Ejemplo de matematicas, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemática Financiera

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS

ÍNDICE

Página

UNIDAD 1 Interés Simple...................................................................................

UNIDAD 2 Descuento Bancario, Descuentos y Comisiones, Descuentos en Cadena-Tasas Escalonadas.......................................................

UNIDAD 3 Pagos Parciales y Ventas a Crédito con corto plazo .......................

UNIDAD 4 Interés Compuesto ...........................................................................

UNIDAD 5 Valor actual o presente a interés compuesto...................................

UNIDAD 6 Anualidades.....................................................................................

UNIDAD 7 Anualidades anticipadas y diferidas ................................................

INTERÉS SIMPLE

OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es enseñar al estudiante los factores que entran en juego en el cálculo del interés simple y capacitarlo para manejar estos factores y aplicarlos en la solución de problemas frecuentes en el campo financiero. En este capítulo aprenderá, definiciones y manejará conceptos y factores básicos que serán utilizados en los demás capítulos del texto. Al terminar el capítulo el estudiante será capaz de calcular intereses por medio de tablas de factores y aplicando fórmulas; deberá ser capaz de calcular montos, valor actual, tasas de interés y tiempos. Será también capaz de manejar diagramas de tiempo-valor, diagramas de flujo de caja y de resolver ecuaciones de valores equivalentes.

1.2 DEFINICIONES: Tasa de interés y tasa de retorno

Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar, por un dinero tomado en préstamo. Las leyes de cada país rigen los contratos y relaciones entre prestatarios y prestamistas. Los ejemplos y problemas que figuran en este libro deben analizarse, de acuerdo con las leyes y costumbres locales.

Por el dinero tomado en préstamo, es necesario pagar un precio. Este precio se expresa por una suma a pagar por cada unidad de dinero prestada, en una unidad de tiempo convencionalmente estipulada. La expresión del precio es la tasa de la operación comercial. La unidad de tiempo que acostumbra a utilizarse es el año. La tasa se expresa en tanto por ciento y es el tipo de interés de la operación. Así, un préstamo convenido a la tasa o tipo de interés del r % significa que se conviene que, por cada 100 unidades de dinero prestado, se pagarán como interés r unidades al final de cada año de duración del préstamo. Cuando se trata de dineros invertidos en un negocio, el inversionista espera recuperar una suma mayor que la invertida; de esta operación, surge el concepto de tasa de retorno. En nuestros desarrollos, nos referimos a la tasa de interés, ésta puede cambiarse por tasa de retorno, cuando se trata de inversiones.

En los países afectados por una desvalorización continuada, la tasa de interés suele ser alta en razón de que conjuga el interés por precio del dinero, con la corrección de su valor, constituyendo la corrección un seudo interés.

Consideramos que se debe separar el rendimiento de los capitales de las tasas de protección del poder adquisitivo del dinero; por esto en la mayoría de los problemas que presentamos en el texto, se da la tasa de interés considerando el capital sin devaluación. Si se incluye la devaluación, aparecen tasas altas que mezclan la devaluación con el rédito de los capitales; los Bancos y las Financieras separan las tasas indicando, por ejemplo, 8% de interés y 21 de corrección monetaria; la corrección tiene una finalidad diferente al del interés, en el capítulo 18 analizamos el tratamiento de la devaluación.

En cada capítulo recomendamos temas de investigación que permiten a los profesores y estudiantes dar un marco de realidad a los problemas adecuándolos a los sistemas financieros y costumbres de su región.

1.3 CALCULO DEL INTERES

El interés o rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada y con el tiempo de duración del préstamo. Designando con:

C el capital o suma prestada t el tiempo I el interés o rédito

tendremos, de acuerdo con las leyes de variación proporcional,

I= Ctk (1)

donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contractuales del préstamo. Si las condiciones son del r % anual (año comercial de 360 días), para un préstamo de 100 unidades de dinero, tendremos

C = 100 unidades t = 360 días (año comercial) I= r unidades (r % = r unidades por cada 100 en 360 días)

Aplicando (1) tendremos: r = 100(360)k

r Despejando k = 100(360)

i remplazando k = 360 El factor k es el tanto por uno en un día, si el tiempo se expresa en días.

El interés real o exacto es igual al interés ordinario o comercial, menos 1/73 del mismo.

Ejemplo 1.1 Calcular el interés ordinario y el interés real de $10, 000 prestados al 14% durante 65 días.

C = $10 000

t = 65 días r = 14%

Interés ordinario = $ 252, Para calcular el interés real aplicamos la fórmula (3)

El interés real puede calcularse directamente, aplicando (2b)

1.6 DETERMINACIÓN DEL TIEMPO

Desde muy antiguo, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra suponer el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Obsérvese que 360 tiene los siguientes divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 y 180. Estos divisores permiten un gran número de simplificaciones, muy útiles, cuando se trabaja sin máquina de calcular. Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. Es importante que el lector aplique sus costumbres locales, en la solución de los problemas.

Días inicial y terminal. Para la cuenta de los días, es costumbre excluir el primer día e incluir el último. Así, para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo comercial trascurrido es de 15 días. En algunos países, la costumbre es contar el primero y el último día; en tal caso el tiempo comercial sería de 16 días.

Fecha de vencimiento. La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se reciba a 90 días, deberá pagarse el 8 de junio, si la costumbre es contar sólo el día terminal. Si la fecha terminal corresponde a un día festivo, la costumbre local indicará si el pago debe recibirse el primer día laboral siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses. Para calcular el tiempo trascurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal de períodos mayores de un año, la costumbre comercial es calcular el tiempo aproximado, computando los años de 360 días y los meses de 30 días. Así, para calcular el tiempo trascurrido entre el 3 de abril de 1973 y el 14 de septiembre de 1975, en las operaciones aritméticas con números complejos aprendimos el siguiente método:

(b) El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial: en este caso la diferencia entre el día terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar la diferencia al número intersección de los meses.

Ejemplo 1.3 Calcular tos días que hay entre el 18 de marzo y el 10 de noviembre del mismo año. Diferencia entre los números de días =10 -18 = - Número correspondiente a la intersección marzo-noviembre = 245

Entre las dos fechas propuestas hay 237 días calendarios.

La tabla 1 es de gran utilidad para determinar la fecha terminal conocida, la fecha inicial y el número de días. El cálculo se hace con gran rapidez, sin necesidad de contar los días en un calendario.

Ejemplo 1.4 El día 13 de marzo se firmó un pagare a 120 días. Calcular la fecha terminal. En la línea horizontal del mes inicial, marzo, se busca el número más próximo a 120, en nuestro problema es el número 122 que corresponde al mes terminal julio, la diferencia 122 -120 = 2 se resta a los días del mes inicial y se obtiene el número de días del mes terminal. En nuestro problema 13 - 2 = 11. Fecha de vencimiento 11 de julio del mismo año.

Equivalencia de decimales de año a días y meses Con frecuencia, en los problemas resulta el tiempo expresado en decimales de año; para convertirlos a días se tienen las siguientes equivalencias:

Año comercial de 360 días Año calendario de 365 días 0,1 =36 días 0,1 =36,5 días 0,01 =3,6 días 0,01 =3,65 días 0,001 =0,36 días 0,001 = 0,365 días

Ejemplo 1.5 la respuesta de un problema es 3,578 años (de 360 días). Expresar el resultado en años, meses y días. Sin efectuar el producto por 360, puede procederse así:

0,5 =5(36) =180 días 0,07 =7(3,6) = 25,2 días 0,008 =8(0,36) =2,9 días

Total 208 días = 6 meses, 28 días

3,578 años equivalen a 3 años, 6 meses, 28 días.

Equivalencia de días o decimales de año En las librerías se consiguen tablas que expresan cualquier número de días en decimales de año, tanto de 360 días como de 365 días; en ellas, se encuentran las equivalencias, desde uno hasta 365 días. El uso de las actuales máquinas de calcular ha disminuido la importancia de tales tablas y su uso es poco frecuente. Las tablas 2 y 3 que se dan a continuación, son tablas resumidas que expresan los decimales

equivalentes a las fracciones

t

/ 360 y

t

/ 365, desde uno a nueve días.

Con ellas, pueden calcularse con rapidez los decimales de año equivalentes a cualquier número de días. En muchos casos, pueden simplificarse los cálculos y efectuarlos con gran rapidez, si los divisores de 360 permiten expresar el tiempo en fracciones de año. Así por

ejemplo : 30 días =^1 / 12 ; 60 días =^1 / 6 ; 90 días = 1 / 4 , etc. El éxito de esta forma de operar

depende exclusivamente del buen conocimiento que el lector tenga de las operaciones aritméticas.

Ejemplo 1.6 (Sin utilizar máquina de calcular para el cociente 233 / 360 ).

Calcular los decimales de un año de 360 días que equivalen a 235 días. Se utiliza la tabla 2 y se obtiene:

200 días = 0,555556 (100 veces el decimal correspondiente a 2) 30 días = 0,083333 (10 veces el decimal correspondiente a 3) 5 días = 0, suman 235 días = 0,652778 años de 360 días.

Las calculadoras y las tablas de factores. El uso de las calculadoras permite prescindir de las tablas de diversos factores de uso frecuente, ya que los valores pueden obtenerse, directamente, con una calculadora; no obstante, consideramos de gran importancia que el estudiante domine el uso de las diversas tablas que se estudian en este texto.

I = 250 000 (0,666667)(0,1)

I = $ 16 666,

Introduciendo en (2) los conceptos de factor de interés simple y de numeral, se obtienen las dos importantes fórmulas que se desarrollan a continuación y que son las que más ventajas prácticas ofrecen, para el cálculo de intereses

El factor f de interés simple es el tanto por uno en un día. Para el uso de este factor, el tiempo debe expresarse en días. El producto Ct, que corresponde al capital por el tiempo, se remplaza por la letra N y recibe el nombre de numeral.

Remplazando en (5) Ct = N obtenemos I = Nf (6)

En todos los países circulan tablas financieras que contienen diferentes factores para el cálculo de intereses simples y compuestos. En ellas, se encuentran las tablas para los factores de interés simple correspondientes a los tipos de interés más utilizados. Las tablas que se dan a continuación tienen los valores de f para los tipos de interés que, con frecuencia, se utilizan en este libro. El lector comprenderá la importancia que tiene utilizar tablas de factores, al observar la rapidez y contabilidad que se logra en los cálculos. Las empresas financieras preparan sus propias tablas para los tipos de interés con que normalmente trabajan.

Tabla 4 Tabla 5 Interés comercial Interés real

Con las tablas anteriores, puede calcularse el valor de f para otros tipos de interés. Por

ejemplo, para 6 1 / 4 % se tiene:

1 / 4 % = 6% +

1 / 4 % = 0,0001666667 + 0,

para 6

1 / 4 %; f = 0,

Ejemplo 1.8 Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de $ 60 000, durante 120

días al 7 1 / 2 %. Resolveremos este problema, aplicando la fórmula (5) y utilizando la tabla 4:

I = Ctf

C = $60 000

t= 120 días f = 0,0001944444 + 0,00001388889 = 0, I = 60 000(120)(0,000208333) = 1499, I = $

La fórmula (6) tiene una importante aplicación en el cálculo de intereses sobre cuentas corrientes que son frecuentes en los negocios. En este tipo de cuentas con intereses, se cargan o abonan intereses sobre saldos, por el tiempo de permanencia del saldo; la fórmula (6) permite gran rapidez en el cálculo de los intereses.

Sean: S 1 , , S 2 , S 3 , ... , S (^) n „ , los distintos saldos y t 1 , , t 2 , t 3 , ..., tn ,, , los tiempos de

permanencia de cada uno de ellos. Los productos S 1 , t 1 , , S 2 t 2 , S 3 t 3 , ... , S (^) n tn „ , son los numerales correspondientes a cada saldo; aplicando la fórmula (6) para el cálculo de los intereses correspondientes a cada saldo, se tiene:

Aplicando la fórmula (7), I= 0,0008888889(1 755 000) = 682,

I= $682,

El planteamiento de los problemas económico-financieros se desarrolla en torno de dos conceptos básicos que son: el de CAPITALIZACION y el de ACTUALIZACION. El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán en fecha futura. En otras palabras, capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al futuro. Actualizar es traer y valorizar capitales, del futuro al presente. El monto es el valor acumulado del capital agregados los intereses devengados. En otras palabras, el monto es igual al capital, más los intereses. Sean:

Por definición de la fórmula (4) remplazando

C = capital

I = intereses

S = monto

S = C + I

I = Cni

S = C + Cni

S = C (1 + ni)

Ejemplo 1.10 Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20 000 el 22 de junio, si el pagaré fue firmado el 30 de enero, al 8% de interés.

Nota Conviene que el lector resuelva este problema por diferentes métodos; el ejemplo lo trataremos, utilizando las tablas ya estudiadas.

Cálculo del tiempo (tabla 1) t = 151 — (30 — 22) = 151 — 8 = 143 días.

Equivalencia a decimales de año (tabla 2)

100 días = 0, 40 días = 0, 3 días = 0, 143 días = 0,397222 años

i = 0, S = C(1 + ni) S = 20 000(1 + 0,397222 * 0,08) S = 20 000(1 + 0,03177776) S = 20 000(1,03177776) S = $20 635.

1.10 VALOR ACTUAL o VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA

El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el período de tiempo contado hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida. La definición anterior es para el valor actual a interés simple, que es diferente a la del valor actual que daremos al estudiar el descuento bancario.

De la definición, se desprende que hallar el valor actual es despejar en (8) el capital, conocidos el monto y los intereses.

S = C (1 + ni)

C = S (9)

1 + ni

Respecto a los símbolos que se utilizan en matemáticas financieras, hay cierta anarquía, así el valor actual o presente se expresa con alguna de las siguientes letras C, P, VP y para el monto se utiliza alguna de las letras S, M, F, VF; esto sin contar con la notación estándar que presentamos al final de 4.10. Nosotros utilizaremos S para expresar el monto y C para el valor actual o presente.

La diferencia entre la cantidad a pagar en fecha futura y su valor actual es el descuento.

C = capital S = monto D = descuento D =S - C (10)

A, B y C ingresos (+) D, E y F egresos ( -)

La longitud y el grosor de las flechas son indicadores de la magnitud de los valores en juego. Ejemplo 1.11 Hacer el diagrama de tiempo-valor para un monto de $ 20 400 al 6%. 30, 60, 90 y 120 días antes del vencimiento con descuento racional. Comparar este diagrama con el que corresponde a una deuda de $ 20 000 al 6%, calculando su valor 30, 60, 90 y 120 días después de la fecha inicial.

Diagrama para el monto de $20 400 Aplicando (9) S C = 1 + ni

S = 20 400

i = 0,

n = 30, 60, 90 y 120 días antes del vencimiento efectuando los cálculos se tiene

Diagrama para el capital inicial de $20 000

Aplicando (8) S = C (1 + ni ) C = $ 20000 i= 0, n = 30, 60, 90 y 120 días contados desde la fecha inicial efectuando los cálculos se tiene el diagrama

Comparando ambos diagramas, se observa que el valor sólo es igual en las fechas inicial y final. Observe que la diferencia en una misma fecha por ejemplo, entre las cantidades 20 198,02 y 20 200 es igual a los intereses simples de 198,02 a la tasa dada y en el tiempo calculado para 20 198,02.

20 200 -20 198,02 = 1,98 que es igual a los intereses simples de 198,02 al 6% en 60 días.

198,02 (^1 / 6 ) (0,06) = 1,

El lector debe hacer el cálculo para las otras fechas.

1.11 CALCULO DE INTERESES POR MEDIO DE TABLAS

Un libro de tablas financieras contiene un conjunto de tablas, para el cálculo de diferentes tópicos financieros. Así, en ellas se encuentran tablas para el cálculo de intereses simple y compuesto y sus diferentes aplicaciones; tablas para el cálculo de seguros de vida; tablas para el cálculo y rendimiento de bonos y obligaciones, etc. En lo que se refiere al cálculo de interés simple, se encuentran tablas en circulación en cada país. Estas tablas suelen ser, a veces, muy extensas; por ejemplo, las tablas publicadas hace más de 50 años por Carlos L. Delbridge contienen, para diferentes tasas, el valor de los intereses desde 1 a 365 días, para capitales desde $ 0,01 hasta $ 200 000.

Según el criterio del autor, cada tabla tiene organizados sus datos en forma peculiar y ofrecen al lector una amplia información sobre sus usos y manejo, por lo que consideramos inoficioso describir en particular alguna de ellas.

Las diferentes empresas suelen preparar tablas para sus cálculos comerciales más frecuentes. Al establecer un sistema para sus cálculos financieros, una empresa debe tener en cuenta tres aspectos básicos: confiabilidad en los resultados, rapidez y costo operacional del sistema adoptado.

En los diferentes capítulos del libro, incluimos tablas, algunas de ellas sólo parciales, tales son las 1, 2, 3, 4 y 5 hasta este momento estudiadas. Este tipo de tablas son de importancia relativa y su uso no es de estricta necesidad; el objeto de ellas es lograr una mayor rapidez en el cálculo y mostrar al lector la posibilidad de preparar tablas similares, para aplicaciones específicas de cada empresa.