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Matrices simétricas y diagonalización ortogonal
EJEMPLO 1: Matrices simétricas y matrices no simétricas
Las matrices A y B son simétricas, pero la matriz c no lo es.
Las matrices no simétricas tienen algunas propiedades especiales que en general no poseen las matrices simétricas.
1. Una matriz no simétrica puede no ser diagonalizable. 2. Una matriz no simétrica puede tener eigenvalores que no sean reales. Por ejemplo, la matriz
tiene como ecuación característica 𝜆𝜆^2 + 1 = 0. Por tanto, sus eigenvalores son los números imaginarios 𝜆𝜆 1 = 𝑖𝑖 y 𝜆𝜆 1 = −𝑖𝑖.
3. Para una matriz no simétrica, el número de eigenvectores linealmente independientes correspondientes a un eigenvalor puede ser menor que la multiplicidad del eigenvalor.
EJEMPLO 2: Los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz simétrica de 2 x 2
Demuestre que la matriz simétrica
es diagonalizable.
Solución:
El polinomio característico de A es
Como es cuadrático en λ, este polinomio tiene por discriminante
Dado que este discriminante es la suma de dos cuadrados, deber ser cero o positivo.
Si ( a – b )^2 + 4 c^2 = 0, entonces a = b y c = 0, lo cual implica que A ya es diagonal. Es decir
Por otra parte, si ( a – b )^2 + 4 c^2 > 0, entonces por la fórmula cuadrática el polinomio característico de A tiene dos raíces reales distintas, lo cual implica que A tiene dos eigenvalores distintos. Por tanto, A es diagonalizable también en este caso.
EJEMPLO 3: Dimensiones de los eigenespacios de una matriz simétrica
Determine los eigenvalores de la matriz simétrica
y determine las dimensiones de los eigenespacios correspondientes.
b. La matriz
es ortogonal ya que
En los incisos (a) y (b) del ejemplo 4 las columnas de las matrices P forman conjuntos ortogonales en R^2 y R^3 , respectivamente.
Esto sugiere el siguiente teorema.
Demostración:
La demostración para los renglones es análoga. Suponga que los vectores columna de P forman un conjunto ortonormal:
Entonces el producto PT^ P es de la forma
Dado que el conjunto {𝒑𝒑𝟏𝟏, 𝒑𝒑𝟐𝟐,... , 𝒑𝒑𝒏𝒏} es ortonormal, se tiene
Por tanto, la matriz compuesta de productos punto es de la forma
Lo anterior implica que PT^ = P – 1^ y se concluye que P es ortogonal.
Por el contrario, si P es ortogonal se puede retroceder los pasos anteriores para verificar que los vectores columna de P forman un conjunto ortonormal.
EJEMPLO 5: Una matriz ortogonal
Demuestre que
Es ortogonal al probar que PPT^ = I. Luego, demuestre que los vectores columna de P constituyen un conjunto ortonormal.
Solución:
Como
se concluye que PT^ = P –1^ , por lo que P es ortogonal.
Ahora puede escribir
Esto implica que (λ 1 – λ 2 )( x 1 ∙ x 2 ) = 0 y, como λ 1 ≠ λ 2 , se concluye que x 1 ∙ x 2 = 0.
Por consiguiente, x 1 y x 2 son ortogonales.
EJEMPLO 6: Eigenvectores de una matriz simétrica
Demuestre que dos eigenvectores cualesquiera de
correspondientes a eigenvalores distintos son ortogonales.
Solución:
El polinomio característico de A es
lo cual implica que los eigenvalores de A son λ 1 = 2 y λ 2 = 4. Todo eigenvector correspondiente a λ 1 = 2 es de la forma
y todo eigenvector correspondiente a λ 2 = 4 es de la forma
por consiguiente
y se concluye que x 1 y x 2 son ortogonales.
DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL
Una matriz es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que P –1 AP = D es diagonal. El siguiente teorema establece que el conjunto de matrices diagonalizables ortogonalmente es precisamente el conjunto de matrices simétricas.
Demostración:
La demostración del teorema en una dirección es bastante directa. Es decir, si se supone que A es ortogonalmente diagonalizable, entonces existe una matriz ortogonal P tal que D = P –1 AP es diagonal. Además, como P –1^ = PT , se tiene
𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 −1^ = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑇𝑇
Lo cual implica
𝐴𝐴𝑇𝑇^ = (𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑇𝑇^ )𝑇𝑇^ = (𝑃𝑃 𝑇𝑇^ )𝑇𝑇𝑃𝑃𝑇𝑇^ 𝑃𝑃 𝑇𝑇^ = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑇𝑇^ = 𝐴𝐴
Por consiguiente, A es simétrica.
Observación:
La demostración del teorema en la otra dirección es más complicada, pero es importante porque es constructiva.
Suponga que A es simétrica. Si A tiene un eigenvalor λ de multiplicidad k , entonces por el teorema 6.7 tiene k eigenvectores linealmente independientes.
Mediante el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, este conjunto de k vectores puede usarse para formar una base ortonormal de eigenvectores del eigenespacio correspondiente a λ. Este procedimiento se repite para cada eigenvalor de A. La colección de todos los eigenvectores resultantes es ortogonal debido al teorema 6.9 y, por el proceso de normalización, se sabe que la colección también es ortonormal.
Luego, sea P la matriz cuyas columnas constan de estos n eigenvectores ortonormales. Por el teorema 6.8, P es una matriz ortogonal. Finalmente, por el teorema 6.5, es posible concluir que P –1 AP es diagonal. Así, A es diagonalizable ortogonalmente.
EJEMPLO 8: Diagonalización ortogonal
Determine una matriz P que diagonalice ortogonalmente a
Solución:
1. El polinomio característico de A es
Por tanto, los eigenvalores son λ 1 = –3 y λ 2 = 2.
2. Para cada eigenvalor se encuentra un eigenvector al convertir la matriz λ I – A a la forma escalonada reducida por renglones.
Los eigenvectores (–2, 1) y (1, 2) constituyen una base ortogonal de R^2. Normalice cada uno de estos vectores para obtener una base ortonormal.
3. Como la multiplicidad de cada eigenvalor es 1, se pasa directamente al paso 4. 4. Usando p 1 y p 2 como vectores columna, se construye la matriz P.
Compruebe que P diagonaliza ortogonalmente a A calculando P –1 AP = PT^ AP.
EJEMPLO 9: Diagonalización ortogonal
Encuentra una matriz P que ortogonalmente diagonalice
Solución:
1. El polinomio característico de A , |𝜆𝜆𝐼𝐼 − 𝐴𝐴| = (𝜆𝜆 − 3)^2 (𝜆𝜆 + 6) = 0 produce los eigenvalores λ 1 = –6 y λ 2 = 3. La multiplicidad de λ 1 es 1 y la multiplicidad de λ 2 es 2. 2. Un eigenvector para λ 1 es v 1 = (1, –2, 2), que se normaliza a 3. Dos eigenvectores para λ 2 son v 2 = (2, 1, 0) y v 3 = (– 2, 0, 1). Observe que v 1 es ortogonal a v 2 y v 3 , como se garantiza por el teorema 6.9. Los eigenvectores v 2 y v 3 , sin embargo, no son ortogonales entre sí. Para encontrar dos vectores característicos ortonormales para λ 2 se aplica el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt como se muestra a continuación.
Estos vectores se normalizan para
