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MATRICES - SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
El mayor riesgo es no correr ningún riesgo. En un mundo que cambia muy rápidamente, la única estrategia que tiene garantizado el fracaso en no arriesgar. mark zuckerberg
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios aplicadas a la ingeniería y otros campos de estudio mediante los sistemas de ecuaciones lineales basado en la teoría de matrices
1.9. Sistema de Ecuaciones Li-
neales
Todo sistema de ecuaciones lineales puede ser expresado como una ecuación matricial
^ SistemaLineal
x − y + 3z = 4 x + 2y − 2 z = 10 3 x − y + 5z = 14
^ A^ ·^ X^ =^ B
x y z
Siendo:
A: Matriz de coe cientes.
X: Matriz de variables
B: Matriz de constantes
Toda ecuación matricial de la forma A · X = B puede ser resuelta mediante tres métodos. De los cuales destacaremos dos.
1.9.1. Método de la Matriz Inversa
Dada ecuación matricial A · X = B , pro- cedemos a hallar la |A|, para luego considerar que:
Si |A| 6 = 0, entonces existe la inversa A−^1 ; por lo tanto existe una solución única X , la cual se determina mediante el produc- to: X = A−^1 · B
Si |A| = 0, entonces NO existe la inversa A−^1 , en consecuencia NO existe una so- lución única X , pero pueden existir otro tipo de soluciones.
Nota: Este método se aplica sólo a sistemas de ”n” ecuaciones lineales con ”n” incógnitas.
Ejemplo 7. : Resuelva el sistema de ecuaciones lineales
x − y + 3z = 4 x + 2y − 2 z = 10 3 x − y + 5z = 14
Solución. :
1.9.2. Método de Eliminación de
Gauss-Jordán
Dado A · X = B , procedemos a formar la
matriz aumentada
[
A
. B
]
, la cual reduci-
remos a una matriz canónica o de forma esca- lonada por las, para luego escribir un nuevo sistema con esta nueva matriz, el cual se resol- verá por sustitución.
Nota: El método es aplicado a cualquier ti- po de sistemas de ecuaciones lineales (”n” ecua- ciones, ”m” incógnitas) y no es necesario que |A| 6 = 0 , o que exista A−^1. Estos son casos mu- cho mas reales y que ocurren con frecuencia en las ingenierías y otros campos de estudio.
Soluciones de un Sistema Lineal en
forma escalonada por las:
Todo sistema lineal reducido mediante el método de Gauss Jordán puede presentar tres tipos de soluciones.
Una única solución: Si cada una de las incóg- nitas en la forma escalonada por reglones es una incógnita inicial, entonces el sistema tiene exac- tamente una solución y es llamado CONSIS- TENTE.
No hay solución: Si la forma escalonada por re- glones contiene un reglón que representa la ecua- ción 0 = k , donde k es un número distinto de cero, entonces el sistema no tiene solución y es denominado INCONSISTENTE. In nitas soluciones: Si las incógnitas en la for- ma escalonada por reglones no son todas ellas incógnitas iniciales y si el sistema no es inconsis- tente, entonces tiene un número in nito de solu- ciones. En este caso el sistema es llamado CON- SISTENTE INDETERMINADO. Resolve- mos el sistema al poner la matriz en forma es- calonada por reglones reducida y expresamos las incógnitas iniciales en términos de las incógnitas no iniciales.
Las siguientes matrices, nos ilustran los tres ca- sos.
^ U nicaSolucion´
^ N ohaySoluci´on
Inf initasSoluciones
Ejemplo 8. : Determine el tipo de solución del sistema siguiente y exprese el conjunto solución adecuadamente.
x − y + 2z = − 4 3 x − 5 y + 8z = − 14 x + 3y − 2 z = 0 Solución. :
- En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas T1 , T2 y T3 , cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las ca- misas se elaboran por lotes. Para producir un lote del tipo 1 se necesitan 30min pa- ra cortarlas, 40min para coserlas y 50min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2 se necesitan 50min para cortar, 50min para coser y 50min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3 se necesi- tan 65min para cortar, 40min para co- ser y 15min para planchar y empaquetar. ¾Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?.
a) Exprese como un sistema y determi- ne su tipo de solución b) Si se produjeran 2 lotes del T3 , ¾Cuanto de debe producir de los otros lotes
Solución. :
R.: a) X =
5 48 2 z 5 −^
14 5 z z
; z ∈ 〈0; 247 〉;
b) X =
5 4 2
- Determine el tipo de solución del sistema siguiente y exprese el conjunto solución adecuadamente
2 x − y + z = 3 2 y − z = 1 −x + y = 1
Solución. :
R.: X =
1 2 3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
- Determine matricialmente el tipo de so- lución del sistema siguiente y expre- se el conjunto solución adecuadamente:
x + y + z = 1 x − y + z = 1 −x + y + z = 1
Solución. :
R.: X =
0 0 1
- Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. ¾Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre?
Solución. :
R.: X =
5 3 2
- Determine matricialmente el conjun- to solución del siguiente sistema:
3 x + 2y − 2 z = 4 4 x + y − z = 7 x + 4y − 4 z = − 2
Solución. :
R.: X =
2 −1 + z z
- Resolver por el método de eliminación de
Gauss - Jordán
3 x + 4y − 3 z = 5 x + 2y − 2 z = 1 2 x + 2y − 3 z = 5
Solución. :
R.: X =
7 / 2 − 7 / 4 − 1 / 2
