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Matriz transpuesta
Objetivos. Conocer el concepto de la matriz transpuesta y estudiar las propiedades b´asicas de la operaci´on A 7 → A>^ que transforma cada matriz en su transpuesta.
Requisitos. Matrices, notaci´on breve para definir matrices, operaciones con matrices.
- Ejemplo. Sea
A =
[
]
Entonces la matriz transpuesta de la matriz A, denotada por A>, es la siguiente matriz:
A>^ =
Los renglones de la matriz A son columnas de la matriz A>, y las columnas de la matriz A son renglones de la matriz A>. Se puede notar que, por ejemplo, la entrada (3, 1) de la matriz A>^ es la entrada (1, 3) de la matriz A:
(A>) 3 , 1 = −7 = A 1 , 3.
Con este ejemplo nos preparamos a la definici´on formal.
- M´as ejemplos.
A =
, A>^ =
[
]
B =
,^ B
[
]
C =
, C>^ =
Encuentre una relaci´on entre los tama˜nos de A y A>, escriba (A>) 2 , 1 como Ap,q con algunos sub´ındices p y q; escriba (A>) 1 , 3 como Ar,s con algunos sub´ındices r y s.
Con estos ejemplos nos preparamos a la definici´on formal.
- Definici´on (la transpuesta de una matriz). Sea A ∈ Mm×n(F). Entonces la matriz transpuesta de A, la cual denotamos por A>, se define mediante la regla
A>^ :=
[
Aj,i
]n,m i,j=1.
Esto es, A>^ ∈ Mn×m(F),
y para cualquier par de ´ındices (i, j), donde i ∈ { 1 ,... , n}, j ∈ { 1 ,... , m},
(A>)i,j = Aj,i.
Otras notaciones comunes para la matriz transpuesta: Aτ^ , AT^ , A′, At, tA.
- La transpuesta de una matriz en sistemas de ´algebra computacional. Inves- tigue c´omo se denota la transpuesta de una matriz en sistemas de ´algebra computacional. Ejemplos: MATLAB (y sus an´alogos libres GNU Octave, Scilab, FreeMat), Maxima, Wol- fram Mathematica, Python + numpy, Sage.
- Tarea opcional: programar la funci´on que calcule la transpuesta de una matriz. En alg´un lenguaje de programaci´on escriba una funci´on que construya la trans- puesta de una matriz. Aqu´ı est´a un programa en el lenguaje Python escrita de manera muy ingenua, con dos ciclos:
def mytranspose(A): m = len(A); n = len(A[0]) if (m > 0) else 0 B = [0] * n for j in range(n): B[j] = [0] * m for k in range(m): B[j][k] = A[k][j] return B
A = [[-3, 7, 2], [4, 5, -1]] print("A = " + str(A) + "\n" + "transpose(A) = " + str(mytranspose(A)))
Por supuesto, en Python hay soluciones m´as breves y m´as eficientes.
- Observaci´on (sobre el tama˜no de la matriz transpuesta del producto de dos matrices). Sea A ∈ Mm×n(F) y sea B ∈ Mn×p(F). Determine los tama˜nos de las matrices AB, (AB)>, A>^ y B>:
AB ∈ (AB)>^ ∈ A>^ ∈ B>^ ∈
Intente a adivinar c´omo se expresa la matriz (AB)>^ a trav´es de A>^ y B>:
(AB)>^ =
Con estos ejercicios nos preparamos al siguiente teorema.
- Teorema (propiedades de la transposici´on de matrices).
- (A>)>^ = A para toda A ∈ Mm×n(F).
- (A + B)>^ = A>^ + B>^ para todas A, B ∈ Mm×n(F).
- (λA)>^ = λA>^ para toda A ∈ Mm×n(F) y todo λ ∈ F.
- (AB)>^ = B>A>^ para todas A ∈ Mm×n(F), B ∈ Mn×p(F).
Demostraci´on. 1. Seg´un la definici´on, A>^ ∈ Mn×m(F), luego (A>)>^ ∈ Mm×n(F), as´ı que las matrices (A>)>^ y A son del mismo tama˜no. Calculemos la (i, j)-´esima entrada de (A>)>: (^) ( (A>)>
i,j = (A
)j,i = Ai,j.
Las demostraciones de las propiedades 2 y 3 tambi´en son muy simples y se dejan como ejercicios.
- Demostremos la propiedad m´as interesante, (AB)>^ = B>A>. Primero, determine- mos las tama˜nos de las matrices. La matriz AB es de tama˜no m × p, por eso (AB)>^ es de tama˜no p × m. La matriz B>^ tiene tama˜no p × n, A>^ tiene tama˜no n × m, por eso B>A> tiene tama˜no p × m. Resumen: las matrices (AB)>^ y B>A>^ son del mismo tama˜no. Calculemos la (i, j)-´esima entrada de (AB)>: ( (AB)>
i,j = (AB)j,i^ =
∑^ n
k=
Aj,kBk,i.
Ahora calculemos la entrada (i, j) entrada del producto B>A>:
(B>A>)i,j =
∑^ n
k=
(B>)i,k(A>)k,j =
∑^ n
k=
Bk,iAj,k =
∑^ n
k=
Aj,kBk,i.
En el ´ultimo paso usamos el hecho que la multiplicaci´on en F es conmutativa. Hemos mostrado que ( (AB)>
i,j =
∑^ n
k=
Aj,kBk,i = (B>A>)i,j.
