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September 14, 2009
Tema 1: Matrices y Determinantes
- Matrices
Definici´on 1.1. Una matriz es un arreglo rectangular de n´umeros reales
A =
a 11 a 12 · · · a 1 m
a 21 a 22 · · · a 2 m
. . .
an 1 an 2 · · · anm
Se dice que una matriz es de orden (o tama˜no) n × m si tiene n filas y m columnas. El conjunto
de todas las matrices de orden n × m se denota por Mn×m.
El elemento aij es el que se encuentra en la fila i y la columna j. A veces escribiremos en forma
abreviada A = (aij )
i=1,...,n j=1,...,m o equivalentemente A = (aij ).
Los elementos de la forma aii se llaman la diagonal de la matriz A. Una matriz es cuadrada
si n = m. La traza de una matriz cuadrada A es la suma de todos los elementos de su diagonal,
traza (A) =
∑n
i= aii.
Definici´on 1.2. La matriz identidad de orden n es
In =
La matriz cuadrada de orden n con todos sus elementos iguales a cero es la matriz nula, y la
denotamos por 0n.
Definici´on 1.3. La transpuesta de una matriz A, denotada por A
T , es la matriz cuya fila i es igual
a la columna i de A
A
T
a 11 a 21 · · · an 1
a 12 a 22 · · · an 2
. . .
a 1 m a 2 m · · · anm
∈ Mm×n.
- Algebra de matrices
La suma de dos matrices n × m es la matriz cuyos vectores filas son las sumas de los correspon-
dientes vectores filas de las dos matrices originales. As´ı, si A = (aij )
i=1,...,n j=1,...,m y B = (bij )
i=1,...,n j=1,...,m
A + B = (aij + bij )
i=1,...,n j=1,...,m
Ejemplo 2.1. Encuentre A + B, siendo A =
y B =
A + B =
El producto de una matriz por un escalar corresponde a multiplicar cada elemento de la matriz
A por el escalar. Esto es, si A = (aij )
i=1,...,n j=1,...,m y λ ∈ R, entonces
λA = (λaij )
i=1,...,n j=1,...,m
Ejemplo 2.2. Sea λ = 3 y A =
. Luego 3A =
1
El producto de una matriz n × m por una matriz m × p es una matriz n × p cuyo elemento
ubicado en la fila i y la columna j es el producto escalar del vector fila i de la primera matriz y
el vector columna j de la segunda matriz. As´ı, si A = (aij )
i=1,...,n j=1,...,m y B = (bij )
j=1,...,m k=1,...,p , la matriz
C = AB ∈ Mn×p tiene elementos
cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + · · · + aimbmj.
Ejemplo 2.3. Calcule AB y BA, donde A =
and B =
Respuesta: AB =
. Pero en cambio, BA no se puede calcular
puesto que el n´umero de columnas de B no coincide con el de filas de A.
2.1. Propiedades. Supongamos que las matrices en cada una de las siguientes leyes son tales que
la operaci´on indicada puede ser realizada y que α, β ∈ R.
(1) (A
T )
T = A.
(2) (A + B)
T = A
T
T .
(3) A + B = B + A (propiedad conmutativa).
(4) A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa).
(5) α(A + B) = αA + αB.
(6) (α + β)A = αA + βA.
(7) La multiplicaci´on de matrices no es siempre conmutativa, i.e., AB 6 = BA.
(8) A(BC) = (AB)C (propiedad asociativa).
(9) A(B +C) = AC +AB y A(B +C) = AB +AC (propiedad distributiva respecto a la adici´on).
(10) InA = AIn = A y 0nA = A (^0) n = 0n.
Definici´on 2.4. Se dice que una matriz cuadrada A es regular o invertible si existe una matriz B
tal que AB = BA = In. La matriz B es llamada la inversa de A y es denotada por A
− 1 .
Teorema 2.5. La matriz inversa es ´unica.
La unicidad de A − 1 puede ser probada f´acilmente. Para ello, supongamos que B es otra matriz
inversa de A. Entonces BA = In y
B = BIn = B(AA
− 1 ) = (BA)A
− 1 = InA
− 1 = A
− 1 ,
por lo que B = A − 1 .
2.2. Propiedades. Supongamos que las matrices en cada una de las siguientes leyes son regulares.
(1) (A
− 1 )
− 1 = A.
(2) (A
T )
− 1 = (A
− 1 )
T .
(3) (AB)
− 1 = B
− 1 A
− 1 .
- Determinantes
A una matriz cuadrada A le asociamos un n´umero real llamado el determinante, |A| o det (A), de
la siguiente manera,
Para una matriz de orden 1, A = (a), det (A) = a.
Para una matriz de orden 2, A =
a b
c d
, det (A) = ad − bc.
Para una matriz de orden 3
det (A) =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
= a 11
a 22 a 23
a 32 a 33
− a 21
a 12 a 13
a 32 a 33
a 12 a 13
a 22 a 23
- Operaciones elementales con matrices. Matriz inversa
Las siguientes operaciones con filas y columnas de una matriz A ∈ Mn×m son llamadas operaciones
elementales.
- Intercambiar l´ıneas paralelas de A(filas o columnas).
- Multiplicaci´on de una l´ınea de A (fila o columna) por una constante diferente de cero.
- Sumar a una l´ınea de A (fila o columna) un m´ultiplo de otra l´ınea paralela.
Estas operaciones se pueden describir mediante el producto de matrices. Una operaci´on en las
filas de A es equivalente a multiplicar a la izquierda por una matriz elemental E ∈ Mn. De la misma
manera, una operaci´on en las columnas de A es equivalente a multiplicar a la derecha por una matriz
elemental E ∈ Mm.
Como ejemplo, para intercambiar la fila 1 y 3 en la matriz A =
, multiplicamos a la
izquierda por la matriz E =
(^) para obtener
EA =
Para intercambiar filas 1 y 2, la matriz elemental es E =
(^) (por favor chequear).
Para sumar a la fila 2 de A siete veces la fila 3, multiplicamos a la izquierda por la matriz E =
(^) para obtener
EA =
Para multiplicar la fila 2 por 5, multiplicamos a la izquierda por la matriz E =
para obtener
EA =
Definici´on 4.1. Dadas dos matrices A y B del mismo tama˜no, decimos que B es equivalente a A
si podemos transformar A en B mediante un n´umero finito de operaciones elementales.
Estamos interesados en calcular la inversa de una matriz regular mediante operaciones elementales.
Teorema 4.2. Si A ∈ Mn es regular, entonces A es equivalente a la matriz identidad In, esto es,
existen matrices elementales E 1 ,... , Er and E
′ 1 ,... , E
′ r tales que^ Er^ · · ·^ E^1 A^ =^ In^ y^ AE
′ 1 · · ·^ E
′ r =^ In.
Por tanto la matriz inversa de A es A − 1 = Er · · · E 1 = E ′ 1
· · · E
′ r
. Esto dice que podemos encontrar
la inversa de una matriz regular por medio de operaciones elementales a la matriz identidad In. Desde
un punto de vista pr´actico, el m´etodo de Gauss considera la matriz
(A|In) =
a 11 a 12... a 1 n | 1 0... 0
a 21 a 22... a 2 n | 0 1... 0
. . .
an 1 an 2... ann | 0 0... 1
y realiza operaciones elementales a las filas hasta conseguir que A se transforme en la matriz identidad
In, de modo que In se convierta en A − 1 .
Ejemplo 4.3. Encontrar la inversa de la matriz A =
Respuesta: Considere la matriz (A|I 3 ) =
. En las siguientes op-
eraciones, fi denota la fila i, y fi − λfj quiere decir que a la fila fi le restamos λ veces la fila
fj.
(f 3 − f 1 ) ∼
(^) ; (f 3 +^ f 2 )^ ∼
(2f 2 − f 3 ) ∼
(^) ; (2f 1 −^ f 2 )^ ∼
Por tanto, la matriz inversa es
A
− 1
- Rango de una matriz
El concepto de rango de una matriz es fundamental en el estudio de sistemas lineales de ecuaciones.
Definici´on 5.1. La forma escalonada de una matriz A ∈ Mn×m es la matriz equivalente B ∈ Mn×m
con ceros por encima (debajo) de la diagonal principal.
Definici´on 5.2. El rango de una matriz A ∈ Mn×m es el n´umero de filas (columnas) diferentes de
cero que tiene la forma escalonada de la matriz.
5.1. Propiedades. Sean A, B ∈ Mn×m.
(1) Las matrices A y B son equivalentes si, y s´olo si, rango (A) = rango (B).
(2) rango (A
T ) = rango (A).
(3) rango (A) ≤ min{n, m}.
(4) Si A es cuadrada entonces rango (A) = n si, y s´olo si, |A| 6 = 0.
Ejemplo 5.3. Encuentre el rango de la matriz A =
