mecánica de materiales, Ejercicios de Ciencias

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Universidad Polit´ecnica de Madrid Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

CURSO DE MEC ´ANICA

Vol´umenes I y II

Jos´e Mar´ıa Goicolea Ruig´omez

diciembre 2010

Segunda edici´on revisada, noviembre 2001 – diciembre 2010

©c2010 por Jos´e M.a^ Goicolea Ruig´omez.

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omitirse algunos apartados considerados opcionales, como 3.7–3.9, 5.6–5.7, 6.6, 7.3 y 7.7. El segundo volumen, que podría cubrirse en un segundo semestre con igual número de créditos, incluye la dinámica del sólido rígido, la dinámica impulsiva, las ecuaciones de Hamilton, las oscilaciones lineales en sistemas con varios grados de libertad, la estática general y de los cables. Debo manifestar mi agradecimiento a diversas personas que directa o in- directamente han influido en este texto. Primeramente a José A. Fernández Palacios, mi maestro en estas lides y anterior catedrático en la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid, responsable de la concepción actual de la asignatura que me he limitado a continuar. Asimismo, al resto de profesores de la cátedra cuyas discusiones y propuestas de ejercicios han podido ser recogidas en estas líneas: J.J. Arribas, F. Gabaldón, J.C. García, A. Mar- tínez Reyes, F. Martínez Cutillas, J.M. Navas y F. Nieto^1. Por último, el más cálido agradecimiento debe ser para los alumnos, destinatarios últimos y responsables de mi dedicación a esta apasionante materia. Para finalizar, asumo de antemano la responsabilidad por las inevita- bles erratas y errores que puedan existir. Ruego a los lectores que me las comuniquen, para poderlas corregir en próximas ediciones.

Jose M.a^ Goicolea Ruigómez. Madrid, Noviembre de 2001.

(^1) recientemente fallecido, q.e.p.d.; sirvan estas líneas como recuerdo de su abnegada y entusiasta labor docente durante años en la mecánica

Índice general

Capítulo 1

Principios de la mecánica

Este capítulo desarrolla algunos principios fundamentales sobre los que se basa la teoría de la mecánica clásica, en la que se centra este curso. Cono- cer dicho punto de partida, así como las limitaciones de la teoría empleada, resulta imprescindible para una asimilación adecuada de la materia.

1.1. La mecánica como teoría científica

Definición: La mecánica es una teoría científica que estudia el movimien- to de los cuerpos y sus causas, o bien el equilibrio, es decir, la falta de movimiento.

Se trata de una teoría científica porque pretende interpretar fenómenos físicos que se observan experimentalmente. Para ello la mecánica parte de unos postulados o principios fundamentales, sobre los que se basa una teoría a través de modelos matemáticos, dando así una interpretación coherente a las observaciones experimentales. En la actualidad existen diversas teorías de la mecánica, y a lo largo del tiempo han existido muchas más que han quedado obsoletas bien por no ser prácticas en su aplicación, o bien por no adecuarse sus predicciones a la realidad física observada. Para juzgar las teorías científicas, y en concreto la mecánica, no tiene sentido emplear criterios de «veracidad absoluta.» A pesar de que la mecá- nica tenga un elevado contenido de modelos matemáticos, habiendo sido a lo largo de la historia una de las motivaciones principales para el desarrollo de las matemáticas, no es la elegancia ni el rigor formal de estos modelos matemáticos un criterio adecuado para valorar una teoría de la mecánica. Cada teoría (y sus principios subyacentes) es tan buena como la interpre- tación que realiza de las observaciones experimentales de la realidad física.

1.2 Capítulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECÁNICA

Si las predicciones teóricas se corresponden adecuadamente con las obser- vaciones experimentales, la teoría será adecuada, independientemente de su «elegancia» matemática. Por el contrario, si los resultados no se correspon- den con las observaciones, llegaremos a la conclusión de que se precisa otra teoría distinta para el fenómeno en cuestión. Así, las tres teorías principales de la mecánica existentes en la actualidad son:

La Mecánica Clásica, cuyo desarrollo moderno se considera generalmen- te iniciado por Newton (1686: «Philosophiae Naturalis Principia Mat- hematica») y continuado hasta nuestros días por diversos matemá- ticos y científicos: Juan, Daniel y Jacobo Bernouilli, L. Euler, J. D’Alembert, J.L. Lagrange, W. Hamilton, etc. Los modelos newto- nianos, enunciados por Isaac Newton, y desarrollados algo más tarde por Euler, fueron los primeros que lograron explicar satisfactoriamente al mismo tiempo el movimiento de los cuerpos celestes (observaciones de Kepler y otros sobre el movimiento de los planetas) y el de los cuerpos a escala humana (observaciones de Galileo sobre la caída de los cuerpos).

La Mecánica Relativista, que suple la inexactitud de la mecánica clási- ca para velocidades próximas a la de la luz (teoría de la relatividad restringida) o para campos gravitatorios muy intensos (teoría de la relatividad generalizada). Ha sido propuesta por Albert Einstein en el siglo XX, e involucra una complejidad matemática notablemente mayor.

La Mecánica Cuántica, que surge de las observaciones de las partículas elementales, en las que intervienen acciones —productos de energía por tiempo— tan pequeñas que son comparables a la constante de Planck (Et ∼ h). En estos casos se aplica el principio de indetermina- ción de Heisenberg, que establece la imposibilidad de medir de manera precisa la posición y velocidad de la partícula al mismo tiempo, valo- res que conocemos tan sólo de manera probabilista. También ha sido propuesta en el siglo XX (Congreso de Solvay de Bruselas en 1927), por un grupo de científicos entre los que destacan L. de Broglie, E. Schrödinger y P. Dirac. A pesar de las nuevas teorías de la mecánica surgidas recientemente, se puede afirmar que la mecánica clásica constituye una teoría coherente, capaz de proporcionar interpretaciones suficientemente precisas para la mayoría de los fenómenos que observamos.

1.4 Capítulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECÁNICA

terminista. La aparente falta absoluta de orden en su respuesta es debida a menudo a una sensibilidad extrema a la variación de las condiciones iniciales u otros parámetros del sistema, lo que conduce a la denominación de «sis- temas caóticos». Estos sistemas precisan ser analizados mediante métodos cualitativos, propuestos a final del siglo XIX por H. Poincaré y Liapounov, en lugar de los métodos cuantitativos y deterministas habituales. También en este caso el ordenador es una herramienta de gran utilidad. Este curso está basado en la Mecánica Clásica, desarrollada a partir de los principios y teoremas newtonianos. Esta se aplicará fundamentalmente a sistemas discretos formados por partículas o masas puntuales, sólidos rígi- dos, resortes, etc., aunque se hará alguna incursión en medios deformables, como por ejemplo los cables. La mecánica de medios continuos se tratará en otras asignaturas de cursos posteriores, como la resistencia de materiales, elasticidad y plasticidad, la geotecnia, el cálculo de estructuras, la hidráuli- ca, etc. Sin embargo los conceptos básicos para todas estas asignaturas son los mismos que se estudian en este curso de mecánica. Como se ha dicho, en la mecánica juegan un papel importante las ma- temáticas, ya que se basa en modelos matemáticos que interpreten las ob- servaciones experimentales. El aparato matemático en algunos casos puede resultar de cierta complejidad. Es importante no perder de vista, sin em- bargo, el sentido físico de los conceptos: Las matemáticas no son un fin en sí, sino un medio para interpretar conceptos y fenómenos físicos. Aunque los modelos matemáticos empleados aquí puedan ser más generales (y más complejos por tanto) que los estudiados en cursos anteriores, no conviene que oscurezcan nunca la interpretación física intuitiva de los conceptos. Uno de los postulados esenciales de la mecánica es la causalidad deter- minista, lo que ha permitido superar interpretaciones mágicas o religiosas existentes antaño para algunos fenómenos, como el movimiento de los astros y otros fenómenos del firmamento celeste. Aún en nuestros días existen per- sonas que creen en dicho tipo de interpretaciones (por ejemplo los astrólogos y sus seguidores), fruto por lo general de la ignorancia o del miedo a la ver- dad científica. Sin embargo, conviene admitir que, en ciertas situaciones, el postulado de la causalidad determinista en sentido estricto es cuestionable, siendo necesario acudir a métodos probabilistas para describir los fenómenos (como en la mecánica estadística, basada en la causalidad probabilista) o a métodos cualitativos de análisis (por ejemplo en los sistemas caóticos, en los que no es posible predecir el movimiento como ecuaciones horarias, ya que cualquier pequeña perturbación inicial lo modifica). En cualquier caso, es conveniente evitar un exceso de celo en la aplicación de los modelos deter- ministas de la mecánica, ya que no debemos olvidar que nuestra percepción

Aptdo. 1.2. Sistemas de referencia; espacio y tiempo 1.

de la «realidad física» es necesariamente subjetiva. Por otra parte, se postula también la capacidad de definir un conjunto de causas suficientemente reducido para explicar los fenómenos. Las cau- sas muy alejadas en el espacio o en el tiempo no tienen efecto sobre las observaciones de fenómenos presentes. Esto también es cuestionable para interpretaciones muy generales: No es posible prescindir de la estructura del cosmos en el instante posterior a la primera gran explosión (big-bang) para explicar la existencia de las galaxias, estrellas y planetas actuales; asi- mismo parece que algunos fenómenos cosmológicos no se pueden interpretar sin recurrir a la materia oscura existente en el universo, de naturaleza aún desconocida (agujeros negros, neutrinos,... ).

1.2. Sistemas de Referencia; Espacio y Tiempo

Los fenómenos mecánicos se describen mediante «sistemas de referen- cia^2 ,» basados en los conceptos de espacio y tiempo. Por su importancia conviene enunciar los postulados que asume la mecánica clásica para estos conceptos. El espacio, y por tanto su métrica, tiene las propiedades siguientes.

1. Independencia de los objetos en él inmersos. (La métrica del espacio no se ve afectada por los mismos.)
2. Constancia a lo largo del tiempo.
3. Homogeneidad: es igual en todos los puntos, no existiendo puntos pri- vilegiados.
4. Isotropía: es igual en todas las direcciones, no existiendo direcciones privilegiadas.

El espacio se caracteriza por una métrica Euclídea^3 , lo que lo convierte en un espacio puntual Euclídeo en 3 dimensiones, R^3. El tiempo se caracteriza a su vez por las siguientes propiedades.

1. Homogeneidad, al no existir instantes privilegiados.

» 2 No se debe confundir el término sistema mecánico (conjunto de partículas o cuerpos cuyo movimiento se desea estudiar) con sistema de referencia (triedro de ejes, coordenadas o parámetros que sirven para describir dicho movimiento). (^3) La distancia entre dos puntos definidos por sus coordenadas cartesianas rectangulares (x 1 , y 1 , z 1 ) y (x 2 , y 2 , z 2 ) viene dada por d =

√ (x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2 + (z 2 − z 1 )^2

Aptdo. 1.3. Principio de la relatividad de Galileo 1.

Transformación de Galileo^5 .— Sea un sistema móvil (O′x′y′z′), que se traslada respecto a otro fijo (Oxyz) con velocidad v, manteniéndose parale- los los ejes de ambos. Puesto que podemos elegir las direcciones del triedro

6

   

O

z

x

y

6

   

O′

z′

x′

y′

(Oxyz) (O′x′y′z′)

v -

Figura 1.1: Sistemas de referencia en movimiento relativo rectilíneo y uni- forme, con velocidad v en la dirección de Ox

de referencia, elegimos la dirección Ox según la dirección de la velocidad de traslación (recordemos que el espacio es es isótropo, por lo que es lícito elegir una orientación arbitraria para los ejes, sin pérdida de generalidad). Consideraremos también que Inicialmente (para t = 0) O y O′^ coinciden. Sean (x, y, z) las coordenadas de un punto en el sistema fijo, (x′, y′, z′) en el móvil y v el módulo de la velocidad. Las ecuaciones de transformación para las coordenadas son:

  

x′^ = x − vt y′^ = y z′^ = z

Derivando sucesivamente^6 , obtenemos las velocidades y aceleraciones en (^5) En el apartado 6.3.5 se ofrece una generalización de esta transformación y se discute la relación de las simetrías que expresa (invariancias cuando se produce la transformación) con las constantes del movimiento y los principios de conservación. (^6) En lo sucesivo se empleará la notación de uno o dos puntos superpuestos para indicar

derivadas (totales) respecto al tiempo: x˙ def = dx/dt, x¨ def = d^2 x/dt^2. También emplearemos la notación mediante negritas para identificar vectores o tensores: a ≡ {ai}, I ≡ [Ikl].

1.8 Capítulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECÁNICA

ambos sistemas: (^)   

x ˙′^ = ˙x − v y ˙′^ = ˙y z ˙′^ = ˙z

x ¨′^ = ¨x y ¨′^ = ¨y z ¨′^ = ¨z Se observa por tanto que las derivadas segundas (aceleraciones) coin- ciden. Esto nos permite intuir —admitiendo como postulado el principio de la relatividad galileana— que las leyes de la dinámica están basadas en las derivadas segundas respecto al tiempo, única forma de que las leyes sean invariantes cumpliéndose dicho principio. En efecto, según sabemos, el estado de un sistema formado por un partícula en movimiento según una dirección fija se caracteriza en un instante dado por su posición y su velo- cidad (x, x˙). La evolución del movimiento viene gobernada por la ecuación dinámica (F = mx¨).

1.4. Las leyes de Newton

Formuladas por Isaac Newton en su obra «Philosophiae Naturalis Prin- cipia Matematica» (1686), constituyen el primer intento de formular una base axiomática para una teoría científica de la mecánica. Debe aclararse que no fueron formuladas por Newton de forma precisa como se suelen reco- ger hoy en día en los libros de texto. También debe advertirse que en sentido riguroso no recogen de forma completa toda la axiomática necesaria para la mecánica clásica, siendo necesario incorporar aportaciones adicionales de Euler, Cauchy y otros. A pesar de esto, la publicación de los «principia» constituye un hito monumental de enorme valor, sobre el que se cimienta la mecánica clásica. Para aclarar el modelo axiomático de Newton citaremos aquí textual- mente de los «Principia»^7. Newton parte en primer lugar de cuatro defini- ciones:

‘DEFINICION PRIMERA. La cantidad de materia es la me- dida de la misma originada de su densidad y volumen conjunta- mente.’ ‘DEFINICION II. La cantidad de movimiento es la medida del mismo obtenida de la velocidad y de la cantidad de materia conjuntamente.’ ‘DEFINICION III. La fuerza ínsita de la materia es una ca- pacidad de resistir por la que cualquier cuerpo, por cuanto de él (^7) Las citas han sido extraídas de Isaac Newton, Principios Matemáticos de la Filosofía Natural (2 tomos), traducción española de Eloy Rada, Alianza Editorial, 1987.