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UNIDAD IV
ENGRANES Y TRENES DE ENGRANAJES
4.1 NOMENCLATURA, CLASIFICACIÓN Y APLICACIÓN DE LOS ENGRANES (RECTOS,
CÓNICOS Y HELICOIDALES).
Los engranes son elementos mecánicos que se utilizan para transmitir movimiento de rotación entre ejes. Los engranes pueden ser de diferentes tipos:
Engranes rectos. Engranes helicoidales. Engranes cónicos. Corona y tornillo sinfín.
ENGRANES RECTOS .- Se emplean para transmitir movimiento de rotación entre ejes paralelos. Su contorno es de forma cilíndrica circular y sus dientes son paralelos al eje de rotación.
Figura 4.1 Terminología.
Ancho de cara F .- Representa el espesor del diente en dirección paralela al eje.
Círculo de paso .- Es un círculo teórico sobre el que generalmente se basan todos los cálculos. Los círculos de paso de dos engranes acoplados son tangentes entre sí.
Piñón. - Es el más pequeño de los dos engranes acoplados; el más grande se denomina simplemente engrane.
Paso circular pc .- Es la distancia, en pulgadas o mm , medida sobre el círculo de paso, que va
desde un punto sobre uno de los dientes hasta un punto correspondiente sobre uno adyacente.
Paso diametral P .- Es el número de dientes en el engrane por pulgada de diámetro de paso. El
paso diametral con las unidades comúnmente utilizadas en Estados Unidos.
d
P =N
El paso circular pc y el paso diametral P se relacionan mediante la expresión
p P c = π
Módulo m .- Es la razón del diámetro de paso al número de dientes El módulo es el índice del
tamaño del diente en el SI.
N
m =d
p c = πm
Cabeza o adendum (o adendo) a .- Es la distancia radial entre el borde superior y el círculo de
paso.
Raíz o dedendum (o dependo) b .- Es la distancia radial que va desde el borde inferior hasta el
círculo de paso.
Altura total ht .- Es la suma del adendo y el dedendo.
ht =a+ b
Círculo de holgura .- Es un círculo tangente al del dedendo del engrane conectado.
4.2 DISEÑO DE ENGRANES (RECTOS, CÓNICOS Y HELICOIDALES). 4.3 ESTANDARIZACIÓN Y NORMALIZACIÓN DE ENGRANES.
LEY FUNDAMENTAL DEL ENGRANAJE:
La acción de un solo par de dientes acoplados conforme recorren toda una fase de acción debe ser tal que la razón de la velocidad angular del engrane impulsor a la del engrane impulsado se mantenga constante. Este es el criterio fundamental que rige la selección de los perfiles del diente. Si esto no se cumpliera, se tendrían vibraciones muy serias y problemas de impacto, incluso a velocidades muy bajas.
Cuando a los perfiles del diente se les da una forma tal para que produzcan una razón constante entre las velocidades angulares durante el endentamiento, se dice que las superficies son conjugadas.
La figura siguiente muestra las circunferencias de paso de dos engranes que se encuentran en contacto.
En la figura anterior P recibe el nombre de punto de paso, en el cual la velocidad tangencial es la misma para los dos engranes, por lo tanto
2 2332233 r
r
n
n
ω r ω r n r n r
2
3 2
3 3
2
N
N
d
d
n
n
mG = = = (Ley fundamental de engranes)
En donde mG = relación de engranes (constante)
Dos formas que cumplen con la ley fundamental son la cicloide y la involuta. La cicloide se empleó inicialmente para fabricar engranes, aunque ahora se ha remplazado por la involuta debido a la facilidad de la fabricación y el hecho que la distancia entre centros entre dos engranajes puede variar sin cambiar la relación de velocidades.
Círculos base .- Son los que se emplean como base para trazar las involutas. El radio del círculo de
base es rb.
Interferencia.
Para ciertas combinaciones de números de dientes en un engrane, se presenta interferencia entre la punta del diente en el piñón y el chaflán o raíz del diente del engrane. La probabilidad de que se presente interferencia es mayor cuando un piñón pequeño impulsa a un engrane grande.
El número mínimo de dientes de profundidad total que se requiere para evitar interferencias en los engranes rectos, se obtiene a partir de
2
2 mín sen
N
ϕ
La siguiente tabla muestra el número de dientes en función del ángulo de presión:
Ángulo de presión
Número mínimo de dientes
14.5o^32 20 o^18 25 o^12
La siguiente tabla muestra el número mínimo de dientes de piñón de profundidad total utilizables
en una selección de engranes de profundidad total de varios tamaños para φ = 20 o. Conforme el
engrane acoplado se hace más pequeño, el piñón puede tener menos dientes, para evitar que aparezca interferencia.
Número de dientes del piñón
Número máximo de dientes en el engrane 13 16 14 26 15 45 16 101 17 1309
PARÁMETROS BÁSICOS DEL ENGRANE ESTÁNDAR TIPO ENVOLVENTE.
r b = radio del círculo de base
r p = radio del círculo de paso
r = radio en que se va a determinar el espesor del diente
t p= espesor del diente a lo largo del arco en el círculo de paso
t = espesor del diente a lo largo del arco en el círculo de radio r
φ = ángulo de presión correspondiente al punto A de radio rp
ϕ = ángulo de presión correspondiente a cualquier punto T de radio r
β (^) p=espesor angular de medio diente en el círculo de paso
β = espesor angular de medio diente en cualquier punto^ T
Los espesores de medio diente en los puntos A y T son:
2 2
p p p
t t
= β p rp ⇒ βp = r --- (a)
2 2
t t
= βr ⇒ β = r ----- (b)
De acuerdo con la figura anterior, se puede escribir lo siguiente:
2 2
p p
t (^) t inv φ − invϕ = β (^) p − β= (^) r − r
t = r +invφ −inv ϕ
p
p
r
t
Para dos puntos cualquiera A y B de la involuta, se tiene:
A A
t
t B = rB r + inv φ A −invφB
En el círculo de base inv ϕb = 0.
SISTEMA DE DIENTES ESTÁNDAR AGMA Y ANSI PARA ENGRANES RECTOS:
Término
Paso grueso (< 20P o m > 5 mm ) Profundidad total Angulo de presión φ (grados) 20
o (^) y 25 o
Adendo a
P
1. 000 o 1 m
Dedendo b
P
1. 250 o 1.25 m
Profundidad de trabajo hk
P
2. 000 o 2 m
Profundidad total ht
P
2. 250 o 2.25 m
Espesor circular del diente t p
2 P
Holgura básica c , mínima
P
Si los engranes se cortan con cortadoras estándar, es posible cortarlos de manera que sean intercambiables. Para que esto sea posible, se requiere cumplir determinadas condiciones:
1.- Los pasos diametrales deben ser los mismos. 2.- Los ángulos de presión deben ser iguales.
Engranes helicoidales Engranes helicoidales de ejes paralelos. cruzados.
La forma de los dientes de un engrane helicoidal es un helicoide de involuta, como se ilustra en la figura siguiente:
Los dientes de un engrane helicoidal se relacionan de acuerdo con la siguiente figura:
De la figura anterior se tiene:
p n= paso circular normal
p t= paso circular transversal
p x= paso axial
φ (^) n= ángulo de presión normal
φ t = ángulo de presión transversal
ψ = ángulo de la hélice
pn =ptcos ψ
sen ψ
p
x
p = n
Introduciendo el paso diametral normal Pn y paso diametral transversal Pt se tiene que
Pt =Pncos ψ
Los ángulos φn , φt y ψ se relacionan mediante la expresión
φ
cos
1 tan
t tan^ n
Los diámetros de paso se obtienen a partir de la expresión
Pt
d =N
Relaciones de contacto de los dientes en los engranes helicoidales. Existen varias clases de contacto que se utilizan para evaluar el desempeño o rendimiento de los engranes helicoidales.
Razón de contacto transversal ( mt ).- Es la razón de contacto en el plano transversal, y se
determina de la misma forma que para los engranes rectos; esto es
pt t
Z
mt = cos φ
Z ( rP a) rbP (rG a) rbG (rP rG)sen φ t
= +^2 −^2 + +^2 −^2 − +
Razón de contacto normal ( mn ).- Es la razón de contacto en el plano normal, y se determina por
b
mt
mn
cos^2 ψ
El ángulo de la hélice de base ψ (^) bse relaciona con el ángulo de presión transversal y el ángulo de
la hélice como sigue:
ψ (^) b =tan −^1 (tanψcos φt )
Razón de contacto axial ( m x ).- Es la razón de la anchura de la cara del engrane al paso axial, y
está dada por:
x p t
F
p
F
mx
tan ψ
ENGRANES HELICOIDALES CRUZADOS.
Para que dos engranes helicoidales cruzados se engranen adecuadamente solo se necesita cumplir un requisito, que tengan los mismos pasos diametrales normales. Sus pasos en el plano de rotación no son necesariamente iguales. Sus ángulos de hélice pueden ser iguales o no y los engranes pueden ser del mismo sentido o sentido opuesto. La reducción de velocidad es
P P
G G P
G G
P d
d N
N
n
n
cos
cos
Si Σ es el ángulo entre las dos flechas conectadas por engranes helicoidales cruzados y ψ (^) P y
ψ (^) G son los ángulos de hélice de los engranes, entonces
Σ=ψ P± ψ G
Los signos positivo y negativo se aplican respectivamente considerando si los engranes tienen el mismo sentido o no.
Engranes cónicos espirales****. Son engranes con dientes curvos. Los ejes de los conos también deben cortarse y coincidir sus ejes. La ventaja de este tipo de engranes es que son silenciosos; sin embargo son muy costosos.
Engrane cónico Zerol. Es un engrane con dientes curvos pero con un ángulo de espiral de cero grados. Por lo que respecta a la acción de los dientes, no tiene ventaja alguna sobre el engrane cónico recto y se ha diseñado simplemente para aprovechar la maquinaria cortadora que se usa para producir engranes cónicos espirales.
Engranes hipoidales****. Son engranes cónicos en los cuales el eje de rotación no son paralelos ni se cortan. Este tipo de engranes se utiliza en la transmisión final de un automóvil.
PARÁMETROS DE LOS ENGRANES CÓNICOS:
De la figura se tiene que: aG = adendo del engrane
a P= adendo del piñón
F = ancho de la cara
d P= diámetro de paso del piñón
d G= diámetro de paso del engrane
A o = distancia del cono exterior
γ (^) P= ángulo de paso del piñón γ (^) G=ángulo de paso del engrane
La razón de velocidades se obtiene de la misma manera que en los engranes rectos, esto es
2
3 3
2
N
N
n
n
Los diámetro de paso se determinan por
P
N
P
d = P
P
N
G
d = G
N Py N Gson el número de dientes del piñón y el engrane respectivamente.
De la figura anterior se obtiene la relación
G
P G
P
sen
sen
r
r
De acuerdo con la figura anterior γ P+ γG=Σ, por lo que en la ecuación anterior se tiene
P ( ) G
r sen γ (^) P = (^) r senΣ −γP
= ( Σcos P− PcosΣ )
r
r
sen P sen sen
G
γ P γ γ
Dividiendo ambos miembros por cos γPy reacomodando los términos, se obtiene
( / ) cos
tan
G P
sen
γ P N N
De manera análoga se obtiene:
( / ) cos
tan
P G
sen
γ G N N
Si
o
G
P
N
N
tan γP =
P
G
N
N
tan γG =
Proporciones de dientes en los engranes Gleason cónicos rectos. Estas proporciones se dan para engranes cónicos rectos con ejes perpendiculares y 13 o más dientes del piñón.
1.- Números de dientes. 16 o más dientes en el piñón 15 dientes en el piñón y 17 o más en la corona
Piñón: N P = PdP= 4 ×( 2 × 2 )= 16 ∴ NP =^16 dientes
Engrane: NG = PdG= 4 ×( 2 × 2. 25 )= 20 ∴ NG = 20 dientes
= 2. 25 →^2 = 5. 0625
PO PO
r r
= 2. 75 →^2 = 7. 5625
GO PG
r r
= 2 ×cos 20 = 1. 879 →^2 = 3. 532
P bP
o
rb r
2. 5 cos 20 2. 349 5. 5188
= × = → =
G bG
o
rb r
o
Z sen
(cos 20 )
cos
4
p^ o
m Z
m= 1. 527
PROBLEMA 2. Se conectan dos flechas cruzadas con engranes helicoidales, con reducción de 3:1, ángulo de flecha de 60o^ y distancia entre centros igual a 10.00 pul. Si el piñón tiene 35 dientes y un paso diametral normal de 8, calcular los ángulos de hélice y los diámetros de paso si los engranajes son del mismo sentido. Solución:
n P
P
P
N
dP = cos ψ --------- (a)
n G
G
P
N
dG = cos ψ --------- (b)
d P + dG= 20 ---------- (c)
ψ P= 60 − ψ G ---------- (d)
Sustituyendo (a), (b) y (d) en (c) se obtiene la expresión
8 cos
8 cos( 60 )
ψG ψ G
cos
cos( 60 )
−ψ G ψG
Si hacemos G G
F
ψ cos ψ
cos( 60 )
, entonces por tanteos se obtiene lo siguiente:
ψ G F
De la tabla tenemos que o ψG = 27. 7
y de (d) tenemos que o
ψ P = 32. 3
8 cos 32. 3
d P o
dP = 5. 176 pul
8 cos 27. 7
d G o dG = 14. 824 pul
4.4 ANÁLISIS CINEMÁTICO DE TRENES DE ENGRANES (SIMPLES, COMPUESTOS Y
PLANETARIOS).
TRENES DE ENGRANES Y ANÁLISIS DE SISTEMAS.
Un tren de engranes es un conjunto de dos o más engranes conectados, y puede ser de tipo simple o de tipo compuesto.
TREN DE ENGRANES SIMPLE. Un tren del tipo simple es aquel en el que cada eje tiene un solo engrane. La relación de velocidad
(algunas veces llamada valor del tren e ) del engranaje se obtiene desarrollando la ecuación
En la siguiente figura se muestra un tren del tipo simple con cuatro elementos.
El valor del tren es
5
2 5
4 4
3 3
2
N
N
N
N
N
N
N
N
e =−
TREN DE ENGRANES COMPUESTO.
Un tren de engranes compuesto es aquel en el que al menos un eje tiene más de un engrane. Este tipo de mecanismo se utiliza para obtener un valor del tren mayor que 10:1. En la siguiente figura se muestra un tren de engranes compuesto con cuatro engranes, dos de los cuales 3 y 4.
El valor del tren es
5
4 3
2
N
N
N
N
e
PROBLEMA 3. La figura que se indica da los diámetros de paso de un juego de engranes rectos que forman un tren. Determinar la velocidad y dirección de rotación de los engranes 5 y 7.
Solución:
Para el engrane 5 como salida:
= =^ ∴
= ∴ =^ −
×
×
5
4 3
2 2
5 d
d d
d n
n n
n
e
F
L
= 1200 × = 168 rpm ∴
n 5
n 5 = 168 rpm en el mismo sentido que n 2
Para el engrane 7 como salida:
= = =^ ∴
= ^ −
×
×
3 7
2 4 7
6 6
5 5
4 3
2 2
7 d d
d d d
d d
d d
d d
d n
n
= 1200 × = 315 rpm ∴
n 7
n 7 = 315 rpm en el mismo sentido que n 2
PROBLEMA 4. Para el tren de engranes que se muestra en la figura, la flecha A gira a 300 rpm y la flecha B a 600 rpm en las direcciones mostradas. Determinar la velocidad y dirección de rotación de la flecha C.
Solución: Suponiendo que el giro del eje A y B son positivos de +300 rpm y +600 rpm respectivamente, entonces
300 ( ) 500 rpm 18
7
8 = − ∴n =+ ×− =−
N
N
n
n
( 500 ) ( ) 325 rpm 24
9
8 8
9 = − ∴n = − ×− =+
N
N
n
n
n 6 = n 9 =+ 325 rpm
Método analítico:
= = = = (− )(− )∴ −
5 6
2 6 /
/ n n
n n n n
n n n
n F A
L A F A
e L A
×
× ×
×
×
5
n
n
n 5 = 1281. 8 rpm
Método tabular:
Pasos E2 E3 E4 E5 E9 Brazo 6 I 375 375 375 375 375 375 II 225 -388.6 -388.6 906.8 0 0 III 600 -13.6 -13.6 1281.8 375 375
Resumen de los pasos II y III:
Paso II:
n 2 = 600 − 375 = 225 rpm
n 7 = 300 − 375 =− 75 rpm
225 ( ) 388. 6 rpm
3
2 2
3 = − ∴n = ×− =−
N
N
n
n
n 4 = n 3 =− 388 rpm
- 6 ( ) 906. 8 rpm
5
4 4
5 = − ∴n = ×− =
N
N
n
n
Paso III:
n 3 = 375 − 388. 6 =− 13. 6 rpm
n 4 = n 3 =− 13. 6 rpm
n 5 = 375 + 906. 8 = 1281. 8 rpm
4.5 DISEÑO DE ENGRANES POR MEDIO DE SOFTWARE.
En este tema se usa durante el desarrollo de la unidad el software libre “Working Model 2005” del libro: Diseño de Maquinaria, Robert L. Norton, 3ª Edición.
