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UNIDAD TEMATICA
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
Un poco de historia Este capítulo se centrará en tres temas: matrices , determinantes y sistemas de ecuaciones. Veremos cómo los primeros dos conceptos pueden emplearse para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices fueron creación de los eminentes matemáticos ingleses Arthur Cayley (1821-1895) y James Joseph Sylvester (1814-1897). Como muchas invenciones matemáticas, la teoría y el álgebra de matrices surgieron como producto secundario de las investigaciones e intereses matemáticos primarios de Cayley, niño prodigio en matemáticas que sobresalió en esa materia mientras estudiaba en el Trinity College, en Cambridge. Sin embargo, como no pudo conseguir trabajo como matemático, llegó a ser abogado a la edad de 28 años. Después de soportar 14 años en esta profesión, le ofrecieron una cátedra de matemáticas en Cambridge en 1863, donde influyó para que la universidad admitiera a las primeras mujeres. Arthur Cayley también inventó el concepto de la geometría n -dimensional e hizo muchas contribuciones significativas a la teoría de los determinantes. Entre 1881 y 1882, Cayley fue profesor de la Universidad Johns Hopkins en Estados Unidos. Sylvester también dio clases en la Universidad Johns Hopkins de 1877 a 1883.
INTRODUCCION
En este artículo vamos a ver qué es una matriz en matemática, cómo se define, qué tipos de matrices hay y vamos a ver ejemplos de matrices.
Una matriz es un arreglo de números ordenado, que consiste en una serie de filas y columnas, de modo que cada elemento ocupa una posición y puede ser identificado por su número de fila y de columna. Dadas dos matrices podremos realizar ciertas operaciones entre ellas siempre que cumplan determinadas condiciones. Una de las aplicaciones más útiles de las matrices es la resolución de sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos representar este sistema con una matriz cuadrada de 2×2 (llamémosla A), multiplicada por un vector columna de incógnitas (vector x) y ese producto igualarlo al vector columna de términos independientes (digamos B). Este sistema se representaría de la siguiente manera:
A.x = B
Lo cual recuerda mucho a una ecuación lineal simple en la que tenemos una incógnita (x) que está multiplicada por un coeficiente (A) y esto es igual a un valor (B), para resolver esa ecuación lineal basta con dividir a ambos miembros por el coeficiente A y de esta forma despejaríamos la incógnita x. No se puede hacer divisiones con matrices pero se puede recurrir a una operación análoga que es multiplicar ambos miembros por la matriz inversa de A (siempre que exista la matriz inversa de A), con esto se despeja el vector incógnita.
x = A-1.B
DEFINICIONES DE MATRICES
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden descomponerse de varias formas.
Multiplicación de dos matrices Para hallar el producto AB de dos matrices A y B , necesitamos que el número de columnas de A sea igual al número de filas en B. Suponga que A= ( aij ) mxn es una matriz de mxn y B = ( bij ) nxp es una matriz de n x p. Como se ilustra a continuación, para encontrar la entrada cij en el producto C = AB , hacemos parejas con los números de la fila i -ésima de A con los de la columna j -ésima de B. Luego multiplicamos los pares y sumamos los productos, como sigue: Decimos que (3) es el producto de la fila i- ésima y la fila j- ésima de B. Se deduce de (3) que el producto AB tiene m filas y p columnas. Dicho con otras palabras, el orden del producto C 5 AB se determina por el número de filas de A y el número de columnas de B : Por ejemplo, el producto de una matriz de 2 x 3 y una matriz de 3 x 3 es una matriz de 2 x 3:
La entrada, digamos, c 12 es el producto de la primera fila de A y la segunda columna de B : Resumimos el análisis anterior con una definición formal. Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes: A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es (2x2). Qué elemento es a 21 ?. B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es (2x3). Qué elemento es b 23 ?. C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es (4x3). Qué elemento es c 42 ?.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a 11 , a 22 , a 33 ,.. ., ann, siendo la matriz: En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formada por 1, 5, 0. Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a 11 +a 22 +a 33 +... + ann, y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6. La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n , a 2 ,n−1 , a 3 ,n−2 ,.. ., an1. En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. Y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Son ejemplos de estas matrices:
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal. Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad ó identidad. Se suelen representar por In.
¿QUE ES EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ?
El determinante de una matriz es una operación que se aplica a las matrices , pero únicamente se pueden calcular los determinantes de matrices cuadradas. Por lo tanto, el resultado del determinante de una matriz siempre será un número, no una matriz. Por ejemplo, el determinante de la siguiente matriz es igual a cero (0):
Dada la matriz A 33 , se define su determinante det(A) ó |A| igual a un escalar, de la siguiente forma: Ejemplo:
¿CUAL ES LA DIFERENCIA ENTRE UNA MATRIZ Y UN
DETERMINANTE?
La principal diferencia entre las matrices y los determinantes es que una matriz es una manera de expresar datos o números, en cambio, el determinante de una matriz siempre será el resultado de una operación, es decir, un único número. Otra manera de diferenciar las matrices y los determinantes es mediante sus respectivas propiedades. Por ejemplo, multiplicar una matriz por un número es equivalente a multiplicar todos los elementos de la matriz por ese número. Por contra, el producto de un determinante por un escalar es igual a multiplicar tan solo una fila o una columna del determinante.
Por otro lado, también se usan las matrices para expresar las relaciones entre datos, estas son las llamadas matrices de información. Por ejemplo, es muy fácil hacer la representación de un grafo y de las relaciones que existen entre sus nodos mediante una matriz: si dos nodos están relacionados se pone un 1, en cambio, si no existe ninguna relación entre dos nodos se coloca un 0. Por último, otra utilidad de las matrices es representar vectores. Se pueden usar las columnas de las matrices para expresar las coordenadas de un vector y hacer operaciones con ellos. Por ejemplo, si el determinante de una matriz es igual a 0 significa que el rango de la matriz en cuestión nunca será máximo, y esto implica que los vectores de la matriz serán linealmente dependientes (LD). Por contra, si el determinante es distinto de 0 los vectores son linealmente independientes (LI). Determinante de una matriz de 2 x 2 Como hemos expuesto, un determinante es un número. Comenzamos con la definición del d eterminante de orden 2, es decir, el determinante de una matriz de 2 x 2.
INVERSA DE UNA MATRIZ
Introducción En álgebra común, cada número real a diferente de cero tiene un inverso multiplicativo b tal que
Donde el número 1 es la identidad multiplicativa. El número b es el recíproco del número a, es decir, a
- 1 = 1/ a. Del mismo modo, una matriz A puede tener un inverso multiplicativo, pero como veremos en la explicación que sigue, A debe ser de un cierto tipo de matriz cuadrada. Inverso multiplicativo Si A es una matriz de n x n y existe una matriz B de n x n tal que Decimos que B es el inverso multiplicativo o, simplemente, el inverso de A. El inverso multiplicativo de A se escribe B = A - 1 . A diferencia de lo que ocurre en el sistema de los números reales, nótese que el símbolo A - 1 no denota el recíproco de A , esto es, A-^1 no es 1/ A. En la teoría de matrices 1/ A no está definido. Se dice que una matriz cuadrada que tiene un inverso multiplicativo es no singular o invertible. Cuando una matriz cuadrada A no tiene inverso, se dice que es singular o no invertible. Ejemplo: Puesto que AB = BA = I 2 , concluimos de (1) que la matriz A es no singular y que el inverso A - 1 de la matriz A es la matriz B dada. Determinación del inverso A 2 1: método 1 Podemos encontrar el inverso de una matriz no singular por medio de dos métodos. El primero que consideraremos una determinantes. Empezamos con el caso especial donde A es una matriz de 2 x 2:
Este resultado conduce al teorema siguiente De la deducción que precede al teorema, hemos demostrado que AA-^1 = I 2. Dejamos como ejercicio comprobar que A
- A = I 2, donde A - está dado.
