Definición y Propiedades y más Apuntes en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!
Matemáticas II - BACH
TEMA 1: MATRICES
MATRICES: DEFINICIÓN
guiente:^ Una matriz^ A^ es un conjunto de números reales escritos en filas y en columnas de la forma si-
am am am a mn
a a a a n
a a a an A 1 2 3 .....
... ... ... ..... ...^2 21 22 23 .....^1
11 12 13 .....
obtiene sin más que sustituir^ Al término^ aij^ se denomina término general de la matriz, pues cualquier elemento de ésta se i por 1,2,....m y j por 1,2 .....n. Este elemento se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz A.
se les denominan^ m^ representa el número de filas de la matriz y dimensiones de la matriz.^ n^ el número de columnas. A los valores de^ m^ y^ n La matriz A=[aij] A se puede representar también como A=[aij]mxn o simplemente como A=(aij) o A Mm,n se le denomina conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas.
triz es cuadrada y, por tanto,^ Si^ m=n , es decir, la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que la ma- Mn,n representa al conjunto de todas las matrices cuadradas de dimen- sión n. (Si la matriz no es cuadrada se dice que es rectangular). Se llama diagonal principa l de una matriz cuadrada a la línea formada por los elementos a 11 , a 22 ,, ann y diagonal secundaria a la línea formada por: an^ 1 ,, a 1 n Una matriz A=[aij]nx1 se denomina matriz columna. Una matriz A=[aij]1xn se denomina matriz fila. A las filas y columnas de la matriz A se les denominan vectores , de modo que: f 1 (^) ( a 11 , a 12 ,..........., a 1 n ) representa al vector de la fila 1. f (^) 2 ( a 21 , a 22 ,..........., a 2 n ) representa al vector de la fila 2. f (^) i ( ai 1 , ai 2 ,..........., ain ) representa en general al vector fila i de la matriz A=[aij]mxn Del mismo modo para los vectores columna:
Matemáticas II - BACH
1
....^21
11 1 a m
C aa^ (vector de la columna 1)
2
....^22
12 2 a m
(^) C aa (vector de la columna 2)
En general:
a mj
a j
a j Cj (^) ....^2
1 representa en general al vector columna j de la matriz A=[aij]mxn
tre las filas y las columnas de la matriz. De este modo se puede considerar a una matriz formada por^ Una matriz se puede descomponer en^ submatrices^ determinadas mediante rectas trazadas en- elementos que son a su vez matrices. Así, por ejemplo:
X Y
A B z
n
c
y
m
b
x
l
a la matriz A está formada por 4 submatrices que se han representado
por la letra mayúscula al elemento que las encabeza. Es decir:
A (^) al B (^) mb nc X x Y y z EJEMPLO:
ser recogida en una tabla:^ Las matrices no son sólo una tabla de números, permiten organizar información susceptible de Dibujo Física Química Juan 9 8 9 Claudia 5 4 5 Mª José 7 8 7
ras:^ Por ejemplo, la matriz A puede representar las notas de los alumnos en las diferentes asignatu-
A Las dimensiones de A son de 3x3. Cada fila representa a un alumno y en las
columnas se guardan los datos relativos a las notas de las asignaturas de Dibujo, Física y Química. Alser A una matriz cuadra la diagonal principal está formada por los elementos: 9,4,7 y la diagonal secun- daria por: 7,4,9.
Matemáticas II - BACH IGUALDAD DE MATRICES
que:^ Dos matrices^ A=[aij]mxn^ ^ Mm,n^ y^ B=[bij]pxq^ ^ Mp,q^ se dicen que son iguales si se cumple m=p y n=q es decir, tienen las mismas dimensiones y:
lugar en ambas matrices son iguales.^ aij= bij^ ^ i=1,2,...m y^ ^ j=1,2,....n, es decir, todos los elementos que ocupan el mismo SUMA DE MATRICES
sumar con^ Sean B^ A si ambas tienen las mismas dimensiones (es decir^ y^ B^ dos matrices de modo que^ A=[aij]mxn^ m=p y n=q)Mm,n^ y^ B=[bij]. pxq^ ^ Mp,q,^ A^ se puede
término general es:^ En este caso, se define la matriz suma de ^ A^ y^ B,^ y se designa por^ A+B,^ a aquella matriz cuyo A B aij bij Entonces, las matrices A, B y A+B tienen las mismas dimensiones. Puesto que los elementos de una matriz son números reales se verifica que: aij+bij=bij+aij i=1,2,.....m y j=1,2,.....n. Por tanto, la suma de matrices tiene la propiedad conmutativa : A+B=B+A Otras propiedades: Sean A, B y C Mm,n : Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C Existencia del elemento neutro: (matriz nula) tal que: A+0 = 0+A = A Para toda matriz A existe el elemento neutro O Mm,n Existencia del elemento simétrico (opuesto): Para toda matriz A existe el elemento simétri- co – A Mm,n tal que: A+(-A)=(-A)+A=0. Al elemento simétrico de la adición se le denomina opuesto. El conjunto de matrices M tructura de grupo abeliano o conmutativo.m,n con la ley de composición interna, suma de matrices, tiene es- EJEMPLO: 2 3 23 7 2 123
x x^ x
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
es otra matriz que tiene las mismas dimensiones que^ Sea^ A^ la matriz^ A=[aij]mxn^ ^ Mm,n^ y sea^ k^ ^ R,A , se denota por^ el producto del número real kA y su término general viene^ k^ por la matriz^ A dado por: kA ka (^) ij
Matemáticas II - BACH Propiedades: Sean A , B Mm,n y k,h R Asociativa : k(hA)=(kh)(A) Elemento neutro : el elemento neutro es el número real 1 pues verifica que: 1 A=A 1=A Distributiva: k(A+B)= kA+kB (k+h)A=kA+hA Con las operaciones anteriores el conjunto - Con la ley externa: Mm,n es un espacio vectorial sobre R pues: anteriores.^ RxM^ m^ ,^ n Mm , n , producto por un numero real, verifica las propiedades
- Ley interna, M (^) m , n xMm , n Mm , n suma de matrices, tiene estructura de grupo abeliano. Por esto denominamos a sus filas y columnas vectores. EJEMPLO:
x^ x
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
verifica que:^ Sea^ A=[aij] n=p. Es decir, el número mxn Mm,n^ y sea^ B=[bij] n de columnas de pxq Mp,q^ ,la matriz A es igual al número^ A^ es multiplicable por la matriz p de filas de B. (O bien^ B^ si se el número de elementos de la fila de A es igual al número de elementos de la columna de B )
otra matriz^ En este caso, el producto de matrices P cuyo término general viene dado por:^ A^ por^ B , que se designa como^ A B , es, por definición, pij ai 1 b 1 j ai 2 b 2 j ........... ain bnj q n 1 aiq bqj
ij nj
j
j
i i in p
b
b
b
a a a^2
1 1 2
Es decir, que pij está constituido por el producto de la fila ia de A por la columna ja de B.
cuenta que para que se puedan multiplicar las matrices se debía cumplir que n=p), entonces^ Con esto de observa que^ si A es de dimensión mxn y B es de dimensión nxq (ten en la matrizcomo B. A B es de dimensión mxq, es decir, tienen tantas filas como A y tantas columnas
El producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa, es decir: A B B A Propiedades: Sean A, B y C matrices para las que existen los productos:
Matemáticas II - BACH Propiedades de la matriz traspuesta:
1) A,B Mm,n se verifica que: t^ A B tA tB
2) A,B Mm,n se verifica que: t^ A B tB tA
3) A,B Mm,n se verifica que: t^ t A A
Matrices simétricas y antisimétricas: Una matriz es simétrica si A At. Es decir: aij aji Una matriz es antisimétrica si At^ A. Es decir: aij aji A (^) 12 ^11 At 12 ^11 A es simétrica.
B (^) ^10 01 Bt ^0101 Bt^ B B es antisimétrica. Observa que para que una matriz sea simétrica o antisimétrica debe ser cuadrada. MATRIZ INVERSA Toda matriz cuadrada A Mn,n tiene inversa si A 0.
rifica que:^ En este caso, se define a la matriz inversa de A y se denota por^ A-1^ como aquella matriz que ve- A A ^1 A ^1 A I Donde la matriz I Mn,n , se denomina matriz unidad y equivale a:
I y se verifica que A I I A A ACLARACIÓN: A , representa el determinante de A. En el siguiente tema se define el de- terminante de una matriz cuadrada. De momento, a modo de herramienta, se aprenden a hacer los de-terminantes de matrices cuadradas de orden dos y tres.
Orden 2: aa^11^ 21 aa 2212 a 11 a 22 a 12 a 21
Matemáticas II - BACH Orden 3: Regla de Sarruss:
(a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 ) 3121 3222 3323
(^111213) aa aa aa
a a a ( a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 ) 3121 3222 3323
(^111213) aa aa aa
a a a
A ( a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 )( a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 )
va para la multiplicación de matrices. Pueden existir otro tipo de matrices que también verifiquen la^ Observa que la matriz unidad, la matriz inversa y la matriz nula poseen la propiedad conmutati- propiedad conmutativa, pero en general esto no es así, y por tanto el producto de matrices no es con-mutativo.
Comprueba que:
^11 32 ^3 (^2 )^55 (^3 )^8 1 1 1
PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
1) Si una matriz cuadrada A Mn,n tiene A 0 , entonces A tiene inversa y se denomina ma- triz inversible o regular. Las que no tienen inversa se denominan matrices singulares 2) La matriz inversa de A cuando existe es única. 3) Si A-1^ es la inversa de A entonces A es la inversa de A-1, es decir: A A^1 I ; A-1^ AI => A A ^1 A ^1 A I 4) A B ^1 B ^1 A ^1 5) La inversa de la matriz inversa de A es A: A ^1 ^ 1 A MENOR COMPLEMENTARIO DE UN ELEMENTO
determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j.^ Dada la matriz cuadrada A^ ^ Mn,n, se denomina menor complementario del elemento aij de A, al El menor complementario de aij se denota por ij. Por ejemplo, sea
A , el menor complementario de a 12 será:
12 = (^14) ^32 ( 4 2 1 3 ) 11.
Matemáticas II - BACH
3 7 5
2 5 4
1 2 2 31 32 33
21 22 23 ( )^111213 A A A
A A A
A A A AdjA
Adj ( A ) t
1 ( )^123
A A Adj A^ t (el A 1 ) (Para hallar este determinante se aplica la regla se Sarruss).
X A^1 ( 2 B )
SEGUNDO MÉTODO: GAUSS - JORDAN
Vamos a calcular la inversa de la matriz anterior por el método de Gauss: 1) Colocamos a su derecha la matriz identidad:
izquierda. Estas transformaciones consisten en realizar^ 2)^ Mediante una serie de transformaciones debemos conseguir la matriz identidad en la parte operaciones elementales entre las filas de la matriz. Son operaciones elementales entre filas: o Intercambiar las filas. o Multiplicar a una fila por un número distinto de cero. o Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero. Existe un método general: o Con la primera fila se hacen ceros a los primeros elementos del resto de las filas.
F 2 3 F 2
Matemáticas II - BACH
F 2 (^) F 2 4 F (^1)
F 3 3 F 3
F 3 F 3 ( 2 ) F 1
NOTACIÓN: F 2 (^) F 2 4 F 1 , a la segunda fila le sumamos la primera multiplicada por 4). (Se pueden simplificar pasos: F 3 (^) 3 F 3 2 F 1 ). o Con la segunda fila se hacen ceros a los segundos elementos de las filas siguientes(3ª, 4ª...):
F 3 (^) 5 F (^3)
F 3 F 3 4 F 2
Se procede así hasta tener todos ceros por debajo de la diagonal principal. o Se repite el mismo proceso pero a la inversa, es decir, hasta conseguir ceros porencima de la diagonal principal:
F 1 (^) 5 F (^1)
F 1 F 1 2 F 2
F 2 3 F 2
F 2 (^) F 2 7 F (^3)
Matemáticas II - BACH Partimos de que es cierta para n=1: A^1 (^) 01 11 Se supone cierta hasta n: An (^) 01 1 n Con los datos anteriores se comprueba que también se verifica para n+1: A n ^1 A An 01 11 01 1 n ^01 n 1 ^1
- Es decir, para todos los números naturales:^ Como se verifica para n+1, por el principio de inducción es cierta para todo natural mayor que Por tanto: A n (^) 01 1 n n 5000 A^5000 01 50001
Para facilitar el aprendizaje de los tipos de matrices, se recogen en el siguiente esquema:
TIPOS DE MATRICES: Pueden ser cuadradas o rectangulares: Matriz nula O cero. mxn: Todos sus elementos son
Matriz traspuesta At : A t^ ( bij ) con
columnas. bij^ aji^ Se obtiene intercambiando filas por
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS:
Simétrica: A At Antisimétrica: A At Triangular: debajo o por encima de la diagonal principal. todos los elementos son cero por Diagonal: en la diagonal principal son cero Todos los elementos que no están Escalar: mentos de al diagonal principal son iguales. matriz diagonal don de todos los ele- Identidad tos de la diagonal principal son 1. I : matriz escalar donde los elemen- Inversa A ^1 : A A ^1 A ^1 A I Regular: si existe A ^1 , es decir: A 0 Singular: si no existe A ^1 , es decir: A 0
